极限和连续

平均变化率

对于曲线来说，平均变化率就是连接曲线上两点的 割线 的斜率。

函数的极限

一般来说，下面的定义可能更加易于理解。就是函数某一点没有定义，那么自变量取值接近于这一点的时候，应变量取值接近的那个数，称之为函数在该点的极限。

非正式定义： 设 $f(x)$ 除了可能在 $x_0$ 无定义外，在 $x_0$ 的一个开区间上都有定义。如果对充分靠近 $x_0$ 的 $x$，$f(x)$ 能任意靠近 $L$，那么我们就说当 $x$ 趋向于 $x_0$ 时 $f$ 趋向于 极限 $L$ 并记作：
$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = L
$$

上面的定义虽然易于理解，但是有一个致命的缺陷，那就是 充分靠近 并无法精确度量，对于不同的人和不同的事情来说，充分靠近可能有一些歧义，比如对于天体物理学来说 1光年 的距离可能比较近，但是对于量子物理学来说 1纳米 的距离就已经很远了。

正式定义：设 $f(x)$ 定义在不包括 $x_0$ 的开区间上，我们说当 $x$ 趋于 $x_0$ 时的极限为 $L$，并记为
$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = L
$$
如果，对于任何数 $\varepsilon > 0$，存在相应的数 $\delta > 0$，使得对所有满足 $0 < |x - x_0| < \delta$ 的 $x$，有
$$
|f(x) - L| < \varepsilon
$$

注意： $\varepsilon$ 表示值域范围，$\delta$ 表示定义域的范围。这个范围所构成的矩形包围了函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的一小部分。当值域范围不断缩小，定义域范围相应也缩小，无论多小，$x_0$ 处的那一小部分，总在这个矩形之内。而实际上 $\delta$ 往往需要表示成关于 $\varepsilon$ 的函数，即 $\delta = \varphi(\varepsilon)$。

积分学

不定积分和定积分

在有些课本中，由于专用术语选择得不好，把基本定理的要点搞得模糊了。许多作者首先引进导数，然后简单地定义 不定积分 为 导数 的逆运算，即如果：

则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的不定积分。这样，他们的做法是把 微分过程 直接和 积分 这个词结合起来。只是后来才引进作为面积或者和的极限的 定积分 的概念，而且没有强调这时候的 积分 这个词指的是完全不同的东西。这个方法是把理论中的主要事实从后门偷偷输入，因而大大有碍于学生的真正理解。

我们宁愿把满足 $F'(x)=f(x)$ 的 $F(x)$ 叫做 $f(x)$ 的 原函数 而不叫做 不定积分。

我认为这里的偷换概念在教学中是致命的错误。

参考资料

• 托马斯微积分
• 什么是数学