2004年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

(1) 曲线 $y= \ln x$ 上与直线 $x+y=1$ 垂直的切线方程为 _____

(2) 已知 $f'(e^x)= xe^{-x}$，且 $f(1) = 0$，则 $f(x)=$ _____

(3) 设 $L$ 为正向圆周 $x^2 + y^2 = 2$ 在第一象限中的部分，则曲线积分 $\displaystyle \int_L xdy - 2ydx$ 的值为 _____

(4)欧拉方程 $\displaystyle x^2 {d^2 y \over dx^2} + 4x {dy \over dx} + 2y = 0 \, (x > 0)$ 的通解为 _____

(5)设矩阵 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，矩阵 $B$ 满足 $ABA^* = 2BA^* + E$ 其中 $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$E$ 是单位矩阵，则 $|B|=$ _____

(6) 设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，则 $P\{ X > \sqrt{DX}\}=$ _____

二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）

(7) 把 $x\to 0^+$ 时的无穷小量 $\displaystyle \alpha=\int_0^x \cos t^2 dt$, $\displaystyle \beta=\int_0^{x^2} \tan \sqrt{t} dt$, $\displaystyle \gamma=\int_0^{\sqrt{x}} \sin t^3 dt$，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

• (A) $\alpha,\beta,\gamma$
• (B) $\alpha,\gamma,\beta$
• (C) $\beta,\alpha,\gamma$
• (D) $\beta, \gamma, \alpha$

(8) 设函数 $f(x)$ 连续，且 $f'(0) > 0$，则存在 $\delta > 0$，使得

• (A) $f(x)$ 在 $(0, \delta)$ 内单调增加
• (B) $f(x)$ 在 $(-\delta,0)$ 内单调减少
• (C) 对任意的 $x \in (0,\delta)$ 有 $f(x) > f(0)$
• (D) 对任意的 $x \in (-\delta, \delta)$ 有 $f(x)> f(0)$

(9) 设 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 为正项级数，下列结论中正确的是

• (A) 若 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} na_n=0$，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛

• (B) 若存在非零常数 $\lambda$ 使得 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} na_n=\lambda$，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 发散

• (C) 若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，则 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} n^2a_n=0$

• (D) 若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 发散，则存在非零常数 $\lambda$ 使得 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} na_n=\lambda$

(10) 设 $f(x)$ 为连续函数，$\displaystyle F(t) = \int_1^t dy \int_y^t f(x)dx$，则 $F'(2)$ 等于

• (A) $2f(2)$
• (B) $f(2)$
• (C) $-f(2)$
• (D) $0$

(11) 设 $A$ 是 $3$ 阶方阵，将 $A$ 的第 $1$ 列与第 $2$ 列交换得 $B$，再把 $B$ 的第 $2$ 列加到第 $3$ 列得 $C$，则满足 $AQ=C$ 的可
逆矩阵 $Q$ 为

• (A) $\displaystyle \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

• (B) $\displaystyle \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

• (C) $\displaystyle \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

• (D) $\displaystyle \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

(12) 设 $A,B$ 为满足 $AB=O$ 的任意两个非零矩阵，则必有

• (A) $A$ 的列向量组线性相关，$B$ 的行向量组线性相关
• (B) $A$ 的列向量组线性相关，$B$ 的列向量组线性相关
• (C) $A$ 的行向量组线性相关，$B$ 的行向量组线性相关
• (D) $A$ 的行向量组线性相关，$B$ 的列向量组线性相关

(13) 设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0, 1)$，对给定的 $\alpha(0 <\alpha< 1)$，数 $u_a$ 满足 $P\{X > u_a \} = \alpha$，若 $P\{|X| < x \} = \alpha$，则 $x$ 等于

• (A) $u_{\alpha \over 2}$
• (B) $u_{1 - {\alpha \over 2}}$
• (C) $u_{1 - \alpha \over 2}$
• (D) $u_{1 - \alpha}$

(14) 设随机变量 $X_1, X_2,\cdots, X_n$ $(n > 1)$ 独立同分布，且其方差为$\sigma^2 > 0$，令 $\displaystyle Y={1 \over n} \sum_{i = 1}^n X_i$，则

• (A) $\displaystyle {\rm Cov}(X_1,Y)= {\sigma^2 \over n}$

• (B) $\displaystyle {\rm Cov}(X_1,Y)= {\sigma^2}$

• (C) $\displaystyle D(X_1 + Y) = {n + 1 \over n}\sigma^2$

• (D) $\displaystyle D(X_1 - Y) = {n + 1 \over n}\sigma^2$

三、解答题（本题共 9 小题，共 94 分）

(15) （本题满分 12 分）

设 $e <a < b < e^2$ ，证明 $\displaystyle \ln^2 b - \ln^2 a > {4 \over e^2}(b-a)$

(16) （本题满分 11 分）

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下，现有一质量为 $9000kg$ 的飞机，着陆时的水平速度为 $700km/h$，经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 $k = 6.0 x 10^6$)，问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？（注 $kg$ 表示千克，$km/h$ 表示千米／小时）

(17) （本题满分 12 分）

计算曲面积分 $\displaystyle I= \iint\limits_\Sigma 2x^3 dydz + 2y^3 dzdx+ 3(z^2 - 1)dxdy$，其中 $\Sigma$ 是曲面 $z = 1 - x^2 - y^2$ $(z \geqslant 0)$ 的上侧

(18) （本题满分 11 分）

设有方程 $x^n+nx-1=0$ 其中 $n$ 为正整数，证明此方程存在唯一正实根 $x_n$，并证明当 $\alpha>1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty x_n^\alpha$ 收敛

(19) （本题满分 12 分）

设 $z = z(x,y)$ 是由 $x^2 - 6xy + 10y^2 - 2yz - z^2 + 18 = 0$ 确定的函数，求 $z = z(x,y)$ 的极值点和极值

(20) （本题满分 9 分）

设有齐次线性方程组

试问 $a$ 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解

(21) （本题满分 9 分）

设矩阵 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ -1 & 4 & -3 \\ 1 & a & 5 \end{bmatrix}$ 的特征方程有一个二重根，求 $a$ 的值，并讨论 $A$ 是否可相似对角化

(22) （本题满分 9 分）

设 $A,B$ 为随机事件，且 $\displaystyle P(A) = {1 \over 4}$, $\displaystyle P(B|A) = {1 \over 3}$, $\displaystyle P(A|B)= {1 \over 2}$，令 $\displaystyle X = \begin{cases} 1, & A\ 发生 \\ 0, & A\ 不发生 \end{cases}$，$\displaystyle Y = \begin{cases} 1, & B\ 发生 \\ 0, & B\ 不发生 \end{cases}$

求：

• (1) 二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率分布
• (2) $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{XY}$

(23) （本题满分 9 分）

设总体 $X$ 的分布函数为

其中未知参数 $\beta > 1$, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本

求：

• (1) $\beta$ 的矩估计量
• (2) $\beta$ 的最大似然估计量