零点定理

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，当 $f(a)\cdot f(b) < 0$，时，存在 $\xi\in(a, b)$，使得 $f(\xi) = 0$

证明：

设 $f(a) < 0$，则 $f(b) > 0$；

令 $E=\{x| f(x) \leqslant 0, x\in[a, b]\}$

由 $f(a) < 0$ 知 $E \neq \varnothing$，且 $b$ 为 $E$ 的一个上界，于是根据确界存在原理

存在 $\xi = \sup E \in[a, b]$

下证 $f(\xi) = 0$

若 $f(\xi) < 0$，则 $\xi \in[a, b)$ 由函数连续的局部保号性可知：

存在 $\delta > 0$，对于 $x \in (\xi, \xi + \delta)$，有 $f(x) < 0$，于是可知，存在 $x_0 \in E$ 且 $x_0 > \sup E$，

这与 $\sup E$ 是 $E$ 的上界矛盾。

若 $f(\xi) > 0$，则 $\xi \in(a, b]$ 由函数连续的局部保号性可知：

存在 $\delta > 0$，对于 $x \in (\xi - \delta, \xi)$，有 $f(x) > 0$，于是可知，存在 $x_1 \in E$ 且 $x_1 < \sup E$，

与 $\sup E$ 是 $E$ 的上确界矛盾。

综上， $f(\xi) = 0$，证毕。

介值定理

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $m \leqslant f(x) \leqslant M$；当 $\mu \in [m, M]$，时，存在 $\xi\in(a, b)$，使得 $f(\xi) = \mu$

证明：

令 $g(x) = f(x) - \mu$，设 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 取得最小值 $m$，$x=x_1$ 取得最大值 $M$；

则 $g(x_0) = f(x_0) - \mu = m - \mu \leqslant 0$，$g(x_1) = f(x_1) - \mu = M - \mu \geqslant 0$

若 $g(x_0) = 0$ 则有 $f(x_0) = \mu$ 即存在 $\xi = x_0$，使得 $f(\xi) = \mu$；

若 $g(x_1) = 0$ 则有 $f(x_1) = \mu$ 即存在 $\xi = x_1$，使得 $f(\xi) = \mu$；

若 $g(x_0) > 0$，且 $g(x_1) < 0$，则根据 零点定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $g(\xi) = 0$，即 $f(\xi) = \mu$；

综上，存在 $\xi\in(a, b)$，使得 $f(\xi) = \mu$

证毕。

费马定理

设 $f(x)$ 满足在 $x_0$ 处可导，且取得极值，则 $f'(x_0) = 0$。

证明：

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值，则存在 $x_0$ 的领域 $U(x_0)$，对任意的 $x\in U(x_0)$ 都有 $\Delta f = f(x) - f(x_0) \leqslant 0$；

于是根据导数的定义与极限的保号性，有

有 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，于是 $f'_-(x_0) = f'_+(x_0)$，故 $f'(x_0) = 0$。

证毕。

罗尔定理

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a) = f(b)$，则存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $f'(\xi) = 0$。

证明：

由于 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $m = \min f(x), M = \max f(x)$ 存在。

若 $m = M$，则 $f(x) \equiv c$，故 $f'(x) = 0$，于是任意 $\xi \in (a, b)$ 都使得 $f'(\xi) = 0$。

若 $m < M$，则有 $f(a) = f(b)$ 则 $(a, b)$ 内存在点 $x_0$ 使得 $f(x_0) = M$。

则根据 费马定理 $f'(x_0) = 0$，故存在 $\xi = x_0 \in (a, b)$，使得 $f'(\xi) = 0$。

证毕。

拉格朗日中值定理

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in (a, b)$，使得：

证明：

令 $\displaystyle F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}x$，则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导。

$\displaystyle F(a) = f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}a = \frac{bf(a) - af(b)}{b - a}$

$\displaystyle F(b) = f(b) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}b = \frac{bf(a) - af(b)}{b - a}$

故 $F(a) = F(b)$，于是根据 罗尔定理，故存在 $\xi = x_0 \in (a, b)$，使得 $F'(\xi) = 0$

即 $\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(\xi)$，证毕。

柯西中值定理

设 $f(x),g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $g'(x) \neq 0$，则存在 $\xi \in (a, b)$，使得：

证明：

令 $F(x) = [f(b) - f(a)][g(x) - g(a)] - [g(b) - g(a)][f(x) - f(a)]$

则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导。

$F(a) = [f(b) - f(a)][g(a) - g(a)] - [g(b) - g(a)][f(a) - f(a)] = 0$

$F(b) = [f(b) - f(a)][g(b) - g(a)] - [g(b) - g(a)][f(b) - f(a)] = 0$

故由 罗尔定理 存在 $\xi = x_0 \in (a, b)$，使得 $F'(\xi) = [f(b) - f(a)]g'(x) - [g(b) - g(a)]f'(x) = 0$

即 $\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

证毕。

积分中值定理

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a, b]$，使得：

证明：

因为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $m = \min f(x), M = \max f(x)$ 存在，使得 $m \leqslant f(x) \leqslant M$；

两边同时积分得

故

由连续函数的 介值定理 可知 存在 $\xi \in [a, b]$，使得：

证毕。

广义积分中值定理

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续不变号，则存在 $\xi \in [a, b]$，使得：

证明：

设 $g(x) \geqslant 0$，由定积分得性质可知 $\displaystyle \int_a^b g(x) dx > 0$

因为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $m = \min f(x), M = \max f(x)$ 存在，使得 $m \leqslant f(x) \leqslant M$，则有

两边同时积分得

若 $\displaystyle \int_a^b g(x) dx = 0$，则由上述不等式 $\displaystyle\int_a^b f(x)g(x) dx = 0$ 成立。

若 $\displaystyle\int_a^b g(x) dx> 0$，有

由连续函数的 介值定理 可知 存在 $\xi \in [a, b]$，使得

证毕。

二重积分中值定理

设 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，$\sigma$ 为 $D$ 的面积，则至少存在一点 $(\xi, \eta) \in D$，使得

证明：

因为 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，则 $m = \min f(x, y), M = \max f(x, y)$ 存在，使得 $m \leqslant f(x, y) \leqslant M$

两边同时在 $D$ 上积分得

故

由连续函数的 介值定理 可知 存在一点 $(\xi, \eta) \in D$，使得

证毕。