1993年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) 函数 $\displaystyle F(x) = \int_1^x \left(2 - {1 \over \sqrt{t}} \right)dt \, (x > 0)$ 的单调减少区间为 _____

(2) 由曲线 $\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 12 \\ z = 0 \end{cases}$，绕 $y$ 轴旋转一周得到的旋转面在点 $(0, \sqrt{3}, \sqrt{2})$ 处的指向外侧的单位法向量为 _____

(3) 设函数 $f(x) = \pi x + x^2\,(-\pi < x < \pi)$ 的傅里叶级数展开式为 $\displaystyle {a_0\over 2} + \sum_{n = 1}^\infty (a_n \cos nx+b_n\sin nx)$，则其中系数 $b_3$ 的值为 _____

(4) 设数量场 $u=\ln \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$，则 ${\rm div}(\boldsymbol{grad} \ u)=$ _____

(5) 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和均为零，且 $A$ 的秩为 $n-1$，则线性方程组 $Ax=0$ 的通解为 _____

二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) 设 $\displaystyle f(x) = \int_0^{\sin x} \sin(t^2)dt$, $g(x) = x^3 + x^4$，则当 $x \to 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的

• (A) 等价无穷小
• (B) 同价但非等价的无穷小
• (C) 高阶无穷小
• (D) 低价无穷小

(2) 双纽线 $(x^2 + y^2)^2 = x^2-y^2$ 所围成的区域面积可用定积分表示为

• (A) $\displaystyle 2\int_0^{\pi \over 4} \cos 2\theta d\theta$

• (B) $\displaystyle 4\int_0^{\pi \over 4} \cos 2\theta d\theta$

• (C) $\displaystyle 2\int_0^{\pi \over 4} \sqrt{\cos 2\theta} d\theta$

• (D) $\displaystyle {1 \over 2}\int_0^{\pi \over 4} (\cos 2\theta)^2 d\theta$

(3) 设有直线 $\displaystyle l_1:{x - 1\over 1} = {y - 5 \over -2} = {z + 8 \over 1}$ 与 $l_2:\begin{cases} x - y = 6 \\ 2y + z = 3 \end{cases}$，则 $l_1$ 与 $l_2$ 的夹角为

• (A) $\displaystyle {\pi \over 6}$

• (B) $\displaystyle {\pi \over 4}$

• (C) $\displaystyle {\pi \over 3}$

• (D) $\displaystyle {\pi \over 2}$

(4) 设曲线积分 $\displaystyle \int_L [f(t)-e^x]\sin ydx - f(x)\cos ydy$ 与路径无关，其中 $f(x)$ 具有一阶连续导数，且 $f(0) = 0$，则 $f(x)$ 等于

• (A) $\displaystyle {e^{-x} - e^{x} \over 2}$

• (B) $\displaystyle {e^x - e^{-x} \over 2}$

• (C) $\displaystyle {e^x + e^{-x} \over 2} - 1$

• (D) $\displaystyle 1 - {e^x + e^{-x} \over 2}$

(5)已知 $\displaystyle Q = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$，$P$ 为三阶非零矩阵，且满足 $PQ=O$，则

• (A) $t = 6$ 时 $P$ 的秩必为 $1$
• (B) $t = 6$ 时 $P$ 的秩必为 $2$
• (C) $t \neq 6$ 时 $P$ 的秩必为 $1$
• (D) $t \neq 6$ 时 $P$ 的秩必为 $2$

三、（本题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分）

(1) 求 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left(\sin {2 \over x} + \cos{1 \over x}\right)^x$

(2) 求 $\displaystyle\int {xe^x \over \sqrt{e^x - 1}}dx$

(3) 求微分方程 $x^2y'+xy=y^2$，满足初始条件 $y\big|_{x=1}=1$ 的特解

四、（本题满分 6 分）

计算 $\displaystyle \iint\limits_\Sigma 2xzdydz + yzdzdx - z^2 dxdy$，其中 $\Sigma$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^2 + y^2}$ 与 $z=\sqrt{2 - x^2 - y^2}$ 所围立体的表面外侧

五、（本题满分 7 分）

求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n(n^2 - n + 1) \over 2^n}$ 的和

六、（本题共 2 小题，每小题 5 分，满分 10 分）

(1) 设在 $[0, +\infty)$ 上函数 $f(x)$ 有连续导数，且 $f'(x) \geqslant k > 0$,$f(0)<0$，证明 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有且仅有一个零点

(2) 设 $b > a > e$, 证明 $a^b > b^a$

七、（本题满分 8 分）

已知二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2 + 3x_2^2 + 3x_3^2 + 2ax_2x_3 (a > 0)$ 通过正交变换化成标准形 $f = y_1^2 + 2y_2^2 + 5y_3^2$，求参数 $a$ 及所用的正交变换矩阵

八、（本题满分 6 分）

设 $A$ 是 $n \times m$ 矩阵，$B$ 是 $m \times n$ 矩阵，其中 $n<m$，$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，若 $AB=E$，证明 $B$ 的列向量组线性无关

九、（本题满分 6 分）

设物体 $A$ 从点 $(0,1)$ 出发，以速度大小为常数 $v$ 沿 $y$ 轴正向运动，物体 $B$ 从点 $(-1,0)$ 与 $A$ 同时出发，其速度大小为 $2v$，方向始终指向 $A$，试建立物体 $B$ 的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件

十、填空题（本题共 2 小题，每小题 3 分，满分 6 分）

(1) 一批产品共有 $10$ 个正品和 $2$ 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 _____

(2) 设随机变量 $X$ 服从 $(0,2)$ 上的均匀分布，则随机变量 $Y=X^2$ 在$(0,4)$ 内的概率密度 $f_Y(y)=$ _____

十一、（本题满分 6 分）

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x)= {1 \over 2}e^{-|x|}, -\infty < x < +\infty$

• (1) 求 $X$ 的数学期望 $EX$ 和方差 $DX$
• (2) 求 $X$ 与 $|X|$ 的协方差，并问 $X$ 与 $|X|$ 是否相关？
• (3) 问 $X$ 与 $|X|$ 是否相互独立？为什么？