数论 素数定理 一个小于任意数 NN 的素数大约有 \displaystyle\frac{N}{\ln N}\displaystyle\frac{N}{\ln N} 个，而且随着 NN 的增大，近似程度越来越好。 贝祖引理 对于任意两个不都为零的整数 aa 和 bb，我们可以找到整数 uu 和 vv，使得 au + bv = 1au + bv = 1 的解的充要条件是 aa 和 bb 互素。 贝祖引理的证明： 我们当然知道，aa 和 bb 只有互素时，才能满足 au+bv=1au+bv=1；否则的

行列式 上（下）三角行列式 \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \prod_{i=1}^{n}a_{ii} \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & a_{22} & \cdots & 0

微积分 高阶导数 (a^x)^{(n)} = (\ln a)^n\cdot a^x(a^x)^{(n)} = (\ln a)^n\cdot a^x 证明： 用数学归纳法 当 n = 1n = 1 时： (a^x)' = (e^{x\ln a})' = \ln a \cdot e^{x\ln a} = \ln a \cdot a^x(a^x)' = (e^{x\ln a})' = \ln a \cdot e^{x\ln a} = \ln a \cdot a^x，成立 设 n = kn = k 时，(a^x