2016年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）

(1) 若反常积分 $\displaystyle \int_0^{+\infty} {1 \over x^a (1 + x)^b} dx$ 收敛，则

• (A) $a < 1$ 且 $b > 1$
• (B) $a > 1$ 且 $b > 1$
• (C) $a < 1$ 且 $a + b > 1$
• (D) $a > 1$ 且 $a + b > 1$

(2) 已知函数 $f(x) = \begin{cases} 2(x - 1), & x < 1 \\ \ln x, & x \geqslant 1 \\\end{cases}$ 则 $f(x)$ 的一个原函数是

• (A) $F(x) = \begin{cases} (x - 1)^2, & x < 1 \\ x(\ln x - 1), & x \geqslant 1 \\\end{cases}$

• (B) $F(x) = \begin{cases} (x - 1)^2, & x < 1 \\ x(\ln x + 1) - 1, & x \geqslant 1 \\\end{cases}$

• (C) $F(x) = \begin{cases} (x - 1)^2, & x < 1 \\ x(\ln x + 1) + 1, & x \geqslant 1 \\\end{cases}$

• (D) $F(x) = \begin{cases} (x - 1)^2, & x < 1 \\ x(\ln x - 1) + 1, & x \geqslant 1 \\\end{cases}$

(3) 若 $y= (1 + x^2)^2 - \sqrt{1 + x^2}$，$y=(1 + x^2)^2 + \sqrt{1 + x^2}$ 是微分方程 $y'+ p(x)y = q(x)$ 的两个解，则 $q(x)=$

• (A) $3x(1 +x^2)$

• (B) $-3x(1 +x^2)$

• (C) $\displaystyle{x \over 1 + x^2}$

• (D) $\displaystyle - {x \over 1 + x^2}$

(4) 已知函数 $f(x)= \begin{cases} x, & x \leqslant 0, \\ \displaystyle {1 \over n}, & \displaystyle {1 \over n + 1} < x \leqslant {1 \over n}, n = 1,2,\cdots, \end{cases}$ 则

• (A) $x = 0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点
• (B) $x = 0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点
• (C) $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续但不可导
• (D) $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导

(5) 设 $A,B$ 是可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是

• (A) $A^T$ 与 $B^T$ 相似
• (B) $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
• (C) $A + A^T$ 与 $B + B^T$ 相似
• (D) $A + A^{-1}$ 与 $B + B^{-1}$ 相似

(6) 设二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 4 x_1x_2 + 4x_1x_3 + 4x_2x_3$，则 $f(x_1, x_2, x_3) = 2$ 在空间直角坐标下表示的二次曲面为

• (A) 单叶双曲面
• (B) 双叶双曲面
• (C) 椭球面
• (D) 柱面

(7) 设随机变量 $X \sim N(\mu, \sigma^2),(\sigma >0)$，记 $p=P\{X \leqslant \mu + \sigma^2\}$，则

• (A) $p$ 随着 $\mu$ 的增加而增加
• (B) $p$ 随着 $\sigma$ 的增加而增加
• (C) $p$ 随着 $\mu$ 的增加而减少
• (D) $p$ 随着 $\sigma$ 的增加而减少

(8) 随机试验 $E$ 有三种两两不相容的结果 $A_1,A_2,A_3$，且三种结果发生的概率均 $\displaystyle {1 \over 3}$，将试验 $E$ 独立重复做$2$ 次，$X$ 表示 $2$ 次试验中结果 $A_1$ 发生的次数，$Y$ 表示 $2$ 次试验中结果 $A_2$ 发生的次数，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为

• (A) $\displaystyle -{1 \over 2}$

• (B) $\displaystyle -{1 \over 3}$

• (C) $\displaystyle {1 \over 3}$

• (D) $\displaystyle {1 \over 2}$

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

(9) $\displaystyle \lim_{x\to 0} {\displaystyle {\int_0^x t \ln(1 + t\sin t) dt} \over 1 - \cos x^2} =$ _____

(10) 向量场 $A(x, y, z) = (x + y + z)\boldsymbol{i} + xy\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}$ 的旋度 ${\rm rot}\, A =$ _____

(11) 设函数 $f(u,v)$ 可微，$z=z(x,y)$ 由方程 $(x+1)z - y^2 = x^2f(x -z,y)$ 确定，则 $dz\big|_{(0, 1)}=$

(12) 设函数 $\displaystyle f(x) = \arctan x - {x \over 1 + ax^2}$ 且 $f'''(0) = 1$，则 $a=$ _____

(13) 行列式 $\displaystyle \begin{vmatrix}\lambda & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & 2 & \lambda + 1 \\ \end{vmatrix}=$ _____

(14) 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的简单随机样本，样本均值 $\overline{X}=9.5$，参数 $\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的双侧置信区间的置信上限为 $10.8$，则 $\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的双侧置信区间为 _____

三、解答题（本题共 9 小题，共 94 分）

(15) （本题满分 10 分）

已知平面区域 $D=\left\{(r, \theta) | 2 \leqslant r \leqslant 2(1 + \cos \theta), \displaystyle -{\pi \over 2} \leqslant \theta \leqslant {\pi \over 2}\right\}$，计算二重积分 $\displaystyle\iint\limits_D x dxdy$

(16) （本题满分 10 分）

设函数 $y(x)$ 满足方程 $y'' + 2y'+ ky = 0$，其中 $0 < k <1$

• (1) 证明：反常积分 $\displaystyle \int_0^{+\infty} y(x)dx$ 收敛

• (2) 若 $y(0) = 1, y'(0) = 1$，求 $\displaystyle \int_0^{+\infty} y(x)dx$ 的值．

(17) （本题满分 10 分）

设函数 $f(x, y)$ 满足 $\displaystyle {\partial f(x, y) \over \partial x} = (2x + 1)e^{2x - y}$，且 $f(0,y) = y + 1$，$L_t$ 是从点 $(0,0)$ 到点 $(1, t)$ 的光滑曲线，计算曲线积分 $\displaystyle I(t) = \int_{L_t} {\partial f(x,y) \over \partial x} dx + {\partial f(x,y) \over \partial y} dy$，并求 $I(t)$ 的最小值

(18) （本题满分 10 分）

设有界区域 $\Omega$ 由平面 $2x +y +2z =2$ 与三个坐标平面围成，$\Sigma$ 为 $\Omega$ 整个表面的外侧，计算曲面积分

(19) （本题满分 10 分）

已知函数 $f(x)$ 可导，且 $\displaystyle f(0) = 1,0 < f'(x) < {1 \over 2}$ 设数列 $\{x_n\}$ 满足 $\displaystyle x_{n + 1} =f(x_n) \, (n = 1,2, \cdots)$，证明：

• (1) 级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (x_{n + 1} - x_n)$ 绝对收敛

• (2) $\displaystyle \lim_{n\to \infty} x_n$ 存在，且 $\displaystyle 0 < \lim_{n\to \infty} x_n < 2$

(20) （本题满分 11 分）

设矩阵 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 2 & a & 1 \\ -1 & 1 & a \end{bmatrix}$，$\displaystyle B = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & a \\ -a-1 & -2\end{bmatrix}$，当 $a$ 为何值时，方程 $AX=B$ 无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求解此方程

(21) （本题满分 11 分）

已知矩阵 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

• (1) 求 $A^{99}$

• (2) 设 $3$ 阶矩阵 $B=(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)$ 满足 $B^2 = BA$，记 $B^{100} =(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3)$，将 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3$ 分别表示为 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 的线性组合

(22) （本题满分 11 分）

设二维随机变量 $(X,Y)$ 在区域 $D=\{(x, y) | 0 < x < 1, x^2 < y < \sqrt{x}\}$ 上服从均匀分布，令 $\displaystyle U=\begin{cases}1, & X \leqslant Y \\ 0, & X>Y\end{cases}$

• (1) 写出 $(X,Y)$ 的概率密度
• (2) 问 $U$ 与 $X$ 是否相互独立？并说明理由
• (3) 求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F_Z(z)$

(23) （本题满分 11 分）

设总体 $X$ 的概率密度为

其中 $\theta \in (0, +\infty)$ 为未知参数，$X_1,X_2,X_3$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，令 $T = \max\{X_1,X_2,X_3\}$

• (1) 求 $T$ 的概率密度
• (2) 确定 $a$，使得 $aT$ 为 $\theta$ 的无偏估计