2011考研数学一真题

CreateTime 2021-03-08
UpdateTime 2021-12-27

2011年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)


(1) 曲线 y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4 的拐点是

  • (A) (1,0)
  • (B) (2,0)
  • (C) (3,0)
  • (D) (4,0)

(2) 设数列 \{a_n\} 单调减少,\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n = 0\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_k (n = 1,2, \cdots) 无界,则幂级数 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n(x - 1)^n 的收敛域为

  • (A) (-1,1]
  • (B) [-1,1)
  • (C) [0,2)
  • (D) (0,2]

(3) 设函数 f(x) 具有二阶连续导数,且 f(x) > 0,f'(0) = 0,则函数 z = f(x)\ln f(y) 在点 (0,0) 处取得极小值的一个充分条件是

  • (A) f(0) > 1, f''(0) > 0
  • (C) f(0) > 1, f''(0) < 0
  • (B) f(0) < 1, f''(0) > 0
  • (D) f(0) < 1, f''(0) < 0

(4) 设 \displaystyle I= \int_0^{\pi \over 4} \ln(\sin x) dx\displaystyle J =\int_0^{\pi \over 4} \ln(\cot x) dx\displaystyle K =\int_0^{\pi \over 4} \ln(\cos x) dx,则 I,J,K 的大小关系为

  • (A) I < J < K
  • (B) I < K < J
  • (C) J < I < K
  • (D) K < J < I

(5) 设 A3 阶矩阵,将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B,再交换 B 的第 2 行与第 3 行得单位矩,记 \displaystyle P_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\displaystyle P_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix},则 A=

  • (A) P_1 P_2
  • (B) P_1^{-1} P_2
  • (C) P_2 P_1
  • (D) P_2 P_1^{-1}

(6) 设 A= (\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4)4 阶矩阵,A^*A 的伴随矩阵;若 (1,0,1,0)^T 是方程组 Ax = 0 的一个基础解系,则 A^* = 0 的基础解系可为

  • (A) \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_3
  • (B) \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2
  • (C) \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3
  • (D) \boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4

(7) 设 F_1(x)F_2(x) 为两个分布函数,其相应的概率密度 f_1(x)f_2(x) 是连续函数,则必为概率密度的是

  • (A) f_1(x)f_2(x)
  • (B) 2f_2(x)F_1(x)
  • (C) f_1(x)F_2(x)
  • (D) f_1(x)F_2(x) + f_2(x)F_1(x)

(8) 设随机变量 XY 相互独立,且 E(X)E(Y) 存在,记 U = \max \{X, Y\}V = \min \{X, Y\},则 E(UV) =

  • (A) E (U) \cdot E (V)
  • (B) E (X) \cdot E (Y)
  • (C) E (U) \cdot E (Y)
  • (D) E (X) \cdot E (V)

二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)


(9) 曲线 \displaystyle y= \int_0^x \tan tdt \displaystyle (0 \leqslant x \leqslant {\pi \over 4} ) 的弧长 s= _____


(10) 微分方程 y'+ y = e^{-x} \cos x 满足条件 y(0) =0 的解为 y= _____


(11) 设函数 \displaystyle F(x,y) = \int_0^{xy} {\sin t\over 1 + t^2} dt,则 \displaystyle {\partial^2 F \over \partial x^2}\bigg|_{\scriptsize \begin{aligned}x = 0 \\y = 2\end{aligned}}= _____


(12) 设 L 是柱面 x^2 + y^2 = 1 与平面 z =x + y 的交线,从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分 \displaystyle \oint_L xz dx + xdy + {y^2 \over 2}dz = _____


(13) 若二次曲面的方程 x^2 + 3y^2 + z^2 + 2axy + 2xz + 2yz = 4 经正交变换化为 y_1^2 + 4z_1^2 = 4,则 a= _____


(14) 设二维随机变量 (X,Y) 服从正态分布 N(\mu,\mu; \sigma^2, \sigma^2; 0),则 E(XY^2)= _____


三、解答题(本题共 9 小题,共 94 分)


(15) (本题满分 10 分)

求极限 \displaystyle \lim_{x\to 0} \left[{\ln(1 + x) \over x}\right]^{1 \over e^x - 1}


(16) (本题满分 10 分)

设函数 z = f(xy, yg(x)),其中函数 f 具有二阶连续偏导数,函数 g(x) 可导,且在 x=1 处取得极值 g(1) = 1,求 \displaystyle {\partial^2 z \over \partial x \partial y}\bigg|_{\scriptsize \begin{aligned}x = 1 \\y = 1\end{aligned}}


(17) (本题满分 10 分)

求方程 k \arctan x -x =0 不同实根的个数,其中 k 为参数


(18) (本题满分 10 分)

  • (1) 证明:对任意的正整数 n,都有 \displaystyle {1 \over n + 1} < \ln\left(1 + {1 \over n}\right) < {1 \over n} 成立

  • (2) 设 \displaystyle a_n=1 + {1 \over 2} + \cdots + {1 \over n} - \ln n (n=1,2,\cdots),证明数列 \{a_n\} 收敛


(19) (本题满分 10 分)

已知函数 f(x,y) 具有二阶连续偏导数,且 f(1, y) = 0f(x, 1) = 0\displaystyle \iint_D f(x, y) dxdy = a,其中 D=\{(x, y) | 0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1\},计算二重积分

I= \iint\limits_D xyf_{xy}''(x,y) dxdy

(20) (本题满分 11 分)

设向量组 \boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,1)^T\boldsymbol{\alpha}_2=(0, 1, 1)^T\boldsymbol{\alpha}_3=(1,3,5)^T 不能由向量组 \boldsymbol{\beta}_1=(1,1,1)^T\boldsymbol{\beta}_2=(1, 2, 3)^T\boldsymbol{\beta}_3=(3,4,a)^T 线性表示

  • (1) 求 a 的值
  • (2) 将 \boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3 线性表示

(21) (本题满分 11 分)

A3 阶实对称矩阵,A 的秩为 2,且

A\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}
  • (1) 求 A 的所有特征值与特征向量
  • (2) 求矩阵 A

(22) (本题满分 11 分)

设随机变量 XY 的概率分布分别为

X 0 1
P \displaystyle {1 \over 3} \displaystyle {2 \over 3}
Y -1 0 1
P \displaystyle {1 \over 3} \displaystyle {1 \over 3} \displaystyle {1 \over 3}

P\{X^2 = Y^2 \} = 1

  • (2) 求二维随机变量 (X,Y) 的概率分布
  • (2) 求 Z=XY 的概率分布
  • (3) 求 XY 的相关系数 \rho_{XY}

(23) (本题满分 11 分)

X_1,X_2,\cdots, X_n,为来自正态总体 N(\mu_0, \sigma^2) 的简单随机样本,其中 \mu_0 已知,\sigma^2 > 0 未知,\overline{X}S_2 分别表示样本均值和样本方差

  • (1)求参数 \sigma^2 的最大似然估计 \hat{\sigma^2}
  • (2) 计算 E(\hat{\sigma^2})D(\hat{\sigma^2})