函数、极限、连续

$x \in (0, 1) \Rightarrow \sin x < x < \tan x$

当 $x \to 0$ 时，若 $f(x) \sim ax^m;g(x) \sim bx^n$，则 $f[g(x)] \sim ab^mx^{mn}$

若 $\alpha(x) \to 0$，且 $\beta(x)\to\infty$ 有：

证明：

$\displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m}$ 能用多少次洛必达法则？

假设 $m$ 和 $n$ 均为正整数

1. 如果 $f(x)$ $n$ 阶导数连续，则：
   1. 若 $m \leqslant n$， 则 $\displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m}$ 可以用 $m$ 次洛必达法则出现 $\displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m} = \lim_{x\to x_0}\frac{f^{(m)}(x)}{m!} = \frac{f^{(m)}(x)}{m!}$
2. 若 $m > n$，则 $\displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m}$ 一次都不能用洛必达法则。
3. 如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内有 $n$ 阶导数，则：
   1. 若 $m \leqslant n - 1$， 则 $\displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m}$ 可以用 $m$ 次洛必达法则出现 $\displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m} = \lim_{x\to x_0}\frac{f^{(m)}(x)}{m!} = \frac{f^{(m)}(x)}{m!}$
   2. 若 $m = n$，则 $\displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m}$ 可以用 $m - 1$ 次洛必达法则，出现 $\displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f^{(m-1)}(x)}{m!x}$，然后利用导数定义 $\displaystyle f^{(n)}(x_0) =\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}$ 进一步计算。
   3. 若 $m \geqslant n + 1$，则 $\displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m}$ 一次都不能用洛必达法则。

• 设 $f(x)$，$g(x)$ 在点 $x = 0$ 的某个邻域内连续
• $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$
• $\displaystyle\lim_{x\to 0}\varphi(x) = 0$，$\varphi(x)$ 在点 $x = 0$ 的某去心邻域内可导且 $\varphi'(x) = 0$
• $\displaystyle\lim_{x\to 0}\psi(x) = 0$，$\psi(x)$ 在点 $x = 0$ 的某去心邻域内可导且 $\psi'(x) = 0$
• $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\varphi'(x)}{\psi'(x)} = 1$

则有：

证明：

积分

定积分旋转体体积公式

二重积分旋转体体积公式

区间再现公式：

反常积分审敛法

反常积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p} (a>0, p>0)$ 的敛散性。

反常积分 $\displaystyle \int_a^b \frac{dx}{(x-a)^q} (q>0)$ 的敛散性。

总结上两题：大大小小

• 如果积分区间有无穷，则 $p > 1$ 时收敛
• 如果积分区间有瑕点，则 $0 < p < 1$ 时收敛

反常积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p\ln^q x} (a>0)$ 的敛散性。

• 当 $p > 1$ 时收敛
• 当 $p = 1$ 时：
  • $q > 1$ 时收敛
  • $q \leqslant 1$ 时发散
• 当 $p < 1$ 时发散

定理一： 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, +\infty)$ 上连续，且 $f(x) \geqslant 0$，如果存在常数 $p > 1$，使得 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^pf(x) = c$，那么反常积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx$ 收敛，如果 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xf(x) = d>0$，那么反常积分$\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx$ 发散。

通俗解释是：要想判断 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx$ 的敛散性，只需要找到 $x \to \infty$ 时被积函数 $f(x)$ 的等价或者同阶无穷小 $\displaystyle \frac{1}{x^p}$，而 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx$ 和 $\displaystyle \int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx$ 同敛散，再根据上面的结论，就可以判断 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx$ 的敛散性。

定理二： 设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b]$ 上连续，且 $f(x) \geqslant 0$，$x = a$ 是 $f(x)$ 的瑕点，如果存在常数 $0 < q < 1$，使得 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}(x - a)^qf(x) = c$，那么反常积分 $\displaystyle \int_a^b f(x) dx$ 收敛，如果 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x - a)f(x) = d>0$，那么反常积分$\displaystyle \int_a^b f(x) dx$ 发散。

通俗解释是：要想判断 $\displaystyle \int_a^b f(x) dx$ 的敛散性，只需要找到 $x \to \infty$ 时被积函数 $f(x)$ 的等价或者同阶无穷大。

无穷级数

若 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ 绝对收敛，且 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} v_n = 0$，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_nv_n$ 绝对收敛；

证明：

由于 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} v_n = 0$，故存在充分大的 $N$，使得当 $n > N$ 时有 $|u_nv_n| < |u_n|$；

因此 $\displaystyle\displaystyle\sum_{n=N}^\infty |u_n| > \sum_{n=N}^\infty |u_nv_n|$，又由于 $\displaystyle\sum_{n=1}^{N-1} |u_nv_n|$ 为常数

故由 正项级数的比较判别法 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |u_nv_n|$ 收敛，即 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_nv_n$ 绝对收敛；证毕。