2018考研数学一真题
2018年全国硕士研究生招生考试数学一试题
一、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)
(1) 下列函数中,在 x = 0 处不可导的是
- (A) f(x) =|x| \sin |x|
- (B) f(x) =|x| \sin \sqrt{|x|}
- (C) f(x) = \cos |x|
- (D) f(x) = \cos \sqrt{|x|}
(2) 过点 (1,0,0),(0,1,0),且与曲面 z = x^2 + y^2 相切的平面为
- (A) z = 0 与 x+y-z=1
- (B) z = 0 与 2x + 2y - z = 2
- (C) x = y 与 x+y-z=1
- (D) x = y 与 2x + 2y - z = 2
(3) \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n {2n + 3 \over (2n + 1)!}=
- (A) \sin 1 + \cos 1
- (B) 2\sin 1 + \cos 1
- (C) 2\sin 1 + 2\cos 1
- (D) 2\sin 1 + 3\cos 1
(4) 设 \displaystyle M = \int_{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2} {(1 + x)^2 \over 1 + x^2} dx,\displaystyle N = \int_{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2} {1 + x \over e^x} dx,\displaystyle K = \int_{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2} {(1 + \sqrt{\cos x})} dx,则
- (A) M > N > K
- (B) M > K > N
- (C) K > M > N
- (D) K > N > M
(5) 下列矩阵中,与矩阵 \displaystyle\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} 相似的为
-
(A) \displaystyle\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
-
(B) \displaystyle\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
-
(C) \displaystyle\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
-
(D) \displaystyle\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
(6) 设 A,B 为 n 阶矩阵,记 r(X) 为矩阵 X 的秩,(X \ \ Y) 表示分块矩阵,则
-
(A) r(A \ \ AB) = r(A)
-
(B) r(A \ \ BA) = r(A)
-
(C) r(A \ \ B) = \max\{r(A), r(B)\}
-
(D) r(A \ \ B) = r(A^T \ \ B^T)
(7) 设随机变量 X 的概率密度 f(x) 满足 f(1 + x) =f(1 - x),且 \displaystyle\int_0^2f(x)dx = 0.6,则 P\{X < 0\}=
- (A) 0.2
- (B) 0.3
- (C) 0.4
- (D) 0.5
(8) 设总体 X 服从正态分布 N(\mu, \sigma^2),X_1, X_2,\cdots,X_n 是来自总体 X 的简单随机样本,据此样本检验假设:H_0:\mu = \mu_0, H_1:\mu\neq\mu_0,则
-
(A) 如果在检验水平 \alpha = 0.05 下拒绝 H_0,那么 \alpha = 0.01 下必拒绝 H_0
-
(B) 如果在检验水平 \alpha = 0.05 下拒绝 H_0,那么 \alpha = 0.01 下必接受 H_0
-
(C) 如果在检验水平 \alpha = 0.05 下接受 H_0,那么 \alpha = 0.01 下必拒绝 H_0
-
(D) 如果在检验水平 \alpha = 0.05 下接受 H_0,那么 \alpha = 0.01 下必接受 H_0
二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
(9) 若 \displaystyle \lim_{x\to 0} \left({1 - \tan x \over 1 + \tan x}\right)^{1 \over \sin kx} =e ,k= _____
(10) 设函数 f(x) 具有 2 阶连续导数,若曲线 y=f(x) 过点 (0, 0) 且与曲线 y = 2^x 在点 (1,2) 处相切,则 \displaystyle\int_0^1 xf''(x)dx= _____
(11) 设 \boldsymbol{F}(x, y, z) = xy\boldsymbol{i} - yz\boldsymbol{j} + zx\boldsymbol{k},则 {\rm rot} \,\boldsymbol{F}(1,1,0)= _____
(12) 设 L 为球面 x^2+ y^2+ z^2= 1 与平面 x+y+z=0 的交线,则 \displaystyle\oint_L xyds = _____
(13) 设 2 阶矩阵 A 有两个不同特征值, \alpha_1, \alpha_2 是 A 的线性无关的特征向量,且满足 A^2(\alpha_1 + \alpha_2) = \alpha_1 + \alpha_2,则 |A| = _____
(14) 设随机事件 A 与 B 相互独立,A 与 C 相互独立,BC= \varnothing,若 \displaystyle P(A) = P(B) = {1\over 2},\displaystyle P(AC| AB \cup C) = {1 \over 4},则 P(C) = _____
三、解答题(本题共 9 小题,共 94 分)
(15) (本题满分 10 分)
求不定积分 \displaystyle \int e^{2x} \arctan \sqrt{e^x - 1} dx
(16) (本题满分 10 分)
将长为 2m 的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值
(17) (本题满分 10 分)
设 \Sigma 是曲面 x = \sqrt{1 - 3y^2 - 3z^2} 的前侧,计算曲面积分
(18) (本题满分 10 分)
已知微分方程 y'+ y = f(x),其中 f(x) 是 R 上的连续函数
- (1) 若 f(x) = x,求方程的通解
- (2) 若 f(x) 是周期为 T 的函数,证明:方程存在唯一的以 T 为周期的解
(19) (本题满分 10 分)
设数列 \{x_n\} 满足:x_1 > 0,x_ne^{x_{n + 1}} = e^{x_n} - 1 \, (n = 1,2,\cdots),证明数列 \{x_n\} 收敛,并求 \displaystyle\lim_{n\to \infty} x_n
(20) (本题满分 11 分)
设实二次型 f(x_1,x_2,x_3) = (x_1 - x_2 + x_3)^2 + (x_2 + x_3)^2 + (x_1 + ax_3)^2,其中 a 是参数
- (1) 求 f(x_1,x_2,x_3) = 0 的解
- (2) 求 f(x_1,x_2,x_3) 的规范形
(21) (本题满分 11 分)
已知 a 是常数,且矩阵 \displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a \end{bmatrix} 可经初等列变换化为矩阵 \displaystyle B = \begin{bmatrix} 1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}
- (1) 求 a
- (2) 求满足 AP= B 的可逆矩阵 P
(22) (本题满分 11 分)
设随机变量 X 与 Y 相互独立,X 的概率分布为 \displaystyle P\{X=1\} = P\{X=-1\} = {1 \over 2}, Y 服从参数为 \lambda 的泊松分布,令 Z = XY
- (1) 求 {\rm Cov}(X, Z)
- (2) 求 Z 的概率分布
(23) (本题满分 11 分)
设总体 X 的概率密度为
其中 \sigma \in (0, +\infty) 为未知参数,X_1, X_2, \cdots, X_n 为来自总体 X 的简单随机样本,记 \sigma 的最大似
然估计量为 \hat{\sigma}
- (1) 求 \hat{\sigma}
- (2) 求 E(\hat{\sigma}),D(\hat{\sigma})
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