《数学桥》读书笔记
数论
素数定理
一个小于任意数 N 的素数大约有 \displaystyle\frac{N}{\ln N} 个，而且随着 N 的增大，近似程度越来越好。
贝祖引理
对于任意两个不都为零的整数 a 和 b，我们可以找到整数 u 和 v，使得 au + bv = 1 的解的充要条件是 a 和 b 互素。
贝祖引理的证明：
我们当然知道，a 和 b 只有互素时，才能满足 au+bv=1；否则的话，我们可以用 a 和 b 的最大公因数去除这个方程的两边，这样会使左边成为一个整数而右边成为一个小于 1 的分数，而整数和小于一的分数是不可能相等的。因此，a 和 b 互素，等式才能成立。
现在考虑选取这样的 u 和 v，它们使得 au+bv 是所有这种形式的数当中最小的正整数 s，我们要证明 s=1，为了做到这一点，我们将证明 s 同时整除互素的数 a 和 b；这一点只有当 s=1 时才能实现，为此，我们求助于长除法，它告诉我们，可以找到整数 q 和 r，使得
\begin{aligned}
&a = sq+r, 0\leqslant r < s\\
\Rightarrow r & = a-sq\\
&= a - (au + bv)q \\
&= a(1-uq) + b(-vq)
\end{aligned}
于是我们找到了新的整数 U=1-uq 和 V=-vq，它们给出了一个非负整数 r= aU+bV，这个 r 小于假定为 最小 的正整数 s，这件事要成为可能，唯一的方式是 r = 0，在这种情形下有 a=sq，于是 s 整除 a；同理可证，s 也一定整除 b，这样，s 就是 a 和 b 的公因数既然 a 和 b 互素，那么我们推出 s=1，于是结论得证．
微分
绝对值函数：除了一点处处可微
f(x) = |x|
只有在一点可微的函数
f(x) = \left\{\begin{aligned}
&x^2, x \in \mathbb{Q}\\
&0, x \notin \mathbb{Q}\\
\end{aligned}\right.
函数在 x=0 处可微
心形线
\left\{
\begin{aligned}
4x &= 2\cos t - \cos 2t \\
4y &= 2\sin t - \sin 2t \\
\end{aligned}
\right.
代数
简谐振动的微分方程
\frac{d^2 y(x)}{d x^2} + \omega^2 y(x) = 0
这个方程的通解为：
y(x) = A\cos(\omega x) + B \sin(\omega x), A, B \in \mathbb{R}
参考资料
- [美] 斯蒂芬·弗莱彻·休森 - 《数学桥》