2001年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) 设 $y = e^x(C_1 \sin x + C_2 \cos x)$ ($C_1,C_2$ 为任意常数) 为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 _____

(2) $r =\sqrt{x^2＋y^2 +z^2}$，则 $\displaystyle {\rm div} (\boldsymbol{grad}\, r)\big|_{(1, -2, 2)}=$ _____

(3) 交换二次积分的积分次序：$\displaystyle\int_{-1}^0dy\int_2^{1-y}f(x,y)dx=$ _____

(4) 设矩阵 $A$ 满足 $A^2+A-4E=O$，其中 $E$ 为单位矩阵，则 $(A-2E)^{-1}=$ _____

(5) 设随机变量 $X$ 的方差为 $2$，则根据切比雪夫不等式有估计 $P\{|X-EX| \geqslant 2\} \leqslant$ _____

二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(6) 设函数 $f(x)$ 在定义域内可导，$y=f(x)$ 的图形如右图所示，

则 $y = f'(x)$ 的图形为

• (A)

• (B)

• (C)

• (D)

(7) 设 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 的附近有定义，且 $f_x'(0,0) = 3$,$f_y'(0,0) = 1$ 则

• (A) $\displaystyle dz\bigg|_{(0, 0)} =3dx + dy$

• (B) 曲面 $z=f(x,y)$ 在 $(0,0,f(0,0))$ 处的法向量为 $(3,1,1)$

• (C) 曲线 $\begin{cases} z=f(x,y)\\ y = 0 \end{cases}$ 在 $(0,0,f(0,0))$ 处的切向量为 $(1, 0, 3)$

• (D) 曲线 $\begin{cases} z=f(x,y)\\ y = 0 \end{cases}$ 在 $(0,0,f(0,0))$ 处的切向量为 $(3, 0, 1)$

(8) 设 $f(0) = 0$ 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充要条件为

• (A) $\displaystyle \lim_{h\to 0} {f(1 - \cos h) \over h^2}$ 存在

• (B) $\displaystyle \lim_{h\to 0} {f(1 - e^h) \over h}$ 存在

• (C) $\displaystyle \lim_{h\to 0} {f(h - \sin h) \over h^2}$ 存在

• (D) $\displaystyle \lim_{h\to 0} {f(2h) - f(h) \over h^2}$ 存在

(9) 设 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$，则 $A$ 与 $B$

• (A) 合同且相似
• (B) 合同但不相似
• (C) 不合同但相似
• (D) 不合同且不相似

(10) 将一枚硬币反复掷 $n$ 次，以 $X$ 和 $Y$ 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 $X$ 和 $Y$ 相关系数为

• (A) $-1$

• (B) $0$

• (C) $\displaystyle {1 \over 2}$

• (D) $1$

三、解答题（本题共 10 小题，共 70 分）

(11) （本题满分 6 分）

求 $\displaystyle \int {\arctan e^x \over e^{2x}} dx$

(12) （本题满分 6 分）

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(1, 1)$ 处可微，且 $\displaystyle f(1,1) = 1$,$\displaystyle {\partial f \over \partial x}\bigg|_{(1,1)} = 2$,$\displaystyle {\partial f \over \partial y}\bigg|_{(1,1)} = 3$,$\varphi(x) = f[x,f(x, x)]$，求 $\displaystyle {d\over dx}\varphi^3(x)\bigg|_{x=1}$

(13) （本题满分 8 分）

设 $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \displaystyle {1 + x^2 \over x} \arctan x, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$，将 $f(x)$ 展开成 $x$ 的幂级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {(-1)^n \over 1 - 4n^2}$ 的和

(14)（本题满分 7 分）

计算

其中 $L$ 是平面 $x+y+z=2$ 与柱面 $|x| + |y| = 1$ 的交线，从 $z$ 轴正向看去，$L$ 为逆时针方向

(15)（本题满分 7 分）

设 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内具有二阶连续导数且 $f''(x) \neq 0$ 证明：

• (1) 对于 $(-1, 1)$ 内的任意 $x \neq 0$，存在唯一的 $\theta(x)\in (0, 1)$，使 $f(x) = f(0)+ xf'[\theta(x)x]$ 成立

• (2) $\displaystyle \lim_{x\to 0} \theta(x) = {1 \over 2}$

(16)（本题满分 8 分）

设有一高度为 $h(t)$ ($t$ 为时间) 的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程 $\displaystyle z = h(t)- {2(x^2 + y^2) \over h(t)}$（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比 (系数为 $0.9$)，问高度为 $130$ 厘米的雪堆全部融化需多少个小时？

(17)（本题满分 6 分）

设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 为线性方程组 $Ax=0$ 的一个基础解系 $\boldsymbol{\beta}_1 = t_1\boldsymbol{\alpha}_1 + t_2\boldsymbol{\alpha}_2$,$\boldsymbol{\beta}_2 = t_1\boldsymbol{\alpha}_2 + t_2\boldsymbol{\alpha}_3$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_s = t_1\boldsymbol{\alpha}_s + t_2\boldsymbol{\alpha}_1$

其中 $t_1,t_2$ 为实常数，试间 $t_1,t_2$ 满足什么条件时，$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 也为 $Ax=0$ 的一个基础解系

(18)（本题满分 8 分）

已知 $3$ 阶矩阵 $A$ 和三维向量 $x$，使得 $x,Ax,A^2x$ 线性无关且满足 $A^3x=3Ax-2A^2x$

• (1) 记 $p = (x, Ax, A^2x)$，求 $B$ 使 $A= PBP^{-1}$
• (2) 计算行列式 $|A+E|$

(19)（本题满分 7 分）

设某班车起点站上车人数 $X$ 服从参数为 $\lambda (\lambda > 0)$ 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 $p(0 < p < 1)$，且中途下车与否相互独立，以 $Y$ 为中途下车的人数，求：

• (1) 在发车时有 $n$ 个乘客的条件下，中途有 $m$ 人下车的概率
• (2) 二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率分布

(20)（本题满分 7 分）

设总体 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ $(\sigma > 0)$，从该总体中抽取简单随机样本 $X_1,X_2,\cdots,X_{2n}$ $(n\geqslant 2)$，其样本期望值为 $\displaystyle \overline{X}={1 \over 2n} \sum_{i = 1}^{2n} X_i$，求统计量 $\displaystyle Y = \sum_{n=1}^n (X_i + X_{n + i} - 2 \overline{X})^2$ 的数学期望 $E(Y)$