数学分析：无限集合

可数集

集合 $X$ 叫作 可数无限的（或简称为可数的），当且仅当它与自然数集有相同的基数；集合 $X$ 叫作最多可数的，当且仅当它或者是可数的，或者是有限的；我们说一个集合是不可数的，如果它是无限的但不是可数的。

良序原理

设 $X$ 是自然数集合 $\mathbb{N}$ 的一个不空的子集合，那么恰存在一个元素 $n \in X$，使得对于一切 $m \in X$ 成立 $n \leqslant m$；

换句话说，每个不空的自然数的集合都有最小元；

命题：设 $X$ 是自然数集合 $\mathbb{N}$ 的一个无限子集合，那么存在唯一一个双射 $f :\mathbb{N} \to X$，它依下述意义是增的：

当然，$X$ 与 $\mathbb{N}$ 具有同样的基数，从而是可数集

推论：自然数集合的一切子集合都是至多可数的

推论：如果 $X$ 是至多可数的集合，而 $Y$ 是 $X$ 的子集合，则 $Y$ 也是至多可数的

可数集上的级数

设 $X$ 是可数集并设 $f :X \to \mathbb{R}$ 是函数；我们说级数 $\displaystyle\sum_{x \in X}f(x)$ 是绝对收敛的，当且仅当对于某双射 $g:\mathbb{N} \to X$，级数

是绝对收敛的

康托尔定理

设 $X$ 是一个任意的集合，那么集合 $X$ 与 $2^X$ 不能有同样的基数

推论：$\mathbb{R}$ 是不可数的

实数集 $\mathbb{R}$ 具有比自然数集 $\mathbb{N}$ 严格大的 基数，人们或许会问，是否存在这样的集合，它具有比自然数集严格大，但比实数集严格小的基数。连续统假设 断言，不存在这样的集合；有趣的是，分别在 库尔特·哥德尔 和 保罗·寇恩 的著作中证明了，这条假设是与集合论的其他公理相独立的；它既不能被其他那些公理所证明，也不能被那些公理所否定（除非那些公理是不相容的而事情不大可能如此）。

无限笛卡儿积

设 $I$ 是集合（可以是无限的），并且对于每个 $\alpha \in I$, 设 $X_\alpha$ 是一个集合，我们定义笛卡儿积 $\displaystyle\prod_{\alpha \in I} X_\alpha$ 为集合：

其中我们从幂集公理 回想起 $\displaystyle(\bigcup_{\alpha \in I} X_\alpha )^I$ 是全体把每个 $a \in I$ 对应给一个元素 $\displaystyle x_\alpha \in \bigcup_{\beta \in I} X_\beta$ 的函数 $(x_\alpha)_{\alpha \in I}$ 的集合；于是 $\displaystyle\prod_{\alpha \in I} X_\alpha$ 是这个函数集合的一个子集合，它由那些把每个 $\alpha \in I$ 对应给一个元素 $x_\alpha \in X_\alpha$ 的函数 $(x_\alpha)_{\alpha \in I}$ 组成。

选择公理

设 $I$ 是集合，并且对于每个 $\alpha \in I$，设 $X_\alpha$ 是一个不空的集合，那么 $\displaystyle\prod_{\alpha \in I} X_\alpha$ 也是不空的；

换句话说，存在一个函数 $(x_\alpha)_{\alpha \in I}$，它把每个 $\alpha \in I$ 对应给一个元素 $x_\alpha \in X_\alpha$

这个公理背后的直观是，给定一个非空的集合 $X_\alpha$ 的族（可以是无限的族）$\{X_\alpha :\alpha \in I\}$，一定可以从每个集合 $X_\alpha$ 中选取单个元素 $x_\alpha$，然后把所作的一切选择构成可能无限的组 $(x_\alpha)_{\alpha \in I}$；

一方面，这是一个非常直观可用的公理，在某种意义上说只不过是一次一次地使用 单个选取引理；

而已另一方面，人们在做无限多次的任意选择，完全没有明确的法则来规范如何进行这些选择，这个事实可是有点让人为难，的确，有很多使用选择公理证明的定理，断定某个具有一定性质的对象的抽象的存在，完全不说这个对象是什么，或者如何来构造它。于是，选择公理可以导致非构造性的证明。

偏序集

偏序集 是一个集合 $X$，连同 $X$ 上的一个关系 $\leqslant_X$（于是对于任何两个对象 $x,y \in X$ ，命题 $x \leqslant_X y$ 或为真命题，或为假命题）；这个关系遵从下面三条性质：

• 自反性 对千任何 $x \in X$ 都有 $x \leqslant_X x$;

• 反对称性 如果 $x,y \in X$ 并且 $x \leqslant_X y$ 及 $y \leqslant_X x$，那么 $x=y$;

• 传递性 如果 $x,y,z \in X$ 使得 $x \leqslant_X y$，$y \leqslant_X z$, 那么$x \leqslant_X z$

我们把 $\leqslant_X$ 叫作序关系。在绝大多数情况下，从上下文可明白 $X$ 是哪个集合，在那种情况下，我们简单地写 $\leqslant$ 以代替 $\leqslant_X$，我们写 $x <_X y （或简单地写 $x < y$），如果 $x \leqslant_X y$ 并且 $x \neq y$

全序集

设 $X$ 是偏序集，具有序关系 $\leqslant_X$，$X$ 的子集合 $Y$ 叫作是全序的，如果任给两个元素 $y,y' \in Y$， 我们或有 $y \leqslant_X y'$，或有 $y' \leqslant_X y$ （或两者都成立）；如果 $X$ 自身是全序的我们就说 $X$ 是带有序关系 $\leqslant_X$ 全序集（或者链）

最大元和最小元

设 $X$ 是偏序集，$Y$ 是 $X$ 的子集合；

我们说 $y$ 是 $Y$ 的 最小元，如果 $y \in Y$ 并且不存在元素 $y' \in Y$ 使得 $y'< y$；

我们说 $y$ 是 $Y$ 的 最大元，如果 $y \in Y$ 并且不存在元素 $y' \in Y$ 使得 $y < y'$；

良序集

设 $X$ 是偏序集，$Y$ 是 $X$ 的全序子集，我们说 $Y$ 是良序的，如果 $Y$ 的每个不空子集 $A$ 都含有最小元 $\min(A)$

强归纳原理

设 $X$ 是带有序关系 $\leqslant$ 的良序集，并 $P(n)$ 是关联于每个元素 $n \in X$ 的性质（即对于每个 $n \in X$，$P(n)$ 或是真命题，或是假命题）；

假设对于每个 $n \in X$ 都有下述蕴含关系：如果对于一切 $m \in X$ 且 $m <_X n$，$P(m)$ 是真的，那么 $P(n)$ 也是真的；于是，对于一切 $n \in X$，$P(n)$ 是真的。

上界及严格上界

设 $X$ 是具有序关系 $\leqslant$ 的偏序集，并设 $Y$ 是 $X$ 是子集合，设 $x \in X$，我们说 $x$ 是 $Y$ 的上界，如果对于每个 $y \in Y$ 都有 $y \leqslant x$；

如果 $x$ 是 $Y$ 的上界并且 $x \notin Y$，我们就说 $x$ 是 $Y$ 的 严格上界，等价地说 $x$ 是 $Y$ 的严格上界，当且仅当对于一切 $y \in Y$ 都有 $y < x$。

佐恩引理（超限归纳原理）

设 $X$ 是一个不空的偏序集，如果 $X$ 的每个全序子集 $Y￥ 都有上界，那么 $X$ 至少含有一个最大元。

参考资料

• 陶哲轩实分析