2014年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）

(1) 下列曲线中有渐近线的是

• (A) $y = x + \sin x$

• (B) $y = x^2 + \sin x$

• (C) $\displaystyle y = x + \sin {1\over x}$

• (D) $\displaystyle y = x^2 + \sin {1\over x}$

(2) 设函数 $f(x)$ 具有 $2$ 阶导数，$g(x) = f(0)(1 - x) + f(1)x$，则在区间 $[0, 1]$ 上

• (A) 当 $f'(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \geqslant g(x)$
• (B) 当 $f'(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \leqslant g(x)$
• (C) 当 $f''(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \geqslant g(x)$
• (D) 当 $f''(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \leqslant g(x)$

(3) 设 $f(x,y)$ 是连续函数，则 $\displaystyle \int_0^1 dy \int_{-\sqrt{1 - y^2}}^{1-y} f(x, y) dx =$

• (A) $\displaystyle \int_0^1 dx \int_{0}^{x - 1} f(x, y) dy + \int_{-1}^0 dx \int_{0}^{\sqrt{1 - x^2}} f(x, y) dy$

• (B) $\displaystyle \int_0^1 dx \int_{0}^{1 - x} f(x, y) dy + \int_{-1}^0 dx \int_{-\sqrt{1 - x^2}}^{0} f(x, y) dy$

• (C) $\displaystyle \int_0^{\pi \over 2} d\theta \int_{0}^{1 \over \cos \theta + \sin \theta} f(r\cos \theta, r\sin \theta) dr + \int_{\pi \over 2}^{\pi} d\theta \int_{0}^{1} f(r\cos \theta, r\sin \theta) dr$

• (D) $\displaystyle \int_0^{\pi \over 2} d\theta \int_{0}^{1 \over \cos \theta + \sin \theta} f(r\cos \theta, r\sin \theta) rdr + \int_{\pi \over 2}^{\pi} d\theta \int_{0}^{1} f(r\cos \theta, r\sin \theta) rdr$

(4)若 $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi (x - a_1 \cos x - b_1 \sin x)^2 dx = \min_{a, b\in \mathbb{R}} \left\{\int_{-\pi}^\pi (x - a \cos x - b \sin x)^2 dx \right\}$，则 $a_1 \cos x + b_1 \sin x =$

• (A) $2 \sin x$
• (B) $2 \cos x$
• (C) $2 \pi \sin x$
• (D) $2 \pi \cos x$

(5) 行列式 $\displaystyle \begin{vmatrix} 0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d \\ \end{vmatrix}=$

• (A) $(ad - bc)^2$
• (B) $-(ad - bc)^2$
• (C) $a^2d^2 - b^2c^2$
• (D) $b^2c^2 - a^2d^2$

(6) 设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 均为 $3$ 维向量，则对任意常数 $k,l$，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1 + k\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_2 + l\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关的

• (A) 必要非充分条件
• (B) 充分非必要条件
• (C) 充分必要条件
• (D) 既非充分也非必要条件

(7) 设随机事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，且 $P(B) = 0.5$，$P(A - B) = 0.3$，则 $P(B - A) =$

• (A) $0.1$
• (B) $0.2$
• (C) $0.3$
• (D) $0.4$

(8) 设连续型随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 相互独立且方差均存在，$X_1$ 与 $X_2$ 概率密度分别为 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)$，随机变量 $Y_1$ 的概率密度为 $\displaystyle f_{Y_1}(y) = {1 \over 2}[f_1(y) + f_2(y)]$，随机变量 $\displaystyle Y_2= {1 \over 2}(X_1 + X_2)$，则

• (A) $E(Y_1) > E(Y_2), D(Y_1) > D(Y_2)$
• (B) $E(Y_1) = E(Y_2), D(Y_1) = D(Y_2)$
• (C) $E(Y_1) = E(Y_2), D(Y_1) < D(Y_2)$
• (D) $E(Y_1) = E(Y_2), D(Y_1) > D(Y_2)$

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

(9) 曲面 $z=x^2(1 - \sin y) + y^2 (1 - \sin x)$ 在点 $(1,0, 1)$ 处的切平面方程为 _____

(10) 设 $f(x)$ 是周期为 $4$ 的可导奇函数，且 $f'(x) = 2(x-1),x \in [0,2]$，则 $f(7)=$ _____

(11) 微分方程 $xy'+ y (\ln x - \ln y) = 0$ 满足条件 $y(1) =e^3$ 的解为 $y=$ _____

(12) 设 $L$ 是柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 与平面 $y + z =0$ 的交线，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 $\displaystyle \int_L zdx + ydz =$ _____

(13) 设二次型 $f(x_1,x_2,x_3) =x_1^2 - x_2^2 + 2ax_1x_3 + 4x_2x_3$ 的负惯性指数为 $1$，则 $a$ 的取值范围是 _____

(14) 设总体 $X$ 的概率密度为

其中 $\theta$ 是未知参数，$X_1,X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，若 $\displaystyle c \sum_{n=1}^\infty X_i^2$ 是 $\theta^2$ 的无偏估计，则 $c=$ _____

三、解答题（本题共 9 小题，共 94 分）

(15) （本题满分 10 分）

求极限 $\displaystyle \lim_{x\to + \infty} {\displaystyle \int_1^x [t^2(e^{1 \over t} - 1) - t] dt \over \displaystyle x^2 \ln \left(1 + {1 \over x}\right)}$

(16) （本题满分 10 分）

设函数 $y = f(x)$ 由方程 $y^3 + xy^2 + x^2 y + 6 = 0$ 确定，求 $f(x)$ 的极值

(17) （本题满分 10 分）

设函数 $f(u)$ 具有二阶连续导数，$z = f(e^x\cos y)$ 满足

若 $f(0) = 0$，$f'(0) =0$，求 $f(u)$ 的表达式

(18) （本题满分 10 分）

设 $\Sigma$ 为曲面 $z = x^2 + y^2 \, (z \leqslant 1)$ 的上侧，计算曲面积分

(19) （本题满分 10 分）

设数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 满足 $\displaystyle 0 < a_n < {\pi \over 2}$，$\displaystyle 0 < b_n < {\pi \over 2}$，$\cos a_n - a_n = \cos b_n$，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n$ 收敛

• (1) 证明 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n = 0$
• (2) 证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {a_n \over b_n}$ 收敛

(20) （本题满分 11 分）

设 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3 \end{bmatrix}$，$E$ 为 $3$ 阶单位矩阵

• (1) 求方程组 $Ax=0$ 的一个基础解系
• (2) 求满足 $AB=E$ 的所有矩阵 $B$

(21) （本题满分 11 分）

证明 $n$ 阶矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & n \end{bmatrix}$ 相似

(22) （本题满分 11 分）

设随机变量 $X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=1\} = P\{X=2\} = {1 \over 2}$，在给定 $X=i$ 的条件下，随机变量 $Y$ 服从均匀分布 $U(0,i) \, (i = 1,2)$

• (1) 求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$
• (2) 求 $E(Y)$

(23) （本题满分 11 分）

设总体 $X$ 的分布函数为

其中 $\theta$ 是未知参数且大于零，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本

• (1) 求 $E(X)$ 与 $E(X^2)$
• (2) 求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}_n$
• (3) 是否存在实数 $a$，使得对任何 $\varepsilon > 0$，都有 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} P\{|\hat{\theta}_n - a| \geqslant \varepsilon \} = 0$ ？