《数学桥》读书笔记

CreateTime 2020-06-18
UpdateTime 2022-05-31

数论

素数定理

一个小于任意数 N 的素数大约有 \displaystyle\frac{N}{\ln N} 个,而且随着 N 的增大,近似程度越来越好。

贝祖引理

对于任意两个不都为零的整数 ab,我们可以找到整数 uv,使得 au + bv = 1 的解的充要条件是 ab 互素。


贝祖引理的证明:

我们当然知道,ab 只有互素时,才能满足 au+bv=1;否则的话,我们可以用 ab 的最大公因数去除这个方程的两边,这样会使左边成为一个整数而右边成为一个小于 1 的分数,而整数小于一的分数是不可能相等的。因此,ab 互素,等式才能成立。

现在考虑选取这样的 uv,它们使得 au+bv 是所有这种形式的数当中最小的正整数 s,我们要证明 s=1,为了做到这一点,我们将证明 s 同时整除互素的数 ab;这一点只有当 s=1 时才能实现,为此,我们求助于长除法,它告诉我们,可以找到整数 qr,使得

\begin{aligned} &a = sq+r, 0\leqslant r < s\\ \Rightarrow r & = a-sq\\ &= a - (au + bv)q \\ &= a(1-uq) + b(-vq) \end{aligned}

于是我们找到了新的整数 U=1-uqV=-vq,它们给出了一个非负整数 r= aU+bV,这个 r 小于假定为 最小 的正整数 s,这件事要成为可能,唯一的方式是 r = 0,在这种情形下有 a=sq,于是 s 整除 a;同理可证,s 也一定整除 b,这样,s 就是 ab 的公因数既然 ab 互素,那么我们推出 s=1,于是结论得证.

微分

绝对值函数:除了一点处处可微

f(x) = |x|

只有在一点可微的函数

f(x) = \left\{\begin{aligned} &x^2, x \in \mathbb{Q}\\ &0, x \notin \mathbb{Q}\\ \end{aligned}\right.

函数在 x=0 处可微

心形线

\left\{ \begin{aligned} 4x &= 2\cos t - \cos 2t \\ 4y &= 2\sin t - \sin 2t \\ \end{aligned} \right.

代数

简谐振动的微分方程

\frac{d^2 y(x)}{d x^2} + \omega^2 y(x) = 0

这个方程的通解为:

y(x) = A\cos(\omega x) + B \sin(\omega x), A, B \in \mathbb{R}

参考资料

  • [美] 斯蒂芬·弗莱彻·休森 - 《数学桥》