数学分析：序列的极限

实数的距离

给定两个实数 $x$ 和 $y$，我们定义它们的距离 $d(x,y)$ 为：

$\varepsilon -$ 接近的实数

设 $\varepsilon > 0$ 是实数，我们说两个实数 $x,y$ 是 $\varepsilon-$ 接近的，当且仅当我们有：

实数的柯西序列

设 $\varepsilon > 0$ 是一个实数，一个实数列 $(a_n)_{n=N}^\infty$ 叫做是 $\varepsilon-$ 稳定的，当且仅当对于一切 $j,k \geqslant N$，$a_j,a_k$都是 $\varepsilon-$ 接近的；

一个从某号码 $m$ 开始的序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 叫作是 $\varepsilon-$ 强稳定的，当且仅当存在某个 $N \geqslant m$，使得 $(a_n)_{n=N}^\infty$ 是 $\varepsilon-$ 稳定的；

我们说 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 是 柯西序列，当且仅当对于每个 $\varepsilon > 0$，他们都是 $\varepsilon-$ 强稳定的

用另一种方式来说， 一个实数列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 是柯西序列，如果对于每个实数 $\varepsilon > 0$，都存在 $N\geqslant m$，使得对于一切 $n, n'\geqslant N$，$|a_n-a_{n'}| \leqslant \varepsilon$

序列的收敛

设 $\varepsilon > 0$ 是实数，并且 $L$ 是实数；一个实数列 $(a_n)_{n=N}^\infty$ 叫作是 $\varepsilon-$ 接近的，当且仅当对于每个 $n \geqslant N$, $a_n$都是 $\varepsilon-$ 接近于 $L$的；

也就是说，对于每个 $n \geqslant N$，$|a_n - L| \leqslant \varepsilon$；

我们说序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 是 $\varepsilon-$ 强接近于 $L$ 的，当且仅当存在 $N\geqslant m$，使得 $(a_n)_{n=N}^\infty$ 是 $\varepsilon-$ 接近于 $L$ 的；

我们说序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 收敛到 $L$，当且仅当对于每个实数 $\varepsilon > 0$，它是 $\varepsilon-$ 强接近于 $L$ 的

序列的极限

如果序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 收敛到某实数 $L$，我们就说这个序列是收敛的，并且它的极限是 $L$，记作：

如果序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 不收敛到任何实数 $L$，我们就说序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 是发散的，并且认为 $\lim_{n\to \infty} a_n$ 无定义

有界序列

一个实数列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 是界于实数 $M$ 的，当且仅当对于一切 $n \geqslant m$，有 $|a_n|\leqslant M$；我们说 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 是 有界的，当且仅当它是界于某实数 $M > 0$

极限运算法则

设 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 和 $(b_n)_{n=m}^\infty$ 是收敛的实数序列，并设 $x,y$ 是实数：

序列 $(a_n + b_n)_{n=m}^\infty$ 收敛到 $x + y$，即：

序列 $(a_nb_n)_{n=m}^\infty$ 收敛到 $xy$，即：

对于任意实数 $c$，序列 $(ca_n)_{n=m}^\infty$ 收敛到 $cx$，即：

序列 $(a_n - b_n)_{n=m}^\infty$ 收敛到 $x - y$，即：

设 $y \neq 0$，并对一切 $n \geqslant m$，$b_n \neq 0$，那么序列 $(b_n^{-1})_{n=m}^\infty$ 收敛到 $y^{-1}$，即：

设 $y \neq 0$，并对一切 $n \geqslant m$，$b_n \neq 0$，那么序列 $(\frac{a_n}{b_n})_{n=m}^\infty$ 收敛到 $\frac{x}{y}$，即：

序列 $(\max(a_n,b_n))_{n=m}^\infty$ 收敛到 $\max(x, y)$，即：

序列 $(\min(a_n,b_n))_{n=m}^\infty$ 收敛到 $\min(x, y)$，即：

广义实数系

广义实数系 $\mathbb{R^*}$ 是实直线 $\mathbb{R}$ 附上两个叫做 $+\infty$ 和 $-\infty$ 的元素；这两个元素彼此不同也与每个实数不同；一个广义实数 $x$ 叫作有限的，当且仅当它是实数，而叫做无限的当且仅当它等于 $+\infty$ 或 $-\infty$

广义实数负运算

我们把 $\mathbb{R}$ 上的负运算推广到 $\mathbb{R^*}$，定义：

广义实数的编序

设 $x$ 和 $y$ 是广义实数，我们说 $x \leqslant y$，当且仅当以下三命题之一成立：

• $x,y$ 是实数，且作为实数 $x \leqslant y$
• $y = + \infty$
• $x = - \infty$

我们说 $x < y$，如果有 $x \leqslant y$ 以及 $x \neq y$

广义实数集的确界

设 $E$ 是 $\mathbb{R^*}$ 的子集合，我们用下面的法则来定义 $E$ 的 上确界 或 最小上界 $\sup(E)$：

1. 如果 $E$ 包含于 $\mathbb{R}$，那么我们令 $\sup(E)$ 由实数最小上界定义确定

2. 如果 $E$ 含有 $+\infty$，那么我们令 $\sup(E) := +\infty$

3. 如果 $E$ 不含 $+\infty$ 但含有 $-\infty$，那么我们令 $\sup(E) := \sup(E - (-\infty))$ 而 $E - (-\infty)$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个子集，从而落入情形一

我们也定义 $E$ 的 下确界 或 最大下界 为：

其中 $-E$ 是集合 $-E := \{-x: x \in E\}$

序列的确界

设 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 是一个实数列，那么我们定义 $\sup(a_n)_{n=m}^\infty$ 为集合 $\{a_n : n \geqslant m\}$ 的 上确界，$\inf(a_n)_{n=m}^\infty$ 为同一集合 $\{a_n : n \geqslant m\}$ 的 下确界

单调有界序列收敛

设 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 是具有有限的上界 $M \in \mathbb{R}$ 的实数列，而且它也是单调增的（即对于一切 $n \geqslant m$，$a_{n+1} \geqslant a_n$），那么 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 收敛，并且事实上：

极限点

设 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 是实数列，$x$ 是实数，并且设实数 $\varepsilon > 0$. 我们说 $x$ 是 $\varepsilon -$ 附着于 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的，当且仅当存在 $n \geqslant m$，使得 $a_n$ 是 $\varepsilon -$ 接近于 $x$ 的；

我们说 $x$ 是 $\varepsilon -$ 持续附着于 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的，当且仅当对于每个 $N \geqslant m$，它都是 $\varepsilon -$ 附着于 $(a_n)_{n=N}^\infty$ 的；

我们说 $x$ 是 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的 极限点 或 附着点，当且仅当对于每个 $\varepsilon > 0$，它都是 $\varepsilon -$ 持续附着于 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的

上极限和下极限

设 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 是一个序列，我们定义一个新的序
列 $(a_N^+)_{N=m}^\infty$，其中：

更不正式地说，$a_N^+$ 是序列中从 $a_N$ 往后的全体元素的上确界；然后我们定义序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的上极限为：

类似地，我们可以定义：

并定义序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的下极限为：

比较原理

设 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 和 $(b_n)_{n=m}^\infty$ 是两个实数列，使得对于一切 $n \geqslant m$，$a_n \leqslant b_n$，那么我们有不等式：

夹逼定理

设 $(a_n)_{n=m}^\infty$，$(b_n)_{n=m}^\infty$，$(c_n)_{n=m}^\infty$ 是实数列，满足：$a_n \leqslant b_n \leqslant c_n$，对一切 $n \geqslant m$；

若 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 和 $(c_n)_{n=m}^\infty$ 都收敛到同一极限 $L$，那么 $(b_n)_{n=m}^\infty$ 也收敛到 $L$

实数集的完全性

一个实数列 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 是柯西序列当且仅当它是收敛的

子序列

设 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 和 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 是实数列，我们说 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 的一个 子序列，当且仅当存在一个函数 $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$，它严格增（即对于一切 $n \in \mathbb{N}, f(n + 1) > f(n)$），使得对千一切 $n \in \mathbb{N}$：

波尔查诺-维尔斯特拉斯定理

设 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 是有界序列（即，存在实数 $M>0$ 使得对于一切 $n \in \mathbb{N}, |a_n| \leqslant M$)，那么 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 至少有一个子序列收敛

指数运算的连续性

设 $x > 0$，并设 $\alpha$ 是实数，设 $(q_n)_{n=1}^\infty$ 是收敛到 $\alpha$ 的有理数序列，那么 $(x^{q_n})_{n=1}^\infty$也是收敛序列；

进而，如果 $(q_n')_{n=1}^\infty$ 也是收敛到 $\alpha$ 的比例数序列，那么 $(x^{q_n'})_{n=1}^\infty$ 与 $(x^{q_n})_{n=1}^\infty$ 有相同的极限：

实指数的指数运算

设 $x > 0$ 是实数，并设 $\alpha$ 是实数， 我们定义 $x^\alpha$为 $(x^{q_n})_{n=1}^\infty$ 的极限，其中 $(q_n)_{n=1}^\infty$ 是任何收敛到 $\alpha$ 的有理数的序列，即：

参考资料

• 陶哲轩实分析