中值定理的证明

CreateTime 2020-12-11
UpdateTime 2020-12-11

零点定理

f(x)[a, b] 上连续,当 f(a)\cdot f(b) < 0,时,存在 \xi\in(a, b),使得 f(\xi) = 0

证明:

f(a) < 0,则 f(b) > 0

E=\{x| f(x) \leqslant 0, x\in[a, b]\}

f(a) < 0E \neq \varnothing,且 bE 的一个上界,于是根据确界存在原理

存在 \xi = \sup E \in[a, b]


下证 f(\xi) = 0

f(\xi) < 0,则 \xi \in[a, b)函数连续的局部保号性可知:

存在 \delta > 0,对于 x \in (\xi, \xi + \delta),有 f(x) < 0,于是可知,存在 x_0 \in Ex_0 > \sup E

这与 \sup EE 的上界矛盾。

f(\xi) > 0,则 \xi \in(a, b]函数连续的局部保号性可知:

存在 \delta > 0,对于 x \in (\xi - \delta, \xi),有 f(x) > 0,于是可知,存在 x_1 \in Ex_1 < \sup E

\sup EE 的上确界矛盾。

综上, f(\xi) = 0,证毕。


介值定理

f(x)[a, b] 上连续,且 m \leqslant f(x) \leqslant M;当 \mu \in [m, M],时,存在 \xi\in(a, b),使得 f(\xi) = \mu

证明:

g(x) = f(x) - \mu,设 f(x) 在点 x=x_0 取得最小值 mx=x_1 取得最大值 M

g(x_0) = f(x_0) - \mu = m - \mu \leqslant 0g(x_1) = f(x_1) - \mu = M - \mu \geqslant 0

g(x_0) = 0 则有 f(x_0) = \mu 即存在 \xi = x_0,使得 f(\xi) = \mu

g(x_1) = 0 则有 f(x_1) = \mu 即存在 \xi = x_1,使得 f(\xi) = \mu

g(x_0) > 0,且 g(x_1) < 0,则根据 零点定理,存在 \xi \in (a, b) 使得 g(\xi) = 0,即 f(\xi) = \mu

综上,存在 \xi\in(a, b),使得 f(\xi) = \mu

证毕。


费马定理

f(x) 满足在 x_0可导,且取得极值,则 f'(x_0) = 0

证明:

f(x)x_0 处取得极大值,则存在 x_0 的领域 U(x_0),对任意的 x\in U(x_0) 都有 \Delta f = f(x) - f(x_0) \leqslant 0

于是根据导数的定义与极限的保号性,有

\begin{aligned} f'_-(x_0) = \lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \geqslant 0 \\ f'_+(x_0) = \lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \leqslant 0 \\ \end{aligned}

f(x)x_0 处可导,于是 f'_-(x_0) = f'_+(x_0),故 f'(x_0) = 0

证毕。


罗尔定理

f(x)[a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,且 f(a) = f(b),则存在 \xi \in (a, b),使得 f'(\xi) = 0

证明:

由于 f(x)[a, b] 上连续,则 m = \min f(x), M = \max f(x) 存在。

m = M,则 f(x) \equiv c,故 f'(x) = 0,于是任意 \xi \in (a, b) 都使得 f'(\xi) = 0

m < M,则有 f(a) = f(b)(a, b) 内存在点 x_0 使得 f(x_0) = M

则根据 费马定理 f'(x_0) = 0,故存在 \xi = x_0 \in (a, b),使得 f'(\xi) = 0

证毕。


拉格朗日中值定理

f(x)[a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,则存在 \xi \in (a, b),使得:

\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(\xi)

证明:

\displaystyle F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}x,则 F(x)[a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导。

\displaystyle F(a) = f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}a = \frac{bf(a) - af(b)}{b - a}

\displaystyle F(b) = f(b) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}b = \frac{bf(a) - af(b)}{b - a}

F(a) = F(b),于是根据 罗尔定理,故存在 \xi = x_0 \in (a, b),使得 F'(\xi) = 0

\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(\xi),证毕。

柯西中值定理

f(x),g(x)[a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,且 g'(x) \neq 0,则存在 \xi \in (a, b),使得:

\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

证明:

F(x) = [f(b) - f(a)][g(x) - g(a)] - [g(b) - g(a)][f(x) - f(a)]

F(x)[a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导。

F(a) = [f(b) - f(a)][g(a) - g(a)] - [g(b) - g(a)][f(a) - f(a)] = 0

F(b) = [f(b) - f(a)][g(b) - g(a)] - [g(b) - g(a)][f(b) - f(a)] = 0

故由 罗尔定理 存在 \xi = x_0 \in (a, b),使得 F'(\xi) = [f(b) - f(a)]g'(x) - [g(b) - g(a)]f'(x) = 0

\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

证毕。


积分中值定理

f(x)[a, b] 上连续,则存在 \xi \in [a, b],使得:

\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b - a)

证明:

因为 f(x)[a, b] 上连续,则 m = \min f(x), M = \max f(x) 存在,使得 m \leqslant f(x) \leqslant M

两边同时积分得

m(b - a) \leqslant \int_a^b f(x) dx \leqslant M(b - a)

m \leqslant \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) dx \leqslant M

由连续函数的 介值定理 可知 存在 \xi \in [a, b],使得:

\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x) dx = f(\xi)

证毕。


广义积分中值定理

f(x)[a, b] 上连续,g(x)[a, b] 上连续不变号,则存在 \xi \in [a, b],使得:

\int_a^b f(x)g(x) dx = f(\xi)\int_a^b g(x) dx

证明:

g(x) \geqslant 0,由定积分得性质可知 \displaystyle \int_a^b g(x) dx > 0

因为 f(x)[a, b] 上连续,则 m = \min f(x), M = \max f(x) 存在,使得 m \leqslant f(x) \leqslant M,则有

mg(x) \leqslant f(x)g(x) \leqslant Mg(x)

两边同时积分得

m\int_a^b g(x) dx \leqslant \int_a^b f(x)g(x) dx \leqslant M\int_a^b g(x) dx

\displaystyle \int_a^b g(x) dx = 0,则由上述不等式 \displaystyle\int_a^b f(x)g(x) dx = 0 成立。

\displaystyle\int_a^b g(x) dx> 0,有

m \leqslant\frac{ \displaystyle\int_a^b f(x)g(x) dx }{\displaystyle\int_a^b g(x) dx} \leqslant M

由连续函数的 介值定理 可知 存在 \xi \in [a, b],使得

\begin{aligned} f'(\xi) = \frac{ \displaystyle\int_a^b f(x)g(x) dx }{\displaystyle\int_a^b g(x) dx} \end{aligned}

证毕。


二重积分中值定理

f(x, y) 在闭区域 D 上连续,\sigmaD 的面积,则至少存在一点 (\xi, \eta) \in D,使得

\iint\limits_D f(x, y) d\sigma = f(\xi, \eta) \sigma

证明:

因为 f(x, y)D 上连续,则 m = \min f(x, y), M = \max f(x, y) 存在,使得 m \leqslant f(x, y) \leqslant M

两边同时在 D 上积分得

m\sigma \leqslant \iint\limits_D f(x, y) d\sigma \leqslant M\sigma

m \leqslant \frac{1}{\sigma} \iint\limits_D f(x, y) d\sigma \leqslant M

由连续函数的 介值定理 可知 存在一点 (\xi, \eta) \in D,使得

f(\xi, \eta) = \frac{1}{\sigma} \iint\limits_D f(x, y) d\sigma

证毕。