2002年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) $\displaystyle \int_e^{+\infty} {dx \over x \ln^2 x} =$ _____

(2) 已知 $e^y+ 6xy+ x^2 - 1=0$，则 $y''(0)=$ _____

(3) $yy'' + y'^2 = 0$ 满足初始条件 $y(0) = 1$, $\displaystyle y'(0)={1 \over 2}$ 的特解是 _____

(4) 已知实二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = a(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) + 4x_1x_2 + 4x_1x_3 + 4x_2x_3$ 经正交变换可化为标准型 $f=6y_1^2$，则 $a=$ _____

(5) 设随机变量 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$，且二次方程 $y2 + 4y + X = 0$ 无实根的概率为 $0.5$，则 $\mu=$ _____

二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) 考虑二元函数 $f(x,y)$ 的四条性质

1. $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处连续
2. $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的一阶偏导数连续，
3. $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微
4. $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的一阶偏导数存在

则有

• (A) $2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 1$
• (B) $3 \Rightarrow 2 \Rightarrow 1$
• (C) $3 \Rightarrow 4 \Rightarrow 1$
• (D) $3 \Rightarrow 1 \Rightarrow 4$

(2) 设 $u_n \neq 0$，且 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} {n \over u_n} = 1$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n + 1}\left({1 \over u_n} + {1 \over u_{n + 1}}\right)$

• (A) 发散
• (B) 绝对收敛
• (C) 条件收敛
• (D) 收敛性根据所给条件不能判定

(3) 设函数 $f(x)$ 在 $R^+$ 上有界且可导，则

• (A) 当 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = 0$ 时，必有 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f'(x) = 0$
• (B) 当 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f'(x)$ 存在时，必有 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f'(x) = 0$
• (C) 当 $\displaystyle \lim_{x\to {0^+}} f(x) = 0$ 时，必有 $\displaystyle \lim_{x\to {0^+}} f'(x) = 0$
• (D) 当 $\displaystyle \lim_{x\to {0^+}} f'(x)$ 存在时，必有 $\displaystyle \lim_{x\to {0^+}} f'(x) = 0$

(4) 设有三张不同平面的方程为 $a_ix+ b_iy+ c_iz = d_i$ $(i = 1,2,3)$ 它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 $2$，则这三张平面可能的位置关系为

• (A)

• (B)

• (C)

• (D)

(5) 设 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$，分布函数分别为 $F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$，则

• (A) $f_X(x) + f_Y(y)$ 必为密度函数
• (B) $f_X(x) f_Y(y)$ 必为密度函数
• (C) $F_X(x) + F_Y(y)$ 必为某一随机变量的分布函数
• (D) $F_X(x) F_Y(y)$ 必为某一随机变量的分布函数

三、（本题满分 6 分）

设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域具有一阶连续导数，且 $f(0) \neq 0, f'(0) \neq 0$，当 $h \to 0$ 时，若 $af(h)+ bf(2h) - f(0) = o(h)$，试求 $a,b$ 的值

四、（本题满分7 分）

已知两曲线 $y=f(x)$ 与 $\displaystyle y = \int_0^{\arctan x} e^{-t^2} dt$ 在点 $(0,0)$ 处的切线相同，求此切线的方程，并求极限 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} nf\left(2 \over n\right)$

五、（本题满分7 分）

计算二重积分 $\displaystyle \iint\limits_D e^{\max\{x^2, y^2\}} dxdy$，其中 $D=\{(x,y) | 0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1\}$

六、（本题满分 8 分）

设函数 $f(x)$ 在 $R$ 上具有一阶连续导数，$L$ 是上半平面 $(y >0)$ 内的有向分段光滑曲线，起点为 $(a,b)$，终点为 $(c,d)$，记 $\displaystyle I = \int_L{1 \over y}[1+ y^2f(xy)] dx + {x \over y^2}［y^2f(xy)-1]dy$

• (1) 证明曲线积分 $I$ 与路径 $L$ 无关
• (2) 当 $ab = cd$ 时求 $I$ 的值

七、（本题满分 7 分）

• (1) 验证函数 $\displaystyle y(x) = \sum_{n=0}^\infty { x^{3n} \over (3n)!}$ $(-\infty < x < +\infty)$ 满足微分方程 $y''+y'+ y= e^x$

• (2) 求幂级数 $\displaystyle y(x) = \sum_{n=0}^\infty { x^{3n} \over (3n)!}$ 的和函数

八、（本题满分 7 分）

设有一小山，取它的底面所在的平面为 $xOy$ 面，其底部所占的区域为 $D = \{(x,y) | x^2 + y^2 -xy \leqslant 75\}$，小山的高度函数为 $h(x, y) = 75 - x^2 - y^2 + xy$

• (1) 设 $M(x_0,y_0)$ 为区域 $D$ 上一点，问 $h(x,y)$ 在该点沿平面上何方向的方向导数最大？若此方向的方向导数为 $g(x_0,y_0)$，写出 $g(x_0,y_0)$ 的表达式
• (2) 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点；也就是说要在 $D$ 的边界线上找出使 (1) 中 $g(x,y)$ 达到最大值的点，试确定攀登起点的位置

九、（本题满分 6 分）

已知四阶方阵 $A= (\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4)$，$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$ 均为四维列向量，其中 $\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关，$\boldsymbol{\alpha}_1 = 2\boldsymbol{\alpha}_2 - \boldsymbol{\alpha}_3$，若 $\boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\alpha}_4$，求线性方程组 $Ax= \boldsymbol{\beta}$ 的通解

十、（本题满分 8 分）

设 $A,B$ 为同阶方阵

• (1) 若 $A,B$ 相似，证明 $A,B$ 的特征多项式相等
• (2) 举一个二阶方阵的例子说明 (1) 的逆命题不成立
• (3) 当 $A,B$ 为实对称矩阵时，证明 (1) 的逆命题成立

十一、（本题满分 7 分）

设随机变量 $X$ 的概率密度为

对 $X$ 独立地重复观察 $4$ 次，用 $Y$ 表示观察值大于 $\displaystyle {\pi \over 3}$ 的次数，求 $Y^2$ 的数学期望

十二、（本题满分 7 分）

设总体 $X$ 的概率分布为

其中 $\displaystyle \theta\left(0 < \theta < {1 \over 2}\right)$ 是未知参数，利用总体 $X$ 的如下样本值

求 $\theta$ 的矩估计和最大似然估计值