2021考研数学一真题解析

一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）

(1) 函数 $f(x) = \begin{cases} \displaystyle {e^x -1 \over x}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处

• (A) 连续且取极大值
• (B) 连续且取极小值
• (C) 可导且导数为 $0$
• (D) 可导且导数不为 $0$

解：

$\displaystyle \lim_{x\to 0} {e^x - 1 \over x} = 1$，故 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处是连续的；

故，函数可导并且不为 $0$，选择 $D$

注：分母上出现幂函数，极限一般可以使用洛必达来简化计算

(2) 设函数 $f(x,y)$ 可微，且 $f(x + 1,e^x) = x(x + 1)^2$, $f(x,x^2) = 2x^2 \ln x$，则 $df(1, 1)=$

• (A) $dx + dy$
• (B) $dx - dy$
• (C) $dy$
• (D) $-dy$

解法一：

由于是选择题，观察两式子，取 $f(x, y) = x^2\ln y$，则

得 $df(1, 1) = dy$，选择 $C$

解法二： 正统解法，比较费时

分别对两个等式求导，得：

分别取 $x = 0$ 和 $x = 1$ 得：

解得

于是 $dz = dy$，选择 $C$

(3) 设函数 $\displaystyle f(x)= {\sin x \over 1 + x^2}$ 在 $x=0$ 处的 $3$ 次泰勒多项式为 $ax + bx^2 + cx^3$，则

• (A) $a = 1$, $b = 0$, $\displaystyle c = -{7 \over 6}$

• (B) $a = 1$, $b = 0$, $\displaystyle c = {7 \over 6}$

• (C) $a = -1$, $b = -1$, $\displaystyle c = -{7 \over 6}$

• (D) $a = -1$, $b = -1$, $\displaystyle c = {7 \over 6}$

解：

当 $x\to 0$ 时，$\displaystyle \sin x = x - {1 \over 6} x^3 + o(x^3)$，$\displaystyle {1 \over 1 + x^2} = 1 - x^2 + o(x^3)$，则：

故 $a = 1$, $b = 0$, $\displaystyle c = -{7 \over 6}$，选择 $A$

注：通常来说，当 $x\to 0$ 时， $\displaystyle {1 \over 1 + x^2} = 1 - x^2 + o(x^2)$，但是后面的一项是 $x^4$，为了避免精度不够，写成 $o(x^3)$ 更加准确。

(4) 设函数 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上连续，则 $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=$

• (A) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(2k -1 \over 2n \right) {1 \over 2n}$

• (B) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(2k -1 \over 2n \right) {1 \over n}$

• (C) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f\left(k -1 \over 2n \right) {1 \over n}$

• (D) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f\left(k \over 2n \right) {2 \over n}$

解：

取 $f(x) = 1$，则 $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = 1$，

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n {1 \over n} = 1$；

容易验证其他选项都不对，故选 $B$

(5) 二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = (x_1 + x_2)^2 + (x_2 + x_3)^2 - (x_3 - x_1)^2$ 的正惯性指数与负惯性指数依次为

• (A) $2,0$
• (B) $1,1$
• (C) $2,1$
• (D) $1,2$

解法一：

令 $y_1 = x_2 + x_2$, $y_2=x_2 + x_3$, $y_3=x_3$，则

显然 $|A| = 0$，说明 $A$ 至少有一个秩 $\lambda = 0$，排除 $C,D$，$tr(A) = 0$，排除 $A$，只能选择 $B$

解法二：

令 $y_1 = z_1 + z_2$, $y_2 = z_1 - z_2$, $y_3=z_3$，则 $2y_1y_2 =2(z_1 + z_2)(z_1 - z_2) = 2z_1^2 - 2z_2^2$，选择 $B$

(6) 已知 $\boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\boldsymbol{\alpha}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$，已知 $\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1$, $\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_2 - k_1\boldsymbol{\beta}_1$, $\boldsymbol{\beta}_3 = \boldsymbol{\alpha}_2 - l_1\boldsymbol{\beta}_1 - l_2\boldsymbol{\beta}_2$，若 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3$ 两两正交，则 $l_1, l_2$ 依次为

• (A) $\displaystyle {5 \over 2}, {1 \over 2}$

• (B) $\displaystyle -{5 \over 2}, {1 \over 2}$

• (C) $\displaystyle {5 \over 2}, -{1 \over 2}$

• (D) $\displaystyle -{5 \over 2}, -{1 \over 2}$

(7) 设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，下列不成立的是

• (A) $r\begin{pmatrix} A & O \\ O & A^TA \end{pmatrix}=2r(A)$

• (B) $r\begin{pmatrix} A & AB \\ O & A^T \end{pmatrix}=2r(A)$

• (C) $r\begin{pmatrix} A & BA \\ O & AA^T \end{pmatrix}=2r(A)$

• (D) $r\begin{pmatrix} A & O \\ BA & AA^T \end{pmatrix}=2r(A)$

(8) 设 $A,B$ 为随机事件，且 $0 < P(B) < 1$，下列命题中为假命题的是

• (A) 若 $P(A|B) = P(A)$，则 $P(A|\overline{B}) = P(A)$
• (B) 若 $P(A|B) > P(A)$，则 $P(\overline{A}|\overline{B}) > P(\overline{A})$
• (C) 若 $P(A|B) > P(A|\overline{B})$，则 $P(A|B) > P(A)$
• (D) 若 $P(A|A \cup B) > P(\overline{A}|A \cup B)$，则 $P(A) > P(B)$

(9) 设 $(X_1, Y_1),(X_2, Y_2),\cdots,(X_n,Y_n)$ 为来自总体 $N(\mu_1,\mu_2; \sigma_1^2, \sigma_2^2;\rho)$ 的简单随机样本，令 $\theta = \mu_1 - \mu_2$, $\displaystyle \overline{X}={1 \over n}\sum_{i = 1}^nX_i$, $\displaystyle \overline{Y} ={1 \over n}\sum_{i = 1}^n Y_i$, $\hat{\theta} = X-Y$，则

• (A) $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计，$\displaystyle D(\hat{\theta}) ={\sigma_1^2 + \sigma_2^2 \over n}$

• (B) $\hat{\theta}$ 不是 $\theta$ 的无偏估计，$\displaystyle D(\hat{\theta}) ={\sigma_1^2 + \sigma_2^2 \over n}$

• (C) $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计，$\displaystyle D(\hat{\theta}) ={\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\sigma_2\sigma_2\over n}$

• (D) $\hat{\theta}$ 不是 $\theta$ 的无偏估计，$\displaystyle D(\hat{\theta}) ={\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\sigma_2\sigma_2\over n}$

(10) 设 $X_1,X_2,\cdots, X_{16}$ 是来自总体 $N(\mu,4)$ 的简单随机样本，考虑假设检验问题： $H_0:\mu \leqslant 10, H_1:\mu> 10$，$\Phi(x)$ 表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为 $W = \{\overline{X} \geqslant 11\}$， 其中 $\displaystyle \overline{X} = {1 \over 16} \sum_{i=1}^{16}X_i$，则 $\mu = 11.5$ 时，该检验犯第二类错误的概率为

• (A) $1 - \Phi(0.5)$
• (B) $1 - \Phi(1)$
• (C) $1 - \Phi(1.5)$
• (D) $1 - \Phi(2)$

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）

(11) $\displaystyle \int_0^{+\infty} {dx \over x^2 + 2x + 2}=$ _____

(12) 设函数 $y = y(x)$ 由参数方程 $\begin{cases} x = 2e^t + t + 1, & x < 0\\ y = 4(t - 1)e^t + t^2, & x \geqslant 0\end{cases}$ 确定，则 $\displaystyle {d^2y \over dx^2}\bigg|_{t=0}=$ _____

(13) 欧拉方程 $x^2y'' + xy'- 4y = 0$ 满足条件 $y(1) = 1$, $y'(1) = 2$ 的解为 $y=$ _____

(14) 设 $\Sigma$ 为空间区域 $\{(x,y,z) |x^2 + 4y^2 \leqslant 4, 0 \leqslant z \leqslant 2\}$ 表面的外侧，则曲面积分$\displaystyle \iint\limits_\Sigma x^2dydz + y^2dzdx + zdxdy =$ _____

(15) 设 $A = (a_{ij})$ 为 $3$ 阶矩阵，$A_{ij}$ 为代数余子式，若 $A$ 的每行元素之和为 $2$，且 $|A| = 3$,
则 $A_{11} +A_{21} +A_{31} =$ _____

(16) 甲、乙两个盒子中有 $2$ 个红球和 $2$ 个白球，从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒，再从乙盒中任取一球，令 $X,Y$ 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球的个数，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为 _____

三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分）

(17) （本题满分 10 分）

计算极限 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left({1 + \displaystyle \int_0^x e^{t^2} dt \over e^x - 1} - {1 \over \sin x}\right)$

解：

(18) （本题满分 12 分）

设 $\displaystyle u_n(x) = e^{-nx} + {x^{n + 1} \over n(n + 1)}$ $(n=1,2,\cdots)$，求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 的收敛域及和函数

(19) （本题满分 12 分）

已知曲线 $C:\begin{cases} x+2y -z = 6 \\ 4x + 2y + z = 30 \end{cases}$，求曲线 $C$ 上的点到 $xOy$ 坐标面距离的最大值

(20) （本题满分 12 分）

设 $D \subset \mathbb{R}^2$ 是一个平面单连通区域，令 $\displaystyle I(D) = \iint\limits_D (4 - x^2 - y^2)dxdy$，设 $I(D)$ 取得最大值的区域为 $D_1$

• (1) 计算 $I(D_1)$

• (2) 计算 $\displaystyle \int_{\partial D_1} {(xe^{x^2+4y^2} +y)dx + (4ye^{x^2 +4y^2} - x)dy \over x^2 + 4y^2}$，其中 $\partial D_1$ 是 $D_1$ 的正向边界

(21) （本题满分 11 分）

设矩阵 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} a & 1 & -1 \\ 1 & a & -1 \\ -1 & -1 & a \end{bmatrix}$

• (1) 求正交矩阵 $P$，使 $P^TAP$ 为对角矩阵
• (2) 求正定矩阵 $C$，使 $C^2 = (a + 3)E + A$，其中 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵

(22) （本题满分 11 分）

在区间 $(0,2)$ 上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为 $X$，较长一段的长度记为 $Y$，令 $\displaystyle Z= {Y \over X}$

• (1) 求 $X$ 的概率密度

• (2) 求 $Z$ 的概率密度

• (3) 求 $\displaystyle E\left(X \over Y\right)$