2014考研数学一真题
2014年全国硕士研究生招生考试数学一试题
一、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)
(1) 下列曲线中有渐近线的是
-
(A) y = x + \sin x
-
(B) y = x^2 + \sin x
-
(C) \displaystyle y = x + \sin {1\over x}
-
(D) \displaystyle y = x^2 + \sin {1\over x}
(2) 设函数 f(x) 具有 2 阶导数,g(x) = f(0)(1 - x) + f(1)x,则在区间 [0, 1] 上
- (A) 当 f'(x) \geqslant 0 时,f(x) \geqslant g(x)
- (B) 当 f'(x) \geqslant 0 时,f(x) \leqslant g(x)
- (C) 当 f''(x) \geqslant 0 时,f(x) \geqslant g(x)
- (D) 当 f''(x) \geqslant 0 时,f(x) \leqslant g(x)
(3) 设 f(x,y) 是连续函数,则 \displaystyle \int_0^1 dy \int_{-\sqrt{1 - y^2}}^{1-y} f(x, y) dx =
-
(A) \displaystyle \int_0^1 dx \int_{0}^{x - 1} f(x, y) dy + \int_{-1}^0 dx \int_{0}^{\sqrt{1 - x^2}} f(x, y) dy
-
(B) \displaystyle \int_0^1 dx \int_{0}^{1 - x} f(x, y) dy + \int_{-1}^0 dx \int_{-\sqrt{1 - x^2}}^{0} f(x, y) dy
-
(C) \displaystyle \int_0^{\pi \over 2} d\theta \int_{0}^{1 \over \cos \theta + \sin \theta} f(r\cos \theta, r\sin \theta) dr + \int_{\pi \over 2}^{\pi} d\theta \int_{0}^{1} f(r\cos \theta, r\sin \theta) dr
-
(D) \displaystyle \int_0^{\pi \over 2} d\theta \int_{0}^{1 \over \cos \theta + \sin \theta} f(r\cos \theta, r\sin \theta) rdr + \int_{\pi \over 2}^{\pi} d\theta \int_{0}^{1} f(r\cos \theta, r\sin \theta) rdr
(4)若 \displaystyle \int_{-\pi}^\pi (x - a_1 \cos x - b_1 \sin x)^2 dx = \min_{a, b\in \mathbb{R}} \left\{\int_{-\pi}^\pi (x - a \cos x - b \sin x)^2 dx \right\},则 a_1 \cos x + b_1 \sin x =
- (A) 2 \sin x
- (B) 2 \cos x
- (C) 2 \pi \sin x
- (D) 2 \pi \cos x
(5) 行列式 \displaystyle \begin{vmatrix} 0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d \\ \end{vmatrix}=
- (A) (ad - bc)^2
- (B) -(ad - bc)^2
- (C) a^2d^2 - b^2c^2
- (D) b^2c^2 - a^2d^2
(6) 设 \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3 均为 3 维向量,则对任意常数 k,l,向量组 \boldsymbol{\alpha}_1 + k\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_2 + l\boldsymbol{\alpha}_3 线性无关是向量组 \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3 线性无关的
- (A) 必要非充分条件
- (B) 充分非必要条件
- (C) 充分必要条件
- (D) 既非充分也非必要条件
(7) 设随机事件 A 与 B 相互独立,且 P(B) = 0.5,P(A - B) = 0.3,则 P(B - A) =
- (A) 0.1
- (B) 0.2
- (C) 0.3
- (D) 0.4
(8) 设连续型随机变量 X_1 与 X_2 相互独立且方差均存在,X_1 与 X_2 概率密度分别为 f_1(x) 与 f_2(x),随机变量 Y_1 的概率密度为 \displaystyle f_{Y_1}(y) = {1 \over 2}[f_1(y) + f_2(y)],随机变量 \displaystyle Y_2= {1 \over 2}(X_1 + X_2),则
- (A) E(Y_1) > E(Y_2), D(Y_1) > D(Y_2)
- (B) E(Y_1) = E(Y_2), D(Y_1) = D(Y_2)
- (C) E(Y_1) = E(Y_2), D(Y_1) < D(Y_2)
- (D) E(Y_1) = E(Y_2), D(Y_1) > D(Y_2)
二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
(9) 曲面 z=x^2(1 - \sin y) + y^2 (1 - \sin x) 在点 (1,0, 1) 处的切平面方程为 _____
(10) 设 f(x) 是周期为 4 的可导奇函数,且 f'(x) = 2(x-1),x \in [0,2],则 f(7)= _____
(11) 微分方程 xy'+ y (\ln x - \ln y) = 0 满足条件 y(1) =e^3 的解为 y= _____
(12) 设 L 是柱面 x^2 + y^2 = 1 与平面 y + z =0 的交线,从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分 \displaystyle \int_L zdx + ydz = _____
(13) 设二次型 f(x_1,x_2,x_3) =x_1^2 - x_2^2 + 2ax_1x_3 + 4x_2x_3 的负惯性指数为 1,则 a 的取值范围是 _____
(14) 设总体 X 的概率密度为
其中 \theta 是未知参数,X_1,X_2, \cdots, X_n 为来自总体 X 的简单随机样本,若 \displaystyle c \sum_{n=1}^\infty X_i^2 是 \theta^2 的无偏估计,则 c= _____
三、解答题(本题共 9 小题,共 94 分)
(15) (本题满分 10 分)
求极限 \displaystyle \lim_{x\to + \infty} {\displaystyle \int_1^x [t^2(e^{1 \over t} - 1) - t] dt \over \displaystyle x^2 \ln \left(1 + {1 \over x}\right)}
(16) (本题满分 10 分)
设函数 y = f(x) 由方程 y^3 + xy^2 + x^2 y + 6 = 0 确定,求 f(x) 的极值
(17) (本题满分 10 分)
设函数 f(u) 具有二阶连续导数,z = f(e^x\cos y) 满足
若 f(0) = 0,f'(0) =0,求 f(u) 的表达式
(18) (本题满分 10 分)
设 \Sigma 为曲面 z = x^2 + y^2 \, (z \leqslant 1) 的上侧,计算曲面积分
(19) (本题满分 10 分)
设数列 \{a_n\},\{b_n\} 满足 \displaystyle 0 < a_n < {\pi \over 2},\displaystyle 0 < b_n < {\pi \over 2},\cos a_n - a_n = \cos b_n,且级数 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n 收敛
- (1) 证明 \displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n = 0
- (2) 证明级数 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty {a_n \over b_n} 收敛
(20) (本题满分 11 分)
设 \displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3 \end{bmatrix},E 为 3 阶单位矩阵
- (1) 求方程组 Ax=0 的一个基础解系
- (2) 求满足 AB=E 的所有矩阵 B
(21) (本题满分 11 分)
证明 n 阶矩阵 \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{bmatrix} 与 \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & n \end{bmatrix} 相似
(22) (本题满分 11 分)
设随机变量 X 的概率分布为 \displaystyle P\{X=1\} = P\{X=2\} = {1 \over 2},在给定 X=i 的条件下,随机变量 Y 服从均匀分布 U(0,i) \, (i = 1,2)
- (1) 求 Y 的分布函数 F_Y(y)
- (2) 求 E(Y)
(23) (本题满分 11 分)
设总体 X 的分布函数为
其中 \theta 是未知参数且大于零,X_1, X_2, \cdots, X_n 为来自总体 X 的简单随机样本
- (1) 求 E(X) 与 E(X^2)
- (2) 求 \theta 的最大似然估计量 \hat{\theta}_n
- (3) 是否存在实数 a,使得对任何 \varepsilon > 0,都有 \displaystyle \lim_{n\to \infty} P\{|\hat{\theta}_n - a| \geqslant \varepsilon \} = 0 ?
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