2006考研数学一真题

CreateTime 2021-03-10
UpdateTime 2021-11-30

2006年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)


(1) \displaystyle \lim_{x \to 0} {x\ln(1 + x) \over 1 - \cos x} = _____


(2) 微分方程 \displaystyle y' = {y (1 - x) \over x} 的通解是 _____


(3) 设 \Sigma 是锥面 z = \sqrt{x^2 + y^2} (0\leqslant z \leqslant 1) 的下侧,则 \displaystyle \iint\limits_\Sigma xdydz + 2ydzdx + 3(z -1)dxdy = _____


(4) 点 (2, 1, 0) 到平面 3x+4y+5z=0 的距离 z= _____


(5) 设矩阵 \displaystyle A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2\end{bmatrix}E2 阶单位矩阵,矩阵 B 满足 BA=B+2E,则 |B|= _____


(6) 设随机变量 XY 相互独立,且均服从区间 [0,3] 上的均匀分布,则 P\{\max\{X,Y\} \leqslant 1\} = _____


二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)


(7) 设函数 y=f(x) 具有二阶导数,且 f'(x) > 0, f''(x) > 0, \Delta x 为自变量 xx_0 处的增量,\Delta ydy 分别为 f(x) 在点 x_0 处对应的增量与微分,若 \Delta x > 0,则

  • (A) 0 < dy < \Delta y
  • (B) 0 < \Delta y < dy
  • (C) \Delta y < dy < 0
  • (D) dy < \Delta y < 0

(8) 设 f(x,y) 为连续函数,则 \displaystyle\int_0^{\pi \over 4} d\theta \int_0^1 f(r\cos \theta, r\sin \theta)rdr 等于

  • (A) \displaystyle \int_0^{\sqrt{2} \over 2}dx \int_x^{\sqrt{1 - x^2}} f(x,y)dy

  • (B) \displaystyle \int_0^{\sqrt{2} \over 2}dx \int_0^{\sqrt{1 - x^2}} f(x,y)dy

  • (C) \displaystyle \int_0^{\sqrt{2} \over 2}dy \int_y^{\sqrt{1 - y^2}} f(x,y)dx

  • (D) \displaystyle \int_0^{\sqrt{2} \over 2}dy \int_0^{\sqrt{1 - y^2}} f(x,y)dx


(9) 若级数 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n 收敛,则级数

  • (A) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty |a_n| 收敛

  • (B) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n 收敛

  • (C) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_na_{n + 1} 收敛

  • (D) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty {a_n + a_{n + 1}\over 2} 收敛


(10) 设 f(x, y)\varphi(x, y) 均为可微函数,且 \varphi_y'(x, y) \neq 0,已知 (x_0, y_0)f(x,y) 在约束条件 \varphi(x, y) = 0 下的一个极值点,下列选项正确的是

  • (A) 若 f_x'(x_0, y_0) = 0,则 f_y'(x_0, y_0) = 0
  • (B) 若 f_x'(x_0, y_0) = 0,则 f_y'(x_0, y_0) \neq 0
  • (C) 若 f_x'(x_0, y_0) \neq 0,则 f_y'(x_0, y_0) = 0
  • (D) 若 f_x'(x_0, y_0) \neq 0,则 f_y'(x_0, y_0) \neq 0

(11)设 \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s 均为 n 维列向量,Am\times n 矩阵,下列选项正确的是

  • (A) 若 \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s 线性相关,则 A\boldsymbol{\alpha}_1,A\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,A\boldsymbol{\alpha}_s 线性相关
  • (B) 若 \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s 线性相关,则 A\boldsymbol{\alpha}_1,A\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,A\boldsymbol{\alpha}_s 线性无关
  • (C) 若 \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s 线性无关,则 A\boldsymbol{\alpha}_1,A\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,A\boldsymbol{\alpha}_s 线性相关
  • (D) 若 \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s 线性无关,则 A\boldsymbol{\alpha}_1,A\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,A\boldsymbol{\alpha}_s 线性无关

(12) 设 A3 阶矩阵,将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B,再将 B 的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得 C,记 \displaystyle P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},则

  • (A) C= P^{-1}AP
  • (B) C= PAP^{-1}
  • (C) C= P^{T}AP
  • (D) C= PAP^{T}

(13) 设 A,B 为随机事件,且 P(B) > 0P(A|B) = 1,则必有

  • (A) P(A \cup B) > P(A)
  • (B) P(A \cup B) > P(B)
  • (C) P(A \cup B) = P(A)
  • (D) P(A \cup B) = P(B)

(14)设随机变量 X 服从正态分布 N(\mu_1, \sigma_1^2)Y 服从正态分布N(\mu_2, \sigma_2^2),且 P\{|X - \mu_1| < 1\} > P\{|Y - \mu_2| < 1\},则

  • (A) \sigma_1 < \sigma_2
  • (B) \sigma_1 > \sigma_2
  • (C) \mu_1 < \mu_2
  • (D) \mu_1 > \mu_2

三、解答题(本题共 9 小题,共 94 分)


(15) (本题满分 10 分)

设区域 D=\{(x, y)|x^2 + y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0\},计算二重积分 \displaystyle \iint\limits_D {1 + xy \over 1 + x^2 + y^2} dxdy


(16) (本题满分 12 分)

设数列 \{x_n\} 满足 0 < x_1 < \pix_{n + 1} = \sin x_n (n = 1, 2,\cdots),求:

  • (1) 证明 \displaystyle \lim_{x\to \infty} x_n 存在,并求之
  • (2) 计算 \displaystyle \lim_{x\to \infty} \left(x_{n + 1} \over x_n\right)^{1 \over x_n^2}

(17) (本题满分 12 分)

将函数 \displaystyle f(x) = {x \over 2 + x - x^2} 展开成 x 的幂级数


(18) (本题满分 12 分)

设函数 f(u)(0, +\infty) 内具有二阶导数,且 z=f(\sqrt{x^2 + y^2}) 满足等式 \displaystyle {\partial^2 z \over \partial x^2} + {\partial^2 z \over \partial y^2} = 0

  • (1) 验证 \displaystyle f''(u) + {f'(u) \over u} = 0

  • (2) 若 f(1)= 0,f'(1) = 1,求函数 f(u) 的表达式


(19) (本题满分 12 分)

设在上半平面 D=\{(x,y)|y>0\} 内,函数 f(x,y) 有连续偏导数,且对任意的 t > 0 都有 f(tx,ty) = t^{-2}f(x,y),证明对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L 都有

\oint_L yf(x, y)dx - xf(x, y)dy = 0

(20) (本题满分 9 分)

已知非齐次线性方程组

\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -1 \\ 4x_1 + 3x_2 + 5x_3 - x_4 = -1 \\ ax_1 + x_2 + 3x_3 + bx_4 = 1 \\ \end{cases}

3 个线性无关的解

  • (1) 证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A) = 2
  • (2) 求 a,b 的值及方程组的通解

(21) (本题满分 9 分)

3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 \boldsymbol{\alpha}_1 = (-1, 2, -1)^T, \boldsymbol{\alpha}_2 = (0,-1,1)^T 是线性方程组 Ax=0 的两个解

  • (1) 求 A 的特征值与特征向量
  • (2) 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 \Lambda,使得 Q^TAQ=\Lambda

(22) (本题满分 9 分)

随机变量 X 的概率密度为 \displaystyle f_X(x) = \begin{cases} \displaystyle {1 \over 2}, & -1 < x < 0, \\ \displaystyle {1 \over 4}, & 0 \leqslant x < 2, \\ 0, & 其他,\end{cases},令 Y = X^2, F(x, y) 为二维随机变量 (X,Y) 的分布函数

  • (1) 求 Y 的概率密度 f_Y(y)
  • (2) \displaystyle F\left(-{1 \over 2}, 4\right)

(23) (本题满分 9 分)

设总体 X 的概率密度为

f(x;\theta) = \begin{cases} \theta, & 0 < x < 1,\\ 1 - \theta, & 1 \leqslant x < 2,\\ 0, & 其他,\\ \end{cases}

其中 \theta(0 < \theta < 1) 是未知参数,X_1, X_2, \cdots, X_n 为来自总体 X 的简单随机样本,记 N 为样本值 x_1, x_2, \cdots, x_n 中小于 1 的个数,求 \theta 的最大似然估计