2010年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）

(1) 极限 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left[{x^2 \over (x - a)(x + b)}\right]^x=$

• (A) $1$
• (B) $e$
• (C) $e^{a - b}$
• (D) $e^{b - a}$

(2) 设函数 $z=z(x,y)$ 由方程 $\displaystyle F\left({y \over x}, {z\over x}\right)=0$ 确定，其中 $F$ 为可微函数，且 $F_2'\neq0$，则 $\displaystyle x{\partial z \over \partial x} + y{\partial z \over \partial y}=$

• (A) $x$
• (B) $z$
• (C) $-x$
• (D) $-z$

(3) 设 $m,n$ 均是正整数，则反常积分 $\displaystyle \int_0^1 {\sqrt[m]{\ln^2 (1 - x)} \over \sqrt[n]{x}} dx$ 的收敛性

• (A) 仅与 $m$ 的取值有关
• (B) 仅与 $n$ 的取值有关
• (C) 与 $m,n$ 的取值都有关
• (D) 与 $m,n$ 的取值都无关

(4) $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n {n \over (n + i)(n^2 + j^2)} =$

• (A) $\displaystyle \int_0^1 dx \int_0^x {1 \over (1 + x)(1 + y^2)} dy$

• (B) $\displaystyle \int_0^1 dx \int_0^x {1 \over (1 + x)(1 + y)} dy$

• (C) $\displaystyle \int_0^1 dx \int_0^1 {1 \over (1 + x)(1 + y)} dy$

• (D) $\displaystyle \int_0^1 dx \int_0^1 {1 \over (1 + x)(1 + y^2)} dy$

(5) 设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times m$ 矩阵，$E$ 为 $m$ 阶单位矩阵，若 $AB=E$，则

• (A) $r(A) = m,r(B) = m$
• (B) $r(A) = m,r(B) = n$
• (C) $r(A) = n,r(B) = m$
• (D) $r(A) = n,r(B) = n$

(6) 设 $A$ 为 $4$ 阶实对称矩阵，且 $A^2 + A = O$，若 $A$ 的秩为 $3$，则 $A$ 相似于

• (A) $\begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 0 \end{bmatrix}$

• (B) $\begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0 \end{bmatrix}$

• (C) $\begin{bmatrix} 1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0 \end{bmatrix}$

• (D) $\begin{bmatrix} -1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0 \end{bmatrix}$

(7) 设随机变量 $X$ 的分布函数

则 $P\{X=1\}=$

• (A) $0$

• (B) $\displaystyle {1\over 2}$

• (C) $\displaystyle {1 \over 2} - e^{-1}$

• (D) $\displaystyle 1 - e^{-1}$

(8) 设 $f_1(x)$ 为标准正态分布的概率密度， $f_2(x)$ 为 $[-1,3]$ 上均匀分布的概率密度，若

为概率密度，则 $a,b$ 应满足

• (A) $2a + 3b = 4$
• (B) $3a + 2b = 4$
• (C) $a + b = 1$
• (D) $a + b = 2$

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

(9) 设 $\begin{cases} x = e^{-t}, \\ \displaystyle y = \int_0^t \ln(1 + u^2)du, \end{cases}$ 则 $\displaystyle {d^2 y \over dx^2}\bigg|_{t=0}=$ _____

(10) $\displaystyle \int_0^{\pi^2} \sqrt{x}\cos\sqrt{x}dx=$ _____

(11) 已知曲线 $L$ 的方程为 $y=1 - |x| \, (x \in [ -1,1])$，起点是 $(-1,0)$，终点为 $(1,0)$，则曲线积分 $\displaystyle\int_L xydx +x^2dy =$ _____

(12) 设 $\Omega = \{ (x, y, z) | x^2 + y^2 \leqslant z \leqslant 1\}$，则 $\Omega$ 的形心的竖坐标 $z=$ _____

(13) 设 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1, 2, -1, 0)^T$，$\boldsymbol{\alpha}_2 = (1, 1, 0, 2)^T$，$\boldsymbol{\alpha}_3 = (2, 1, 1, a)^T$，若由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 生成的向量空间的维数为 $2$，则 $a=$ _____

(14) 设随机变量 $X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=k\}={C\over k!}$，$k=0,1,2,\cdots,$ 则 $E(X^2)=$ _____

三、解答题（本题共 9 小题，共 94 分）

(15) （本题满分 10 分）

求微分方程 $y'' - 3y' + 2y = 2xe^x$ 的通解

(16) （本题满分 10 分）

求函数 $\displaystyle f(x) = \int_1^{x^2}(x^2 - t) e^{-t^2}dt$ 的单调区间与极值

(17) （本题满分 10 分）

• (1) 比较 $\displaystyle \int_0^1 |\ln t|[\ln(1 + t)]^ndt$ 与 $\displaystyle \int_0^1 t^n|\ln t|dt$ $(n = 1,2,\cdots)$ 的大小，说明理由

• (2) 记 $\displaystyle u_n = \int_0^1 |\ln t|[\ln(1 + t)]^ndt$ $(n = 1,2,\cdots)$，求极限 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} u_n$

(18) （本题满分 10 分）

求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n - 1} \over 2n - 1} x^{2n}$ 的收敛域及和函数

(19) （本题满分 10 分）

设 $P$ 为椭球面 $S:x^2 + y^2 + z^2 - yz=1$ 上的动点，若 $S$ 在点 $P$ 处的切平面与 $xOy$ 面垂直，求点 $P$ 的轨迹 $C$，并计算曲面积分 $\displaystyle I= \iint\limits_\Sigma {(x + \sqrt{3})|y - 2z| \over \sqrt{4 + y^2 + z^2 -4yz}} dS$，其中 $\Sigma$ 是椭球面 $S$ 位于曲线 $C$ 上方的部分

(20) （本题满分 11 分）

设 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda - 1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}$， $\displaystyle b = \begin{bmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$，已知线性方程组 $Ax = b$ 存在两个不同的解

• (1) 求 $\lambda, a$
• (2) 求方程组 $Ax=b$ 的通解

(21) （本题满分 11 分）

已知二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = x^TAx$ 在正交变换 $x = Qy$ 下的标准形为 $y_1^2 + y_2^2$，且 $Q$ 的第三列为 $\displaystyle \left({\sqrt{2} \over 2}, 0, {\sqrt{2} \over 2}\right)^T$

• (1) 求矩阵 $A$
• (2) 证明 $A+E$ 为正定矩阵，其中 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵

(22) （本题满分 11 分）

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y) =Ae^{-2x^2+2xy-y^2}$，$-\infty < x < +\infty$，$-\infty < y < +\infty$，求常数 $A$ 及条件概率密度 $f_{Y|X}(y|x)$

(23) （本题满分 11 分）

设总体 $X$ 的概率分布为

其中参数 $\theta \in (0, 1)$ 未知以 $N_i$ 表示来自总体 $X$ 的简单随机样本（样本容量为 $n$）中等于 $i$ 的个数 $(i=1,2,3)$，试求常数 $a_1,a_2,a_3$，使 $\displaystyle T= \sum_{n=1}^3 a_iN_i$ 为 $\theta$ 的无偏估计量，并求 $T$ 的方差