1991年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) 设 $\displaystyle \begin{cases} x = 1 + t^2 \\ y = \cos t \end{cases}$, 则 $\displaystyle {d^2y \over dx^2}=$ _____

(2) 由方程 $xyz+ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}= \sqrt{2}$ 所确定的函数 $z=z(x,y)$ 在点 $(1,0,-1)$ 处的全微分 $dz=$ _____

(3) 已知两条直线的方程是 $\displaystyle l_1:{x -1 \over 1} ={y - 2 \over 0} = {z - 3 \over -1}$; $\displaystyle l_2:{x + 2 \over 2} = {y - 1 \over 1} = {z \over 1}$，则过 $l_1$ 且平行于 $l_2$ 的平面方程是 _____

(4) 已知当 $x \to 0$ 时，$(1 + ax^2)^{1 \over 3} - 1$ 与 $\cos x-1$ 是等价无穷小，则常数 $a=$ _____

(5) 设 $4$ 阶方阵 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$，则 $A$ 的逆阵 $A^{-1}=$ _____

二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) 曲线 $\displaystyle y= {1 + e^{-x^2} \over 1 - e^{-x^2}}$

• (A) 没有渐近线
• (B) 仅有水平渐近线
• (C) 仅有铅直渐近线
• (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线

(2) 若连续函数 $f(x)$ 满足关系式 $\displaystyle f(x) = \int_0^{2x} f\left({t \over 2}\right) dt + \ln 2$，则 $f(x)$ 等于

• (A) $e^x \ln 2$
• (B) $e^{2x} \ln 2$
• (C) $ex + \ln 2$
• (D) $e^{2x} + \ln 2$

(3) 已知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n -1} a_n=2$, $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_{2n-1}=5$，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 等于

• (A) $3$
• (B) $7$
• (C) $8$
• (D) $9$

(4) 设 $D$ 是平面 $xOy$ 上以 $(1, 1)$, $(-1, 1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形区域，$D_1$ 是 $D$ 在第一象限的部分，则 $\displaystyle \iint\limits_D (xy+ \cos x \sin y)dxdy$ 等于

• (A) $\displaystyle 2 \iint\limits_{D_1} \cos x \sin y dxdy$

• (B) $\displaystyle 2\iint\limits_{D_1} xy\,dxdy$

• (C) $\displaystyle 4\iint\limits_{D_1} (xy + \cos x \sin y)dxdy$
• (D) $0$

(5) 设 $n$ 阶方阵 $A,B,C$ 满足关系式 $ABC=E$，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位阵，则必有

• (A) $ACB=E$
• (B) $CBA=E$
• (C) $BAC=E$
• (D) $BCA=E$

三、（本题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分）

(1) 求 $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} (\cos \sqrt{x})^{\pi \over x}$

(2) 设 $\boldsymbol{n}$ 是曲面 $2x^2 + 3y^2 + z^2＝ 6$ 在点 $P(1,1,1)$ 处的指向外侧的法向量，求函数 $\displaystyle u={\sqrt{6x^2 + 8y^2} \over z}$ 在点 $P$ 处沿方向 $\boldsymbol{n}$ 的方向导数

(3) $\displaystyle \iiint\limits_\Omega (x^2 + y^2 + z) dv$，其中 $\Omega$ 是由曲线 $\begin{cases} y^2 = 2z \\ x = 0 \end{cases}$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的曲面与平面 $z=4$ 所围成的立体

四、（本题满分 6 分）

过点 $O(0,0)$ 和 $A(\pi, 0)$ 的曲线族 $y = a\sin x(a >0)$ 中，求一条曲线 $L$，使沿该曲线 $O$ 从到 $A$ 的积分 $\displaystyle \int_L(1 + y^3)dx+(2x+ y)dy$ 的值最小

五、（本题满分 8 分）

将函数 $f(x)= 2 + |x| (-1 \leqslant x \leqslant 1)$ 展开成以 $2$ 为周期的傅里叶级数，并由此求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1 \over n^2}$ 的和

六、（本题满分 7 分）

设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$(0,1)$ 内可导，且 $\displaystyle 3 \int_{2\over 3}^1 f(x)dx= f(0)$，证明在 $(0,1)$ 内存在一点 $\xi$，使 $f'(\xi) = 0$

七、（本题满分 8 分）

已知 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1,0,2,3)$, $\boldsymbol{\alpha}_2 = (1,1,3,5)$, $\boldsymbol{\alpha}_3 = (1,-1,a+2, 1)$, $\boldsymbol{\alpha}_4 = (1,2,4,a+8)$ 及 $\boldsymbol{\beta} = (1, 1, b+3, 5)$

• (1) $a,b$ 为何值时，$\boldsymbol{\beta}$ 不能表示成 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$ 的线性组合？
• (2) $a,b$ 为何值时，$\boldsymbol{\beta}$ 有 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$ 的唯一的线性表示式？写出该表示式

八、（本题满分 6 分）

设 $A$ 是 $n$ 阶正定阵，$E$ 是 $n$ 阶单位阵，证明 $A+E$ 的行列式大于 $1$

九、（本题满分 8 分）

在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 $P(x,y)$ 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 $PQ$ 长度的倒数 ($Q$ 是法线与 $x$ 轴的交点)，且曲线在点 $(1,1)$ 处的切线与 $x$ 轴平行

十、填空题（本题共 2 小题，每小题 3 分，满分 6 分）

(1) 若随机变量 $X$ 服从均值为 $2$，方差为 $\sigma^2$ 的正态分布，且 $P\{2 < X < 4\} = 0.3$，则 $P\{X <0 \}=$ _____

(2) 随机地向半圆 $0 < y < \sqrt{2ax - x^2}$ ($a$ 为正常数) 内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与 $x$ 轴的夹角小于 $\displaystyle {\pi \over 4}$ 的概率为

十一、（本题满分 6 分）

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的密度函数为

求随机变量 $Z =X + 2Y$ 的分布函数