2016考研数学一真题

CreateTime 2021-03-07
UpdateTime 2021-12-27

2016年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)


(1) 若反常积分 \displaystyle \int_0^{+\infty} {1 \over x^a (1 + x)^b} dx 收敛,则

  • (A) a < 1b > 1
  • (B) a > 1b > 1
  • (C) a < 1a + b > 1
  • (D) a > 1a + b > 1

(2) 已知函数 f(x) = \begin{cases} 2(x - 1), & x < 1 \\ \ln x, & x \geqslant 1 \\\end{cases}f(x) 的一个原函数是

  • (A) F(x) = \begin{cases} (x - 1)^2, & x < 1 \\ x(\ln x - 1), & x \geqslant 1 \\\end{cases}

  • (B) F(x) = \begin{cases} (x - 1)^2, & x < 1 \\ x(\ln x + 1) - 1, & x \geqslant 1 \\\end{cases}

  • (C) F(x) = \begin{cases} (x - 1)^2, & x < 1 \\ x(\ln x + 1) + 1, & x \geqslant 1 \\\end{cases}

  • (D) F(x) = \begin{cases} (x - 1)^2, & x < 1 \\ x(\ln x - 1) + 1, & x \geqslant 1 \\\end{cases}


(3) 若 y= (1 + x^2)^2 - \sqrt{1 + x^2}y=(1 + x^2)^2 + \sqrt{1 + x^2} 是微分方程 y'+ p(x)y = q(x) 的两个解,则 q(x)=

  • (A) 3x(1 +x^2)

  • (B) -3x(1 +x^2)

  • (C) \displaystyle{x \over 1 + x^2}

  • (D) \displaystyle - {x \over 1 + x^2}


(4) 已知函数 f(x)= \begin{cases} x, & x \leqslant 0, \\ \displaystyle {1 \over n}, & \displaystyle {1 \over n + 1} < x \leqslant {1 \over n}, n = 1,2,\cdots, \end{cases}

  • (A) x = 0f(x) 的第一类间断点
  • (B) x = 0f(x) 的第二类间断点
  • (C) f(x)x = 0 处连续但不可导
  • (D) f(x)x = 0 处可导

(5) 设 A,B 是可逆矩阵,且 AB 相似,则下列结论错误的是

  • (A) A^TB^T 相似
  • (B) A^{-1}B^{-1} 相似
  • (C) A + A^TB + B^T 相似
  • (D) A + A^{-1}B + B^{-1} 相似

(6) 设二次型 f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 4 x_1x_2 + 4x_1x_3 + 4x_2x_3,则 f(x_1, x_2, x_3) = 2 在空间直角坐标下表示的二次曲面为

  • (A) 单叶双曲面
  • (B) 双叶双曲面
  • (C) 椭球面
  • (D) 柱面

(7) 设随机变量 X \sim N(\mu, \sigma^2),(\sigma >0),记 p=P\{X \leqslant \mu + \sigma^2\},则

  • (A) p 随着 \mu 的增加而增加
  • (B) p 随着 \sigma 的增加而增加
  • (C) p 随着 \mu 的增加而减少
  • (D) p 随着 \sigma 的增加而减少

(8) 随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A_1,A_2,A_3,且三种结果发生的概率均 \displaystyle {1 \over 3},将试验 E 独立重复做2 次,X 表示 2 次试验中结果 A_1 发生的次数,Y 表示 2 次试验中结果 A_2 发生的次数,则 XY 的相关系数为

  • (A) \displaystyle -{1 \over 2}

  • (B) \displaystyle -{1 \over 3}

  • (C) \displaystyle {1 \over 3}

  • (D) \displaystyle {1 \over 2}


二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)


(9) \displaystyle \lim_{x\to 0} {\displaystyle {\int_0^x t \ln(1 + t\sin t) dt} \over 1 - \cos x^2} = _____


(10) 向量场 A(x, y, z) = (x + y + z)\boldsymbol{i} + xy\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k} 的旋度 {\rm rot}\, A = _____


(11) 设函数 f(u,v) 可微,z=z(x,y) 由方程 (x+1)z - y^2 = x^2f(x -z,y) 确定,则 dz\big|_{(0, 1)}=


(12) 设函数 \displaystyle f(x) = \arctan x - {x \over 1 + ax^2}f'''(0) = 1,则 a= _____


(13) 行列式 \displaystyle \begin{vmatrix}\lambda & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & 2 & \lambda + 1 \\ \end{vmatrix}= _____


(14) 设 X_1, X_2, \cdots, X_n 为来自总体 N(\mu, \sigma^2) 的简单随机样本,样本均值 \overline{X}=9.5,参数 \mu 的置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8,则 \mu 的置信度为 0.95 的双侧置信区间为 _____


三、解答题(本题共 9 小题,共 94 分)


(15) (本题满分 10 分)

已知平面区域 D=\left\{(r, \theta) | 2 \leqslant r \leqslant 2(1 + \cos \theta), \displaystyle -{\pi \over 2} \leqslant \theta \leqslant {\pi \over 2}\right\},计算二重积分 \displaystyle\iint\limits_D x dxdy


(16) (本题满分 10 分)

设函数 y(x) 满足方程 y'' + 2y'+ ky = 0,其中 0 < k <1

  • (1) 证明:反常积分 \displaystyle \int_0^{+\infty} y(x)dx 收敛

  • (2) 若 y(0) = 1, y'(0) = 1,求 \displaystyle \int_0^{+\infty} y(x)dx 的值.


(17) (本题满分 10 分)

设函数 f(x, y) 满足 \displaystyle {\partial f(x, y) \over \partial x} = (2x + 1)e^{2x - y},且 f(0,y) = y + 1L_t 是从点 (0,0) 到点 (1, t) 的光滑曲线,计算曲线积分 \displaystyle I(t) = \int_{L_t} {\partial f(x,y) \over \partial x} dx + {\partial f(x,y) \over \partial y} dy,并求 I(t) 的最小值


(18) (本题满分 10 分)

设有界区域 \Omega 由平面 2x +y +2z =2 与三个坐标平面围成,\Sigma\Omega 整个表面的外侧,计算曲面积分

I = \iint\limits_\Sigma (x^2 + 1) dydz - 2ydzdx + 3zdxdy

(19) (本题满分 10 分)

已知函数 f(x) 可导,且 \displaystyle f(0) = 1,0 < f'(x) < {1 \over 2} 设数列 \{x_n\} 满足 \displaystyle x_{n + 1} =f(x_n) \, (n = 1,2, \cdots),证明:

  • (1) 级数 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (x_{n + 1} - x_n) 绝对收敛

  • (2) \displaystyle \lim_{n\to \infty} x_n 存在,且 \displaystyle 0 < \lim_{n\to \infty} x_n < 2


(20) (本题满分 11 分)

设矩阵 \displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 2 & a & 1 \\ -1 & 1 & a \end{bmatrix}\displaystyle B = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & a \\ -a-1 & -2\end{bmatrix},当 a 为何值时,方程 AX=B 无解、有唯一解、有无穷多解?在有解时,求解此方程


(21) (本题满分 11 分)

已知矩阵 \displaystyle A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

  • (1) 求 A^{99}

  • (2) 设 3 阶矩阵 B=(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3) 满足 B^2 = BA,记 B^{100} =(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3),将 \boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3 分别表示为 \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3 的线性组合


(22) (本题满分 11 分)

设二维随机变量 (X,Y) 在区域 D=\{(x, y) | 0 < x < 1, x^2 < y < \sqrt{x}\} 上服从均匀分布,令 \displaystyle U=\begin{cases}1, & X \leqslant Y \\ 0, & X>Y\end{cases}

  • (1) 写出 (X,Y) 的概率密度
  • (2) 问 UX 是否相互独立?并说明理由
  • (3) 求 Z=U+X 的分布函数 F_Z(z)

(23) (本题满分 11 分)

设总体 X 的概率密度为

f(x; \theta) = \begin{cases} \displaystyle {3x^2 \over \theta^3}, & 0 < x < \theta, \\ 0, & 其他 \\ \end{cases}

其中 \theta \in (0, +\infty) 为未知参数,X_1,X_2,X_3 为来自总体 X 的简单随机样本,令 T = \max\{X_1,X_2,X_3\}

  • (1) 求 T 的概率密度
  • (2) 确定 a,使得 aT\theta 的无偏估计