基础定义 对象:我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号,都可以称作 对象 公理:是数学的基础,是不加证明的公设,也就是认为肯定是对的。这里说的认为,是因为公理有时候并不完全对,比如 欧几里得第五公设,由推翻第五公设发展出了非欧几何 引理:是一个容易证明的断言,它被用来帮助证明其他的命题或定理,但它本身通常不是特别有意义的 命题:是本身有意义的陈述,每个良好构成的命题都或是 真的 或是 假的, 而不可两者都是 定理:是比命题更重要的陈述,它对于论题给出确定性的断言,且通常比

数理逻辑是人们用以进行严格的数学证明的语言,了解数理逻辑对于理解数学的思考方法也是非常有帮助的,一旦掌握了数学的思考方法,就使你能以清晰的、有把握的方式来研究数学概念和数学问题。 命题 任何数学论述都是由一系列 数学命题 组成的,这些命题是涉及各种 数学对象 以及它们之间的 关系 的准确的陈述;命题可以是真的也可以是假的 合联 如果 XX 是命题,并且 YY 是命题,那么命题 XX 与 YY 当 XX 与 YY 都真时为真,当 XX 与 YY 不都真时为假,也就是 XX 与 YY 有一个为假时为假 析取 如

UpdateTime 2020-03-24

皮亚诺公理体系 公理一:00 是一个自然数 公理二: 若 nn 是 自然数,则 n++n++ 也是自然数 公理三: 对于每个自然数 nn,都有 n++ \neq 0n++ \neq 0 公理四: 若 n, mn, m 是自然数,且 n \neq mn \neq m,则 n++ \neq m++n++ \neq m++ 等价于,若 n++ = m++n++ = m++,则必有 n = mn = m 公理五 数学归纳原理 设 P(n)P(n) 是关于自然数的一个性质: 首先,如果 P(0)P(0)

整数 一个整数是一个形如 a — ba — b 的表达式,其中 aa 和 bb 是自然数,两个整数看作是相等的,a — b = c — da — b = c — d,当且仅当,a+d=c+ba+d=c+b,用 \mathbb{Z}\mathbb{Z} 表示全体整数的集合 整数的加法 两个整数的和 (a—b) + (c—d)(a—b) + (c—d) 由下式定义: (a—b) + (c—d) := (a+ c)—(b+ d) (a—b) + (c—d) := (a+ c)—(b+ d) 整数的乘法

UpdateTime 2020-03-24

序列 设 mm 是整数,一个 有理数 的序列 (a_n)_{n=m}^n(a_n)_{n=m}^n 是—个从集合 \{n \in \mathbb{Z} : n \geqslant m \}\{n \in \mathbb{Z} : n \geqslant m \} 到 \mathbb{Q}\mathbb{Q} 的函数,即一个映射,它对于每个大于或等于 mm 的整数 nn 都指定一个有理数 a_na_n; 更正式地说,一个有理数的序列 (a_n)_{n=m}^n(a_n)_{n=m}^n 是有理数 a_m, a

UpdateTime 2020-03-24

定义 设 X,YX,Y 是集合,并设 P(x,y)P(x,y) 一个涉及对象 x \in Xx \in X 以及对象 y \in Yy \in Y 的性质; 使得对每个 x \in Xx \in X,恰有一个 y \in Yy \in Y 使 P(x, y)P(x, y) 成立; 那么我们定义在 定义域 XX 和 值域 YY 上确定的函数 f:X \rightarrow Yf:X \rightarrow Y; 函数 ff 是这样的对象,它对于给定的任意的输入 x \in Xx \in X,指定一个输出 f(

UpdateTime 2020-03-25

实数的距离 给定两个实数 xx 和 yy,我们定义它们的距离 d(x,y)d(x,y) 为: d(x,y) := |x - y| d(x,y) := |x - y| \varepsilon -\varepsilon - 接近的实数 设 \varepsilon > 0\varepsilon > 0 是实数,我们说两个实数 x,yx,y 是 \varepsilon-\varepsilon- 接近的,当且仅当我们有: d(x,y) \leqslant \varepsilon d(x,y) \l

UpdateTime 2020-03-28

有限级数 设 m,nm,n 是整数,并设 (a_i)_{i=m}^n(a_i)_{i=m}^n 是实数的有限序列,它把每个介于 mm 和 nn 之间的整数 ii 对应于一个实数 a_i (m \leqslant i \leqslant n)a_i (m \leqslant i \leqslant n);那么我们用下面的递归公式来定义有限和(或有限级数): \begin{aligned} \sum_{i=m}^n a_i &:= 0, (n < m);\\ \sum_{i=m}^{n + 1} a_i &

UpdateTime 2020-03-29

可数集 集合 XX 叫作 可数无限的(或简称为可数的),当且仅当它与自然数集有相同的基数;集合 XX 叫作最多可数的,当且仅当它或者是可数的,或者是有限的;我们说一个集合是不可数的,如果它是无限的但不是可数的。 良序原理 设 XX 是自然数集合 \mathbb{N}\mathbb{N} 的一个不空的子集合,那么恰存在一个元素 n \in Xn \in X,使得对于一切 m \in Xm \in X 成立 n \leqslant mn \leqslant m; 换句话说,每个不空的自然数的集合都有最小元;