1990年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) 过点 $M(1,2-1)$ 且与直线 $\begin{cases} x = -t + 2 \\ y = 3t - 4 \\ z = t - 1 \end{cases}$ 垂直的平面方程是 _____

(2) 设 $a$ 为非零常数，则 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\left(x + a \over x - a\right)^{x}=$ _____

(3) 设函数 $f(x)=\begin{cases} 1, & |x| \leqslant 1 \\ 0, & |x| > 1\end{cases}$，则 $f[f(x)]=$ _____

(4) 积分 $\displaystyle \int_0^2dx\int_x^2 e^{-y^2}dy$ 的值等于 _____

(5) 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1, 2,3, 4)$, $\boldsymbol{\alpha}_2 = (2,3,4,5)$, $\boldsymbol{\alpha}_3 = (3,4,5,6)$，$\boldsymbol{\alpha}_4 = (4,5,6,7)$，则该向是组的秩是 _____

二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) 设 $f(x)$ 是连续函数，且 $\displaystyle F(x) = \int_x^{e^{-x}} f(t)dt$，则 $F'(x)$ 等于
扩z

• (A) $-e^{-x}f(e^{-x})-f(x)$
• (B) $-e^{-x}f(e^{-x})+f(x)$
• (C) $e^{-x}f(e^{-x})-f(x)$
• (D) $e^{-x}f(e^{-x})+f(x)$

(2) 已知函数 $f(x)$ 具有任意阶导数，且 $f'(x) = [f (x)]^2$，则当 $n$ 为大于 $2$ 的正整数时，$f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)$ 是

• (A) $n![f(x)]^{n + 1}$
• (B) $n[f(x)]^{n + 1}$
• (C) $[f(x)]^{2n}$
• (D) $n![f(x)]^{2n}$

(3) 设 $a$ 为常数，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left[{\sin (n a) \over n^2} - {1 \over \sqrt{n}}\right]$

• (A) 绝对收敛
• (B) 条件收敛
• (C) 发散
• (D) 收敛性与 $a$ 的取值有关

(4) 已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内连续，且 $f(0) = 0$, $\displaystyle \lim_{x \to 0} {f(x) \over 1 - \cos x}= 2$，则在点 $x=0$ 处 $f(x)$

• (A) 不可导
• (B) 可导，且 $f'(0)\neq 0$
• (C) 取得极大值
• (D) 取得极小值

(5) 已知 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 是非齐次线性方程组 $AX=b$ 的两个不同的解， $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$ 是对应其次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系，$k_1, k_2$ 为任意常数，则方程组 $Ax=b$ 的通解（一般解）必是

• (A) $\displaystyle k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2) + {\boldsymbol{\beta}_1 - \boldsymbol{\beta}_2 \over 2}$

• (B) $\displaystyle k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2(\boldsymbol{\alpha}_1 - \boldsymbol{\alpha}_2) + {\boldsymbol{\beta}_1 + \boldsymbol{\beta}_2 \over 2}$

• (C) $\displaystyle k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2(\boldsymbol{\beta}_1 + \boldsymbol{\beta}_2) + {\boldsymbol{\beta}_1 - \boldsymbol{\beta}_2 \over 2}$

• (D) $\displaystyle k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2(\boldsymbol{\beta}_1 - \boldsymbol{\beta}_2) + {\boldsymbol{\beta}_1 + \boldsymbol{\beta}_2 \over 2}$

三、（本题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分）

(1) 求 $\displaystyle \int_0^1 {\ln(1 + x) \over (2 - x)^2} dx$

(2) 设 $z=f(2x-y,y\sin x)$，其中 $f(u,v)$ 具有连续的二阶偏导数，求 $\displaystyle{\partial^2 z \over \partial x \partial y}$

(3) 求微分方程 $y'' + 4y'+ 4y = e^{-2x}$ 的通解（一般解）

四、（本题满分 6 分）

求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (2n + 1)x^n$ 的收敛域，并求其和函数

五、（本题满分 8 分）

求曲面积分

其中 $S$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=4$ 外侧在 $z \geqslant 0$ 的部分

六、（本题满分 7 分）

设不恒为常数的函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$，证明在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f'(\xi) > 0$

七、（本题满分 6 分）

设四阶矩阵 $B=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$, $C=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix}$，且矩阵 $A$ 满足关系式 $A(E - C^{-1}B)^TC^T= E$，其中 $E$ 为 $4$ 阶单位矩阵，$C^{-1}$ 表示 $C$ 的逆矩阵，$C^T$ 表示 $C$ 的转置矩阵，将上述关系式化简并求矩阵 $A$

八、（本题满分 8 分）

求一个正交变换化二次型 $f=x_1^2 + 4x_2^2 + 4x_3^2 - 4x_1x_2 + 4x_1x_3 - 8x_2x_3$ 成标准型

九、（本题满分 8 分）

质点 $P$ 沿若以 $AB$ 为直径的半圆周，从点 $A(1,2)$ 运动到点 $B(3,4)$ 的过程中受变力 $\boldsymbol{F}$ 作用（见图），$\boldsymbol{F}$ 的大小等于点 $P$ 与原点 $O$ 之间的距离，其方向垂直于线段 $OP$，且与 $y$ 轴正向的夹角小于 $\displaystyle {\pi \over 2}$，求变力 $\boldsymbol{F}$ 对质点 $P$ 所作的功

十、填空题（本题共 3 小题，每小题 2 分，满分 6 分）

(1) 已知随机变量 $X$ 的概率密度函数 $\displaystyle f(x) = {1\over 2} e^{-|x|}$
, $-\infty < x < + \infty$，则 $X$ 的概率分布函数 $F(x)=$ _____

(2) 设随机事件 $A,B$ 及其和事件 $A\cup B$ 的概率分别是 $0.4$, $0.3$ 和 $0.6$，若 $\overline{B}$ 表示 $B$ 的对立事件，那么积事件 $A\overline{B}$ 的概率 $P(A\overline{B})=$ _____

(3) 已知离散型随机变量 $X$ 服从参数为 $2$ 的泊松分布，则随机变量 $Z=3X-2$ 的数学期望 $E(Z)=$ _____

十一、（本题满分 6 分）

设二维随机变量 $(X,Y)$ 在区域 $D: 0 < x <1, |y| <x$ （如图）内服从均匀分布，求关于 $X$ 的边缘概率密度函数及随机变量 $Z=2X+1$ 的方差 $D(Z)$