数学分析：级数

创建时间 2020-03-28

更新时间 2020-03-28

分类

数学理论

专题

有限级数

设 $m,n$ 是整数，并设 $(a_i)_{i=m}^n$ 是实数的有限序列，它把每个介于 $m$ 和 $n$ 之间的整数 $i$ 对应于一个实数 $a_i (m \leqslant i \leqslant n)$ ；那么我们用下面的递归公式来定义有限和（或有限级数）:

$\begin{aligned} \sum_{i=m}^n a_i &:= 0, (n < m);\\ \sum_{i=m}^{n + 1} a_i &:= \left( \sum_{i=m}^n a_i \right) + a_{n + 1}, (n \geqslant m - 1);\\ \end{aligned}$

和与级数之间的差别是语言学上的微妙之物，严格地说，一个级数是一个形如 $\displaystyle\sum_{i=m}^n$ 的表达式这个级数在数学上（但不是从语义上）等于一个实数，此实数就叫做这个级数的和。例如 $1+2+3+4+5$ 是一个级数，它的和是 $15$ ；

要是在语义上过千挑剔的话，就不会把 $15$ 看作是一个级数，也不会认为 $1+2+3+4+5$ 是一个和；尽管两个表达式具有同一个值但是我们将不太在乎这种差别因为它纯粹是语言学的，而与数学无关。

有限集合上的求和

设X是具有 $n$ 个元素的有限集合 $(n \in \mathbb{N})$ ，并设 $f:X \to \mathbb{R}$ 是从 $X$ 到实数集合的函数（即对于 $X$ 的每个元素 $x$ ， $f$ 指定一个实数
$f(x)$ ）；那么我们可以定义有限和 $\displaystyle\sum_{x \in X}f(x)$ 如下：

首先任选一个从 $\displaystyle\{i \in \mathbb{N}: 1 \leqslant i \leqslant n\}$ 到 $X$ 的双射 $g$ ；这样的双射是存在的，因为 $X$ 被假定含有 $n$ 个元素。然后我们定义

$\sum_{x \in X}f(x) := \sum_{i = 1}^n f(g(i))$

级数富比尼定理：设 $X, Y$ 是有限集，并设 $f :X \times Y \to \mathbb{R}$ 是函数，那么：

$\begin{aligned} \sum_{x \in X}\left(\sum_{y \in Y} f(x, y)\right) &= \sum_{(x,y) \in X \times Y} f(x, y)\\ &= \sum_{(y, x) \in Y \times X} f(x, y)\\ &= \sum_{y \in Y}\left(\sum_{x \in X} f(x, y)\right) \end{aligned}$

形式无穷级数

形式无穷级数是如下形状的表达式：

$\sum_{n=m}^\infty a_n$

其中 $m$ 是整数，对于任何 $n \geqslant m$ ， $a_n$ 是实数

无穷级数的收敛

设立 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty a_n$ 是一个形式的无穷级数，对千任意的整数 $N \geqslant m$ ，我们定义此级数的 第 $N$ 部分和 $SN$ ：

$S_N := \sum_{n=m}^N a_n$

当然 $S_N$ 是实数如果序列 $(S_N)_{N=m}^{\infty}$ 当 $N \to \infty$ 时收敛到某极限 $L$ ，那么我们说无穷级数 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty a_n$ 是收敛的，并且收敛到 $L$ ；而且我们记

$\displaystyle L = \sum_{n=m}^\infty a_n$

并说 $L$ 是无限级数 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty a_n$ 的和。

如果部分和序列 $(S_N)_{N=m}^{\infty}$ 是发散的，那么我们说无穷级数 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty a_n$ 是发散的；并且不赋予此级数任何实数值。

命题：设 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty a_n$ 是实数的形式级数，那么 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty a_n$ 收敛，当且仅当对于每个实数 $\varepsilon > 0$ ，都存在整数 $N \geqslant m$ 使得

$\left| \sum_{n=p}^{q} a_n \right| \leqslant \varepsilon, 对于一切 p,q \geqslant N$

零判别法

设区 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty a_n$ 是收敛的实数级数那么必有：

$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

换一种方式来说，如果 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$ 不是零，或者 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 发散，那么级数 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty a_n$ 发散。

绝对收敛

设 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty a_n$ 是实数的形式级数，我们说这个级数是 绝对收敛 的，当且仅当 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty |a_n|$ 是收敛的。

为了区分收敛和绝对收敛的情形，我们有时把前者叫作是条件收敛。

绝对收敛判别法

设 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty a_n$ 是实数的形式级数，如果这个级数是绝对收敛的，那么它也是条件收敛的，在这种情形下还有三角形不等式：

$\left| \sum_{n=m}^\infty a_n\right| \leqslant \sum_{n=m}^\infty |a_n|$

莱布尼茨判别法（交错级数判别法）

设 $(an )_{n=m}^\infty$ 是实数序列，对于一切 $n \geqslant m$ ， $a_n \geqslant 0$ 并且 $a_n \geqslant a_{n+1}$ ，那么级数 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty (-1)^n a_n$ 是收敛的，当且仅当序列 $a_n$ 收敛到零。

正项级数的收敛

设 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty a_n$ 是一个正项级数，那么这个级数是收敛的，当且仅当存在实数 $M$ ，使得：

$\sum_{n=m}^\infty a_n \leqslant M，对于一切 N \geqslant m$

比较判别法

设 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty a_n$ 和 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty b_n$ 是两个实数的形式级数，并设对于一切 $n \geqslant m$ ， $|a_n| \leqslant b_n$ ，如果 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty b_n$ 是收敛的，那么 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty a_n$ 绝对收敛，并且：

$\left|\sum_{n=m}^\infty a_n\right| \leqslant \sum_{n=m}^\infty |a_n| \leqslant \sum_{n=m}^\infty b_n$

柯西准则

设 $(an )_{n=1}^\infty$ 是一个非负实数的减序列（于是对于一切 $n \geqslant 1$ ， $a_n \geqslant 0$ 并且 $a_{n+1} \leqslant a_n$ ），那么级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛当且仅当级数

$\sum_{k=0}^\infty 2^k a_{2^k} = a_1 + 2a_2 + 4a_4 + 8a_8 + \cdots$

是收敛的。

级数的重排

设 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ 是绝对收敛的级数，并设 $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 是双射，那么 $\displaystyle \sum_{m=0}^\infty a_{f(m)}$ 也使绝对收敛的，并有同样的和：

$\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{m=0}^\infty a_{f(m)}$

黎曼发现，一个条件收敛而不绝对收敛的级数，事实上，可以经过适当重排而收敛到任何指定的值。

总而言之，当级数绝对收敛时，可随意重排而不改变其和，但当级数不绝对收敛时，重排是相当危险的。

方根判别法

设 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty a_n$ 是实数的级数，并设：

$a := \lim_{n \to \infty} \sup |a_n|^{\frac{1}{n}}$

如果 $a<1$ ，那么级数 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty a_n$ 是绝对收敛的（从而是条件收敛的）
如果 $a>1$ ，那么级数 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty a_n$ 是条件发散的（从而是绝对发散的）
如果 $a=1$ ，那么我们不能给出任何断言

比例判别法

设 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty a_n$ 是元素不为零的级数（非零的假定用以保证下面出现的比例 $\displaystyle\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$ 有意义）

如果 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sup \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} <1$ ，那么级数 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty a_n$ 是绝对收敛的（从而是条件收敛的）
如果 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sup \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} > 1$ ，那么级数 $\displaystyle \sum_{n=m}^\infty a_n$ 是条件发散的（从而不是绝对收的）
在其他情形下，我们不能断定什么。

参考资料

陶哲轩实分析