第一章 几何和复算术
欧拉公式
e^{i\theta} = cos\ \theta + i\ sin\ \theta
欧拉在1740年左右发现了它，现在它被称为 欧拉公式 来纪念他。
由于欧拉公式表明 e^{i\theta} 是单位圆上幅角为 \theta 的一点。于是我们可以把复数 z = r(cos\theta + i\ sin\ \theta) 写成 z = re^{i\theta}。这样做的好处就是，复数乘法变得容易了许多：
r_1e^{i\theta_1} \cdot r_2e^{i\theta_2} = r_1r_2e^{i (\theta_1 + \theta_2) }
证明欧拉公式
以前学麻省理工的 微分方程 时，老教授说这个公式是欧拉定义的，也就是强制使 e^{i\theta} = cos\ \theta + i\ sin\ \theta。然后进行了后续的推理，也就是假设上面的等式是成立的。然后才有了后面的证明，这就感觉数学的理论好像缺了点什么。下面写一下数中的证明。
首先不加证明的给出三个泰勒级数，通过微积分的知识这个很容易证明：
e^{x} = 1 + \frac{1}{1!} x^1 + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + \cdots
cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!} x^4 - \frac{1}{6!} x^6 + \cdots
sin x = \frac{1}{1!} x^1 - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 - \cdots
然后将这些公式推广到复数域：
\begin{aligned}
e^{i\theta}
&= 1 + \frac{1}{1!} {(i\theta)}^1 + \frac{1}{2!} (i\theta)^2 + \frac{1}{3!} (i\theta)^3 + \cdots \\
&= 1 + i\frac{1}{1!} {\theta}^1 - \frac{1}{2!} \theta^2 - i\frac{1}{3!} \theta^3 + \cdots
\end{aligned}
cos \theta = 1 - \frac{1}{2!} \theta^2 + \frac{1}{4!} \theta^4 - \frac{1}{6!} \theta^6 + \cdots
sin \theta = \frac{1}{1!} \theta^1 - \frac{1}{3!} \theta^3 + \frac{1}{5!} \theta^5 - \cdots
将三个式子联立，就很容易证明欧拉公式。
证明 cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta
\begin{aligned}
&cos(\alpha + \beta) + i\ sin(\alpha + \beta) \\
=\ & e^{i(\alpha + \beta)} = e^{i\alpha} \cdot e ^ {i\beta} \\
=\ & (cos\alpha + isin\alpha)(cos\beta + i cos\beta) \\
=\ & (cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta) + i (sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta)
\end{aligned}
所以 cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta。
除此以外，还证明了 sin(\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta
Thebault 问题
第二章 作为变换看的复函数
多项式
卡西尼曲线
傅里叶级数
1807 年 12 月 21 日，傅里叶在法国科学院宣读了他的发现，这个发现是如此地引人注目，使他尊贵的听众感觉实在是难以置信。他宣称，任意的实周期函数F(\theta)，如论图像是如何古怪，都可以分解成为频率越来越高的正弦波之和。为简单计，设周期为 2\pi，这是傅里叶级数就是：
\left\{
\begin{aligned}
F(\theta) &= \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n\ cos\ n\theta + b_n\ sin\ n\theta] \\
a_n &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} F(\theta)\ cos\ n\theta\ d\theta \\
b_n &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} F(\theta)\ sin\ n\theta\ d\theta \\
\end{aligned}
\right.
实函数的泰勒级数和傅里叶级数只不过是观察复幂级数的两种不同的方式。
\int_0^{2\pi} [\frac{2\ sin\ \theta\ sin\ n\theta}{5 - 4\ cos\ \theta}] d\theta = \frac{\pi}{2^n}
正弦和余弦
\begin{aligned}
cos\ x = \frac{e^{ix} + e ^{-ix}}{2} \\
cos\ x = \frac{e^{ix} + e ^{-ix}}{2i} \\
\end{aligned}
第三章 莫比乌斯变换和反演
M(z) = \frac{az + b}{cz + d}
其中 a,b,c,d 是复数。
洛伦茨变换
洛伦茨变换 L 就是时空的一种线性变换，把一个观察者对某一时间的描述变为另一观察者对同一事件的描述。换一个说法，L 就是保持量 T^2 - (X^2 + Y^2 + Z^2) 不变的线性变换，两个观察者所得到的量之值必定相同。
相应与洛伦茨变换的复映射，就是莫比乌斯变换，反过来，每个莫比乌斯变换都给出时空唯一的洛伦茨变换。
反演
黎曼球面
第四章 微分学：伸扭的概念
第五章 微分学的进一步几何研究
第六章 非欧几何学
第七章 环绕数与拓扑学
第八章 复积分：柯西定理
第九章 柯西公式及其应用
第十章 向量场：物理学与拓扑学
第十一章 向量场与复积分
第十二章 流与调和函数
参考资料
