2010考研数学一真题

CreateTime 2021-03-08
UpdateTime 2021-12-27

2010年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)


(1) 极限 \displaystyle \lim_{x\to \infty} \left[{x^2 \over (x - a)(x + b)}\right]^x=

  • (A) 1
  • (B) e
  • (C) e^{a - b}
  • (D) e^{b - a}

(2) 设函数 z=z(x,y) 由方程 \displaystyle F\left({y \over x}, {z\over x}\right)=0 确定,其中 F 为可微函数,且 F_2'\neq0,则 \displaystyle x{\partial z \over \partial x} + y{\partial z \over \partial y}=

  • (A) x
  • (B) z
  • (C) -x
  • (D) -z

(3) 设 m,n 均是正整数,则反常积分 \displaystyle \int_0^1 {\sqrt[m]{\ln^2 (1 - x)} \over \sqrt[n]{x}} dx 的收敛性

  • (A) 仅与 m 的取值有关
  • (B) 仅与 n 的取值有关
  • (C) 与 m,n 的取值都有关
  • (D) 与 m,n 的取值都无关

(4) \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n {n \over (n + i)(n^2 + j^2)} =

  • (A) \displaystyle \int_0^1 dx \int_0^x {1 \over (1 + x)(1 + y^2)} dy

  • (B) \displaystyle \int_0^1 dx \int_0^x {1 \over (1 + x)(1 + y)} dy

  • (C) \displaystyle \int_0^1 dx \int_0^1 {1 \over (1 + x)(1 + y)} dy

  • (D) \displaystyle \int_0^1 dx \int_0^1 {1 \over (1 + x)(1 + y^2)} dy


(5) 设 Am\times n 矩阵,Bn\times m 矩阵,Em 阶单位矩阵,若 AB=E,则

  • (A) r(A) = m,r(B) = m
  • (B) r(A) = m,r(B) = n
  • (C) r(A) = n,r(B) = m
  • (D) r(A) = n,r(B) = n

(6) 设 A4 阶实对称矩阵,且 A^2 + A = O,若 A 的秩为 3,则 A 相似于

  • (A) \begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 0 \end{bmatrix}

  • (B) \begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0 \end{bmatrix}

  • (C) \begin{bmatrix} 1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0 \end{bmatrix}

  • (D) \begin{bmatrix} -1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0 \end{bmatrix}


(7) 设随机变量 X 的分布函数

F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ {1 \over 2}, & 0 \leqslant x < 1, \\ 1 - e^{-x}, & x \geqslant 1, \end{cases}

P\{X=1\}=

  • (A) 0

  • (B) \displaystyle {1\over 2}

  • (C) \displaystyle {1 \over 2} - e^{-1}

  • (D) \displaystyle 1 - e^{-1}


(8) 设 f_1(x) 为标准正态分布的概率密度, f_2(x)[-1,3] 上均匀分布的概率密度,若

f(x) = \begin{cases} af_1(x), & x \leqslant 0, \\ bf_2(x), & x > 0 \end{cases} \, (a > 0, b > 0)

为概率密度,则 a,b 应满足

  • (A) 2a + 3b = 4
  • (B) 3a + 2b = 4
  • (C) a + b = 1
  • (D) a + b = 2

二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)


(9) 设 \begin{cases} x = e^{-t}, \\ \displaystyle y = \int_0^t \ln(1 + u^2)du, \end{cases}\displaystyle {d^2 y \over dx^2}\bigg|_{t=0}= _____


(10) \displaystyle \int_0^{\pi^2} \sqrt{x}\cos\sqrt{x}dx= _____


(11) 已知曲线 L 的方程为 y=1 - |x| \, (x \in [ -1,1]),起点是 (-1,0),终点为 (1,0),则曲线积分 \displaystyle\int_L xydx +x^2dy = _____


(12) 设 \Omega = \{ (x, y, z) | x^2 + y^2 \leqslant z \leqslant 1\},则 \Omega 的形心的竖坐标 z= _____


(13) 设 \boldsymbol{\alpha}_1 = (1, 2, -1, 0)^T\boldsymbol{\alpha}_2 = (1, 1, 0, 2)^T\boldsymbol{\alpha}_3 = (2, 1, 1, a)^T,若由 \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3 生成的向量空间的维数为 2,则 a= _____


(14) 设随机变量 X 的概率分布为 \displaystyle P\{X=k\}={C\over k!}k=0,1,2,\cdots,E(X^2)= _____


三、解答题(本题共 9 小题,共 94 分)


(15) (本题满分 10 分)

求微分方程 y'' - 3y' + 2y = 2xe^x 的通解


(16) (本题满分 10 分)

求函数 \displaystyle f(x) = \int_1^{x^2}(x^2 - t) e^{-t^2}dt 的单调区间与极值


(17) (本题满分 10 分)

  • (1) 比较 \displaystyle \int_0^1 |\ln t|[\ln(1 + t)]^ndt\displaystyle \int_0^1 t^n|\ln t|dt (n = 1,2,\cdots) 的大小,说明理由

  • (2) 记 \displaystyle u_n = \int_0^1 |\ln t|[\ln(1 + t)]^ndt (n = 1,2,\cdots),求极限 \displaystyle \lim_{n\to \infty} u_n


(18) (本题满分 10 分)

求幂级数 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n - 1} \over 2n - 1} x^{2n} 的收敛域及和函数


(19) (本题满分 10 分)

P 为椭球面 S:x^2 + y^2 + z^2 - yz=1 上的动点,若 S 在点 P 处的切平面与 xOy 面垂直,求点 P 的轨迹 C,并计算曲面积分 \displaystyle I= \iint\limits_\Sigma {(x + \sqrt{3})|y - 2z| \over \sqrt{4 + y^2 + z^2 -4yz}} dS,其中 \Sigma 是椭球面 S 位于曲线 C 上方的部分


(20) (本题满分 11 分)

\displaystyle A = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda - 1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}\displaystyle b = \begin{bmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},已知线性方程组 Ax = b 存在两个不同的解

  • (1) 求 \lambda, a
  • (2) 求方程组 Ax=b 的通解

(21) (本题满分 11 分)

已知二次型 f(x_1, x_2, x_3) = x^TAx 在正交变换 x = Qy 下的标准形为 y_1^2 + y_2^2,且 Q 的第三列为 \displaystyle \left({\sqrt{2} \over 2}, 0, {\sqrt{2} \over 2}\right)^T

  • (1) 求矩阵 A
  • (2) 证明 A+E 为正定矩阵,其中 E3 阶单位矩阵

(22) (本题满分 11 分)

设二维随机变量 (X,Y) 的概率密度为 f(x,y) =Ae^{-2x^2+2xy-y^2}-\infty < x < +\infty-\infty < y < +\infty,求常数 A 及条件概率密度 f_{Y|X}(y|x)


(23) (本题满分 11 分)

设总体 X 的概率分布为

X 1 2 3
P 1 - \theta \theta - \theta^2 \theta^2

其中参数 \theta \in (0, 1) 未知以 N_i 表示来自总体 X 的简单随机样本(样本容量为 n)中等于 i 的个数 (i=1,2,3),试求常数 a_1,a_2,a_3,使 \displaystyle T= \sum_{n=1}^3 a_iN_i\theta 的无偏估计量,并求 T 的方差