2014考研数学一真题

CreateTime 2021-03-07
UpdateTime 2021-12-27

2014年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)


(1) 下列曲线中有渐近线的是

  • (A) y = x + \sin x

  • (B) y = x^2 + \sin x

  • (C) \displaystyle y = x + \sin {1\over x}

  • (D) \displaystyle y = x^2 + \sin {1\over x}


(2) 设函数 f(x) 具有 2 阶导数,g(x) = f(0)(1 - x) + f(1)x,则在区间 [0, 1]

  • (A) 当 f'(x) \geqslant 0 时,f(x) \geqslant g(x)
  • (B) 当 f'(x) \geqslant 0 时,f(x) \leqslant g(x)
  • (C) 当 f''(x) \geqslant 0 时,f(x) \geqslant g(x)
  • (D) 当 f''(x) \geqslant 0 时,f(x) \leqslant g(x)

(3) 设 f(x,y) 是连续函数,则 \displaystyle \int_0^1 dy \int_{-\sqrt{1 - y^2}}^{1-y} f(x, y) dx =

  • (A) \displaystyle \int_0^1 dx \int_{0}^{x - 1} f(x, y) dy + \int_{-1}^0 dx \int_{0}^{\sqrt{1 - x^2}} f(x, y) dy

  • (B) \displaystyle \int_0^1 dx \int_{0}^{1 - x} f(x, y) dy + \int_{-1}^0 dx \int_{-\sqrt{1 - x^2}}^{0} f(x, y) dy

  • (C) \displaystyle \int_0^{\pi \over 2} d\theta \int_{0}^{1 \over \cos \theta + \sin \theta} f(r\cos \theta, r\sin \theta) dr + \int_{\pi \over 2}^{\pi} d\theta \int_{0}^{1} f(r\cos \theta, r\sin \theta) dr

  • (D) \displaystyle \int_0^{\pi \over 2} d\theta \int_{0}^{1 \over \cos \theta + \sin \theta} f(r\cos \theta, r\sin \theta) rdr + \int_{\pi \over 2}^{\pi} d\theta \int_{0}^{1} f(r\cos \theta, r\sin \theta) rdr


(4)若 \displaystyle \int_{-\pi}^\pi (x - a_1 \cos x - b_1 \sin x)^2 dx = \min_{a, b\in \mathbb{R}} \left\{\int_{-\pi}^\pi (x - a \cos x - b \sin x)^2 dx \right\},则 a_1 \cos x + b_1 \sin x =

  • (A) 2 \sin x
  • (B) 2 \cos x
  • (C) 2 \pi \sin x
  • (D) 2 \pi \cos x

(5) 行列式 \displaystyle \begin{vmatrix} 0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d \\ \end{vmatrix}=

  • (A) (ad - bc)^2
  • (B) -(ad - bc)^2
  • (C) a^2d^2 - b^2c^2
  • (D) b^2c^2 - a^2d^2

(6) 设 \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3 均为 3 维向量,则对任意常数 k,l,向量组 \boldsymbol{\alpha}_1 + k\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_2 + l\boldsymbol{\alpha}_3 线性无关是向量组 \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3 线性无关的

  • (A) 必要非充分条件
  • (B) 充分非必要条件
  • (C) 充分必要条件
  • (D) 既非充分也非必要条件

(7) 设随机事件 AB 相互独立,且 P(B) = 0.5P(A - B) = 0.3,则 P(B - A) =

  • (A) 0.1
  • (B) 0.2
  • (C) 0.3
  • (D) 0.4

(8) 设连续型随机变量 X_1X_2 相互独立且方差均存在,X_1X_2 概率密度分别为 f_1(x)f_2(x),随机变量 Y_1 的概率密度为 \displaystyle f_{Y_1}(y) = {1 \over 2}[f_1(y) + f_2(y)],随机变量 \displaystyle Y_2= {1 \over 2}(X_1 + X_2),则

  • (A) E(Y_1) > E(Y_2), D(Y_1) > D(Y_2)
  • (B) E(Y_1) = E(Y_2), D(Y_1) = D(Y_2)
  • (C) E(Y_1) = E(Y_2), D(Y_1) < D(Y_2)
  • (D) E(Y_1) = E(Y_2), D(Y_1) > D(Y_2)

二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)


(9) 曲面 z=x^2(1 - \sin y) + y^2 (1 - \sin x) 在点 (1,0, 1) 处的切平面方程为 _____


(10) 设 f(x) 是周期为 4 的可导奇函数,且 f'(x) = 2(x-1),x \in [0,2],则 f(7)= _____


(11) 微分方程 xy'+ y (\ln x - \ln y) = 0 满足条件 y(1) =e^3 的解为 y= _____


(12) 设 L 是柱面 x^2 + y^2 = 1 与平面 y + z =0 的交线,从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分 \displaystyle \int_L zdx + ydz = _____


(13) 设二次型 f(x_1,x_2,x_3) =x_1^2 - x_2^2 + 2ax_1x_3 + 4x_2x_3 的负惯性指数为 1,则 a 的取值范围是 _____


(14) 设总体 X 的概率密度为

f(x; \theta) = \begin{cases} \displaystyle {2x \over 3\theta^2}, & \theta < x < 2\theta \\ 0, & 其他 \end{cases}

其中 \theta 是未知参数,X_1,X_2, \cdots, X_n 为来自总体 X 的简单随机样本,若 \displaystyle c \sum_{n=1}^\infty X_i^2\theta^2 的无偏估计,则 c= _____


三、解答题(本题共 9 小题,共 94 分)


(15) (本题满分 10 分)

求极限 \displaystyle \lim_{x\to + \infty} {\displaystyle \int_1^x [t^2(e^{1 \over t} - 1) - t] dt \over \displaystyle x^2 \ln \left(1 + {1 \over x}\right)}


(16) (本题满分 10 分)

设函数 y = f(x) 由方程 y^3 + xy^2 + x^2 y + 6 = 0 确定,求 f(x) 的极值


(17) (本题满分 10 分)

设函数 f(u) 具有二阶连续导数,z = f(e^x\cos y) 满足

{\partial^2 z \over \partial x^2} + {\partial^2 z \over \partial y^2} = (4z + e^x \cos y)e^{2x}

f(0) = 0f'(0) =0,求 f(u) 的表达式


(18) (本题满分 10 分)

\Sigma 为曲面 z = x^2 + y^2 \, (z \leqslant 1) 的上侧,计算曲面积分

I= \iint\limits_\Sigma (x - 1)^3 dydz + (y - 1)^3 dzdx + (z - 1) dxdy

(19) (本题满分 10 分)

设数列 \{a_n\}\{b_n\} 满足 \displaystyle 0 < a_n < {\pi \over 2}\displaystyle 0 < b_n < {\pi \over 2}\cos a_n - a_n = \cos b_n,且级数 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n 收敛

  • (1) 证明 \displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n = 0
  • (2) 证明级数 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty {a_n \over b_n} 收敛

(20) (本题满分 11 分)

\displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3 \end{bmatrix}E3 阶单位矩阵

  • (1) 求方程组 Ax=0 的一个基础解系
  • (2) 求满足 AB=E 的所有矩阵 B

(21) (本题满分 11 分)

证明 n 阶矩阵 \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & n \end{bmatrix} 相似


(22) (本题满分 11 分)

设随机变量 X 的概率分布为 \displaystyle P\{X=1\} = P\{X=2\} = {1 \over 2},在给定 X=i 的条件下,随机变量 Y 服从均匀分布 U(0,i) \, (i = 1,2)

  • (1) 求 Y 的分布函数 F_Y(y)
  • (2) 求 E(Y)

(23) (本题满分 11 分)

设总体 X 的分布函数为

F(x;\theta) = \begin{cases} 1 - e^{-{x^2 \over \theta}}, & x \geqslant 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}

其中 \theta 是未知参数且大于零,X_1, X_2, \cdots, X_n 为来自总体 X 的简单随机样本

  • (1) 求 E(X)E(X^2)
  • (2) 求 \theta 的最大似然估计量 \hat{\theta}_n
  • (3) 是否存在实数 a,使得对任何 \varepsilon > 0,都有 \displaystyle \lim_{n\to \infty} P\{|\hat{\theta}_n - a| \geqslant \varepsilon \} = 0