1995年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{2 \over \sin x}=$ _____

(2) $\displaystyle {d\over dx} \int_{x^2}^0 x \cos t^2 dt =$ _____

(3) 设 $(a\times b)\cdot c= 2$，则 $[(a+b) \times (b+c)]\cdot (c+a)=$ _____

(4) 幂函数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {n \over 2^n + (-3)^n} x^{2n -1}$ 的收敛半径 $R=$ _____

(5) 设三阶方阵 $A,B$ 满足关系式 $A^{-1}BA =6A+BA$，且 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} \displaystyle {1 \over 3} & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle{1 \over 4} & 0 \\ 0 & 0 & \displaystyle{1 \over 7} \end{bmatrix}$，则 $B=$_____

二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) 设有直线 $l:\begin{cases} x+3y+2z+1=0 \\ 2x-y-10z+3=0 \end{cases}$，及平面 $\pi:4x-2y+z-2=0$，则直线 $l$

• (A) 平行于 $\pi$
• (B) 在 $\pi$ 上
• (C) 垂直于 $\pi$
• (D) 与 $\pi$ 斜交

(2) 设在 $[0, 1]$ 上 $f''(x) > 0$，则 $f'(0)$, $f'(1)$, $f(1)- f(0)$ 或 $f(0)- f(1)$ 的大小顺序是

• (A) $f'(1) > f'(0) > f(1)- f(0)$
• (B) $f'(1) > f(1) - f(0) > f'(0)$
• (C) $f(1) - f(0) > f'(1) > f'(0)$
• (D) $f'(1) > f(0)- f(1)> f'(0)$

(3) 设 $f(x)$ 可导，$F(x)= f(x)(1+|\sin x|)$，则 $f(0) = 0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的

• (A) 充分必要条件
• (B) 充分条件但非必要条件
• (C) 必要条件但非充分条件
• (D) 既非充分条件又非必要条件

(4) 设 $\displaystyle u_n = (-1)^n \ln\left(1 + {1 \over \sqrt{n}}\right)$，则级数

• (A) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n^2$ 都收敛
• (B) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n^2$ 都发散
• (C) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，而 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n^2$ 发散
• (D) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散，而 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n^2$ 收敛

(5) 设 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} + a_{11} & a_{32} + a_{12} & a_{33} + a_{13}\end{bmatrix}$, $\displaystyle P_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$, $\displaystyle P_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，则必有

• (A) $AP_1P_2 = B$
• (B) $AP_2P_1 = B$
• (C) $P_1P_2A = B$
• (D) $P_2P_1A = B$

三、（本题共 2 小题，每小题 5 分，满分 10 分）

• (1) 设 $u = f(x, y, z)$, $\varphi(x^2, e^y, z) = 0$, $y=\sin x$，其中 $f,\varphi$ 都具有一阶连续偏导数，且 $\displaystyle {\partial \varphi \over \partial z}\neq 0$，求 $\displaystyle {du \over dx}$

• (2) 设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，并设 $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=A$，求 $\displaystyle \int_0^1 dx \int_x^1 f(x)f(y)dy$

四、（本题共 2 小题，每小题 6 分，满分 12 分）

• (1) 计算曲面积分 $\displaystyle \iint\limits_\Sigma zdS$，其中 $\Sigma$ 为锥面 $z=\sqrt{x^2 + y^2}$ 在柱体 $x^2 + y^2 \leqslant 2x$ 内的部分

• (2) 将函数 $f(x) = x - 1(0 \leqslant x \leqslant 2)$ 展开成周期为 $4$ 的余弦函数

五、（本题满分 7 分）

设曲线 $L$ 位于平面 $xOy$ 的第一象限内，$L$ 上任一点 $M$ 处的切线与 $y$ 轴总相交，交点记为 $A$，已知 $|\overline{MA}|=|\overline{OA}|$，且 $L$ 过点 $\displaystyle \left({3 \over 2}, {3 \over 2}\right)$，求 $L$ 的方程

六、（本题满分 8 分）

设函数 $Q(x,y)$ 在平面 $xOy$ 上具有一阶连续偏导数，曲线积分 $\displaystyle \int_L 2xy dx+Q(x,y)dy$ 与路径无关并且对任意 $t$ 恒有 $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(t, 1)}2xydx+Q(x,y)dy=\int_{(0,0)}^{(1, t)}2xy dx+Q(x,y)dy$，求 $Q(x,y)$

七、（本题满分 8 分）

假设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在二阶导数，并且 $g''(x) \neq 0$, $f(a) = f(b) = g(a) = g(b) = 0$，试证

• (1) 在开区间 $(a,b)$ 内 $g(x) \neq 0$
• (2) 在开区间 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使 $\displaystyle {f(\xi) \over g(\xi)} = {f''(\xi) \over g''(\xi)}$

八、（本题满分 7 分）

设三阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=-1$, $\lambda_2 = \lambda_3 = 1$，对应于 $\lambda_1$ 的特征向量 $\xi_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$，求 $A$

九、（本题满分 6 分）

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，满足 $AA^T=E$ ($E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$A^T$ 是 $A$ 的转置矩阵)，$|A|<0$，求 $|A+E|$

十、填空题（本题共 2 小题，每小题 3 分，满分 6 分）

(1) 设 $X$ 表示 $10$ 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 $0.4$，则 $X^2$ 的数学期望 $E(X^2)=$ _____

(2) 设 $X$ 和 $Y$ 为两个随机变量，且 $\displaystyle P\{X \geqslant 0,Y \geqslant 0\}={3 \over 7}$, $\displaystyle P\{X \geqslant 0\} = P\{Y \geqslant 0\}={4 \over 7}$，则 $P\{\max\{X,Y\} \geqslant 0\}=$ _____

十一、（本题满分 6 分）

设随机变量 $X$ 的概率密度为

求随机变量 $Y = e^X$ 的概率密度 $f_Y(y)$