2018年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）

(1) 下列函数中，在 $x = 0$ 处不可导的是

• (A) $f(x) =|x| \sin |x|$
• (B) $f(x) =|x| \sin \sqrt{|x|}$
• (C) $f(x) = \cos |x|$
• (D) $f(x) = \cos \sqrt{|x|}$

(2) 过点 $(1,0,0),(0,1,0)$，且与曲面 $z = x^2 + y^2$ 相切的平面为

• (A) $z = 0$ 与 $x+y-z=1$
• (B) $z = 0$ 与 $2x + 2y - z = 2$
• (C) $x = y$ 与 $x+y-z=1$
• (D) $x = y$ 与 $2x + 2y - z = 2$

(3) $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n {2n + 3 \over (2n + 1)!}=$

• (A) $\sin 1 + \cos 1$
• (B) $2\sin 1 + \cos 1$
• (C) $2\sin 1 + 2\cos 1$
• (D) $2\sin 1 + 3\cos 1$

(4) 设 $\displaystyle M = \int_{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2} {(1 + x)^2 \over 1 + x^2} dx$，$\displaystyle N = \int_{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2} {1 + x \over e^x} dx$，$\displaystyle K = \int_{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2} {(1 + \sqrt{\cos x})} dx$，则

• (A) $M > N > K$
• (B) $M > K > N$
• (C) $K > M > N$
• (D) $K > N > M$

(5) 下列矩阵中，与矩阵 $\displaystyle\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ 相似的为

• (A) $\displaystyle\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

• (B) $\displaystyle\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

• (C) $\displaystyle\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

• (D) $\displaystyle\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

(6) 设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r(X)$ 为矩阵 $X$ 的秩，$(X \ \ Y)$ 表示分块矩阵，则

• (A) $r(A \ \ AB) = r(A)$

• (B) $r(A \ \ BA) = r(A)$

• (C) $r(A \ \ B) = \max\{r(A), r(B)\}$

• (D) $r(A \ \ B) = r(A^T \ \ B^T)$

(7) 设随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 满足 $f(1 + x) =f(1 - x)$，且 $\displaystyle\int_0^2f(x)dx = 0.6$，则 $P\{X < 0\}=$

• (A) $0.2$
• (B) $0.3$
• (C) $0.4$
• (D) $0.5$

(8) 设总体 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，$X_1, X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，据此样本检验假设：$H_0:\mu = \mu_0, H_1:\mu\neq\mu_0$，则

• (A) 如果在检验水平 $\alpha = 0.05$ 下拒绝 $H_0$，那么 $\alpha = 0.01$ 下必拒绝 $H_0$

• (B) 如果在检验水平 $\alpha = 0.05$ 下拒绝 $H_0$，那么 $\alpha = 0.01$ 下必接受 $H_0$

• (C) 如果在检验水平 $\alpha = 0.05$ 下接受 $H_0$，那么 $\alpha = 0.01$ 下必拒绝 $H_0$

• (D) 如果在检验水平 $\alpha = 0.05$ 下接受 $H_0$，那么 $\alpha = 0.01$ 下必接受 $H_0$

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

(9) 若 $\displaystyle \lim_{x\to 0} \left({1 - \tan x \over 1 + \tan x}\right)^{1 \over \sin kx} =e$ ，$k=$ _____

(10) 设函数 $f(x)$ 具有 $2$ 阶连续导数，若曲线 $y=f(x)$ 过点 $(0, 0)$ 且与曲线 $y = 2^x$ 在点 $(1,2)$ 处相切，则 $\displaystyle\int_0^1 xf''(x)dx=$ _____

(11) 设 $\boldsymbol{F}(x, y, z) = xy\boldsymbol{i} - yz\boldsymbol{j} + zx\boldsymbol{k}$，则 ${\rm rot} \,\boldsymbol{F}(1,1,0)=$ _____

(12) 设 $L$ 为球面 $x^2+ y^2+ z^2= 1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，则 $\displaystyle\oint_L xyds =$ _____

(13) 设 $2$ 阶矩阵 $A$ 有两个不同特征值, $\alpha_1, \alpha_2$ 是 $A$ 的线性无关的特征向量，且满足 $A^2(\alpha_1 + \alpha_2) = \alpha_1 + \alpha_2$，则 $|A| =$ _____

(14) 设随机事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，$A$ 与 $C$ 相互独立，$BC= \varnothing$，若 $\displaystyle P(A) = P(B) = {1\over 2}$，$\displaystyle P(AC| AB \cup C) = {1 \over 4}$，则 $P(C) =$ _____

三、解答题（本题共 9 小题，共 94 分）

(15) （本题满分 10 分）

求不定积分 $\displaystyle \int e^{2x} \arctan \sqrt{e^x - 1} dx$

(16) （本题满分 10 分）

将长为 $2m$ 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值

(17) （本题满分 10 分）

设 $\Sigma$ 是曲面 $x = \sqrt{1 - 3y^2 - 3z^2}$ 的前侧，计算曲面积分

(18) （本题满分 10 分）

已知微分方程 $y'+ y = f(x)$，其中 $f(x)$ 是 $R$ 上的连续函数

• (1) 若 $f(x) = x$，求方程的通解
• (2) 若 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的函数，证明：方程存在唯一的以 $T$ 为周期的解

(19) （本题满分 10 分）

设数列 $\{x_n\}$ 满足：$x_1 > 0$，$x_ne^{x_{n + 1}} = e^{x_n} - 1 \, (n = 1,2,\cdots)$，证明数列 $\{x_n\}$ 收敛，并求 $\displaystyle\lim_{n\to \infty} x_n$

(20) （本题满分 11 分）

设实二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = (x_1 - x_2 + x_3)^2 + (x_2 + x_3)^2 + (x_1 + ax_3)^2$，其中 $a$ 是参数

• (1) 求 $f(x_1,x_2,x_3) = 0$ 的解
• (2) 求 $f(x_1,x_2,x_3)$ 的规范形

(21) （本题满分 11 分）

已知 $a$ 是常数，且矩阵 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a \end{bmatrix}$ 可经初等列变换化为矩阵 $\displaystyle B = \begin{bmatrix} 1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

• (1) 求 $a$
• (2) 求满足 $AP= B$ 的可逆矩阵 $P$

(22) （本题满分 11 分）

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=1\} = P\{X=-1\} = {1 \over 2}$, $Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，令 $Z = XY$

• (1) 求 ${\rm Cov}(X, Z)$
• (2) 求 $Z$ 的概率分布

(23) （本题满分 11 分）

设总体 $X$ 的概率密度为

其中 $\sigma \in (0, +\infty)$ 为未知参数，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，记 $\sigma$ 的最大似
然估计量为 $\hat{\sigma}$

• (1) 求 $\hat{\sigma}$
• (2) 求 $E(\hat{\sigma}),D(\hat{\sigma})$