微积分

高阶导数

$(a^x)^{(n)} = (\ln a)^n\cdot a^x$

证明： 用数学归纳法

当 $n = 1$ 时：

$(a^x)' = (e^{x\ln a})' = \ln a \cdot e^{x\ln a} = \ln a \cdot a^x$，成立

设 $n = k$ 时，$(a^x)^{(k)} = (\ln a)^k\cdot a^x$ 成立，则当 $n = k + 1$ 时：

$(a^x)^{(k+1)} = [(\ln a)^k\cdot a^x] = (\ln a)^{k+1}\cdot a^x$

由第一数学归纳法，命题成立，证毕。

$(e^x)^{(n)} = e^x$

证明：

显然此命题为上一命题的简单推论

取 $a = e$，则 $\ln e = 1$，故

$(e^x)^{(n)} = (\ln e)^n\cdot e^x = e^x$

$\displaystyle (\sin kx)^{(n)} = k^n\sin \left(\frac{n\pi}{2} + kx\right)$

证明： 用数学归纳法

当 $n = 1$ 时
$$
(\sin kx)’ =k \cos kx = k\sin \left(\frac{\pi}{2} + kx\right)
$$

当 $n = 2$ 时（该步骤可以省略）

设 $n = t$ 时，

$\displaystyle (\sin kx)^{(t)} =k^t\sin \left(\frac{t\pi}{2} + kx\right)$ 成立

当 $n = t + 1$ 时

故，由第一数学归纳法，命题成立，证毕。

$\displaystyle (\cos kx)^{(n)} = k^n\cos \left(\frac{n\pi}{2} + kx\right)$

证明：证明方法同上 $(\sin kx)^{(n)}$，不再赘述。

$\displaystyle (\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}$

证明： 用数学归纳法

当 $n = 1$ 时

$\displaystyle(\ln x)' = \frac{1}{x} = (-1)^{0}(1!)\frac{1}{x^1}$

设 $n = k$ 时

$\displaystyle(\ln x)^{(k)} = (-1)^{k-1}(k-1)!\frac{1}{x^k}$ 成立

则当 $n = k + 1$ 时

故，由第一数学归纳法，命题成立，证毕。

$\displaystyle [\ln(1 + x)]^{(n)} = (-1)^{(n-1)}\frac{(n-1)!}{(1 + x)^n}$

证明： 此命题为上一命题的简单推论

做变量替换 $u = 1 + x$ 可得：

$\displaystyle [\ln(1 + x)]^{(n)} = (-1)^{(n-1)}\frac{(n-1)!}{(1 + x)^n}$

$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)^{(n)} = (-1)^{n}\frac{n!}{x^{n + 1}}$

证明：

由于 $\displaystyle(\ln x)' = \frac{1}{x}$，根据 $\displaystyle (\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}$ 可得：

$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)^{(n)} = (-1)^{n}\frac{n!}{x^{n + 1}}$

$\displaystyle \left(\frac{1}{x + a}\right)^{(n)} = (-1)^{n}\frac{n!}{(x + a)^{n + 1}}$

证明： 由 $x' = (x + a)'$ 易知，此命题为上一命题的简单推论。

$\displaystyle (x^m)^{(n)} = m(m-1)\cdots(m - n + 1) x^{m - n}$

证明： 用数学归纳法

当 $n = 1$ 时

$(x^m)' = m x^{m - 1}$，$m - 1 + 1 = m$ 成立

设 $n = k$ 时

$(x^m)^{(k)} = m(m-1)\cdots(m - k + 1) x^{m - k}$ 成立

则当 $n = k + 1$ 时

故，由第一数学归纳法，命题成立，证毕。

$\displaystyle (u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}$

证明： 用数学归纳法

当 $n = 1$ 时：

当 $n = k$ 时：

$\displaystyle (u \pm v)^{(k)} = u^{(k)} \pm v^{(k)}$

则 $n = k + 1$ 时：

$\displaystyle (u \pm v)^{(k + 1)} = [u^{(k)} \pm v^{(k)}]' = u^{(k+1)} \pm v^{(k+1)}$

故，由第一数学归纳法，命题成立，证毕。

莱布尼茨公式： $\displaystyle (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$

当 $n = 1$ 时

设 $n = u$ 时

$\displaystyle (uv)^{(u)} = \sum_{k=0}^{u} \mathrm{C}_u^ku^{(u-k)}v^{(k)}$ 成立

则 $n = u + 1$ 时：

故，由第一数学归纳法，命题成立，证毕。

中值定理辅助函数

对于中值定理辅助函数的证明，只需要找到一个原函数即可，所以可以忽略不定积分的常数，题目中可能需要一个常数，这个需酌情添加。

$f(x)f'(x) = 0 \to$ $F(x) = f^2(x)$

证明：

于是可以取 $F(x) = f^2(x)$，证毕。

$[f'(x)]^2 + f(x)f''(x)= 0 \to$ $F(x) = f'(x)f(x)$

证明：

于是可以取 $F(x) = f(x)f'(x)$，证毕。

类似地，$f(x)f''(x) - [f'(x)]^2= 0 \to$ $\displaystyle F(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}$

$f'(x) + f(x)\varphi'(x)= 0 \to$ $F(x) = f(x)e^{\varphi(x)}$

证明：

于是可以取 $F(x) = f(x)e^{\varphi(x)}$，证毕。

类似地，可知：

$f'(x) - f(x)\varphi'(x)= 0 \to$ $\displaystyle F(x) = \frac{f(x)}{e^{\varphi(x)}}$

$xf'(x) + f(x)= 0 \to$ $F(x) = xf(x)$

证明：

于是可以取 $\displaystyle F(x) = xf(x)$，证毕。

类似地，可知：

$xf'(x) - f(x)= 0 \to$ $\displaystyle F(x) = \frac{f(x)}{x}$

$\displaystyle \int_a^b f(x) dx \to$ $\displaystyle F(x) = \int_a^x f(t) dt$

定积分常用公式

区间再线公式：$\displaystyle \int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a + b - x) dx$

证明：

证毕。