中值定理的证明
零点定理
设 f(x) 在 [a, b] 上连续,当 f(a)\cdot f(b) < 0,时,存在 \xi\in(a, b),使得 f(\xi) = 0
证明:
设 f(a) < 0,则 f(b) > 0;
令 E=\{x| f(x) \leqslant 0, x\in[a, b]\}
由 f(a) < 0 知 E \neq \varnothing,且 b 为 E 的一个上界,于是根据确界存在原理
存在 \xi = \sup E \in[a, b]
下证 f(\xi) = 0
若 f(\xi) < 0,则 \xi \in[a, b) 由函数连续的局部保号性可知:
存在 \delta > 0,对于 x \in (\xi, \xi + \delta),有 f(x) < 0,于是可知,存在 x_0 \in E 且 x_0 > \sup E,
这与 \sup E 是 E 的上界矛盾。
若 f(\xi) > 0,则 \xi \in(a, b] 由函数连续的局部保号性可知:
存在 \delta > 0,对于 x \in (\xi - \delta, \xi),有 f(x) > 0,于是可知,存在 x_1 \in E 且 x_1 < \sup E,
与 \sup E 是 E 的上确界矛盾。
综上, f(\xi) = 0,证毕。
介值定理
设 f(x) 在 [a, b] 上连续,且 m \leqslant f(x) \leqslant M;当 \mu \in [m, M],时,存在 \xi\in(a, b),使得 f(\xi) = \mu
证明:
令 g(x) = f(x) - \mu,设 f(x) 在点 x=x_0 取得最小值 m,x=x_1 取得最大值 M;
则 g(x_0) = f(x_0) - \mu = m - \mu \leqslant 0,g(x_1) = f(x_1) - \mu = M - \mu \geqslant 0
若 g(x_0) = 0 则有 f(x_0) = \mu 即存在 \xi = x_0,使得 f(\xi) = \mu;
若 g(x_1) = 0 则有 f(x_1) = \mu 即存在 \xi = x_1,使得 f(\xi) = \mu;
若 g(x_0) > 0,且 g(x_1) < 0,则根据 零点定理,存在 \xi \in (a, b) 使得 g(\xi) = 0,即 f(\xi) = \mu;
综上,存在 \xi\in(a, b),使得 f(\xi) = \mu
证毕。
费马定理
设 f(x) 满足在 x_0 处可导,且取得极值,则 f'(x_0) = 0。
证明:
设 f(x) 在 x_0 处取得极大值,则存在 x_0 的领域 U(x_0),对任意的 x\in U(x_0) 都有 \Delta f = f(x) - f(x_0) \leqslant 0;
于是根据导数的定义与极限的保号性,有
有 f(x) 在 x_0 处可导,于是 f'_-(x_0) = f'_+(x_0),故 f'(x_0) = 0。
证毕。
罗尔定理
设 f(x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,且 f(a) = f(b),则存在 \xi \in (a, b),使得 f'(\xi) = 0。
证明:
由于 f(x) 在 [a, b] 上连续,则 m = \min f(x), M = \max f(x) 存在。
若 m = M,则 f(x) \equiv c,故 f'(x) = 0,于是任意 \xi \in (a, b) 都使得 f'(\xi) = 0。
若 m < M,则有 f(a) = f(b) 则 (a, b) 内存在点 x_0 使得 f(x_0) = M。
则根据 费马定理 f'(x_0) = 0,故存在 \xi = x_0 \in (a, b),使得 f'(\xi) = 0。
证毕。
拉格朗日中值定理
设 f(x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,则存在 \xi \in (a, b),使得:
证明:
令 \displaystyle F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}x,则 F(x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导。
\displaystyle F(a) = f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}a = \frac{bf(a) - af(b)}{b - a}
\displaystyle F(b) = f(b) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}b = \frac{bf(a) - af(b)}{b - a}
故 F(a) = F(b),于是根据 罗尔定理,故存在 \xi = x_0 \in (a, b),使得 F'(\xi) = 0
即 \displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(\xi),证毕。
柯西中值定理
设 f(x),g(x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,且 g'(x) \neq 0,则存在 \xi \in (a, b),使得:
证明:
令 F(x) = [f(b) - f(a)][g(x) - g(a)] - [g(b) - g(a)][f(x) - f(a)]
则 F(x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导。
F(a) = [f(b) - f(a)][g(a) - g(a)] - [g(b) - g(a)][f(a) - f(a)] = 0
F(b) = [f(b) - f(a)][g(b) - g(a)] - [g(b) - g(a)][f(b) - f(a)] = 0
故由 罗尔定理 存在 \xi = x_0 \in (a, b),使得 F'(\xi) = [f(b) - f(a)]g'(x) - [g(b) - g(a)]f'(x) = 0
即 \displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
证毕。
积分中值定理
设 f(x) 在 [a, b] 上连续,则存在 \xi \in [a, b],使得:
证明:
因为 f(x) 在 [a, b] 上连续,则 m = \min f(x), M = \max f(x) 存在,使得 m \leqslant f(x) \leqslant M;
两边同时积分得
故
由连续函数的 介值定理 可知 存在 \xi \in [a, b],使得:
证毕。
广义积分中值定理
设 f(x) 在 [a, b] 上连续,g(x) 在 [a, b] 上连续不变号,则存在 \xi \in [a, b],使得:
证明:
设 g(x) \geqslant 0,由定积分得性质可知 \displaystyle \int_a^b g(x) dx > 0
因为 f(x) 在 [a, b] 上连续,则 m = \min f(x), M = \max f(x) 存在,使得 m \leqslant f(x) \leqslant M,则有
两边同时积分得
若 \displaystyle \int_a^b g(x) dx = 0,则由上述不等式 \displaystyle\int_a^b f(x)g(x) dx = 0 成立。
若 \displaystyle\int_a^b g(x) dx> 0,有
由连续函数的 介值定理 可知 存在 \xi \in [a, b],使得
证毕。
二重积分中值定理
设 f(x, y) 在闭区域 D 上连续,\sigma 为 D 的面积,则至少存在一点 (\xi, \eta) \in D,使得
证明:
因为 f(x, y) 在 D 上连续,则 m = \min f(x, y), M = \max f(x, y) 存在,使得 m \leqslant f(x, y) \leqslant M
两边同时在 D 上积分得
故
由连续函数的 介值定理 可知 存在一点 (\xi, \eta) \in D,使得
证毕。
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