抽象代数基础

CreateTime 2021-10-23
UpdateTime 2021-10-24

代数的一些哲学

代数不外是符号的几何,而几何不外是图形的代数。—— 索菲·格尔曼
[1]

数学对象的自然属性实质上是不太重要的第二位的事情,例如我们得到的结果既可以用纯几何定理的形式表述,也可以借助解析几何以代数定理的形式出现。—— 尼 · 布尔巴基 [1]

重要的不是数学对象,而是它们之间的关系。

几个典型问题

方程的根式解问题

求二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的解 x_1, x_2 的公式:

x_{1,2} = {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} \over 2a}

三次方程 x^3 + ax^2 + bx + c = 0 中,用 x - {a \over 3} 替换 x,得到形如 x^3 + px + q = 0 的方程,方程的三个根 x_1, x_2, x_3 可由它的系数表示成下述形式:

\begin{aligned} D =& -4p^3 - 27q^3 \\ \varepsilon =& { -1 + \sqrt{-3} \over 2} \\ u =& \sqrt[3]{-{27 \over 2} q + {3 \over 2} \sqrt{-3 D}} \\ v =& \sqrt[3]{-{27 \over 2} q - {3 \over 2} \sqrt{-3 D}} \\ \end{aligned}

立方根满足 uv = -3p,可以证明:

\begin{aligned} x_1 =& {1 \over 3} (u + v) \\ x_2 =& {1 \over 3} (\varepsilon^2 u + \varepsilon v) \\ x_3 =& {1 \over 3} (\varepsilon u + \varepsilon^2 v) \\ \end{aligned}

上面这个公式叫 卡尔达诺公式


1827 年阿贝尔证明了 n 次一般方程

x^n + a_1x^{n - 1} + \cdots + a_n = 0

n > 4 时没有根式解。


多原子分子的状态问题

通信编码间题

平板受热问题

置换

\Omegan 元有限集,设 \Omega = \{1, 2, \cdots, n\},由 \Omega \to \Omega 的全体一一变换组成的集合记作 S_n = S(\Omega),称为 置换

这里设 \Omega = \{1, 2, \cdots, n\},是由于元素的性质对我们来说是非本质的,也就是无关紧要,通常置换用希腊字母表示,仅仅对恒等映射 e = e_\Omega 保留拉丁字母。

整数的算术

算术基本定理:每一个正整数 n \neq 1 都可以分解成素数的乘积 n = p_1 p_2 \cdots p_s,这一写法除因子的次序外是唯一的。


集合 X 连同其上给定的满足结合律的二元运算称为一个半群,带有单位元的半群通常称为幺半群。


定义:所有元素都可逆的幺半群叫做 ,必须满足如下公理:

  • 在集合 G 上定义了一个二元运算 (x, y) \mapsto xy
  • 满足结合律:任意 x,y,z \in G, (xy)z = x(yz)
  • G 有单位元 e:任意 x \in Gxe = ex = x
  • 任意 x \in G,存在逆元 x^{-1},使得 xx^{-1} = x^{-1}x = e

带有交换二元运算的群叫做交换群,也叫 阿贝尔群

一些待解释的关键字

  • 循环群
  • 同构
  • 同态

定义:设 R 是一个非空集合,R 上有两种运算 + 加法,和 \cdot 乘法,满足下述条件:

  • (R, +) 是阿贝尔群;
  • (R, \cdot) 是半群;
    加法和乘法运算以分配律相联系,即:
\begin{aligned} (a + b)c = ac + bc \\ c(a + b) = ca + cb \end{aligned}

对任意 a, b, c \in R 成立;
则称 (R, +, \cdot) 是一个


如果任意 x,y \in R,有 xy = yx 则称环 R 是交换的;

定义:设 P 是一个有单位元 1 \neq 0 的交换环,如果 P 的每一个非零元素都可以逆,则称 P 是一个 ;群 P^* = U(P) 叫做域的乘法群。

域自身是两个阿贝尔群,加法群和乘法群的混合物,它们用分配律联系在一起。

参考

  1. [俄] 柯斯特利金 - 《代数学引论》