数学分析：整数和有理数
整数
一个整数是一个形如 a — b 的表达式，其中 a 和 b 是自然数，两个整数看作是相等的，a — b = c — d，当且仅当，a+d=c+b，用 \mathbb{Z} 表示全体整数的集合
整数的加法
两个整数的和 (a—b) + (c—d) 由下式定义：
整数的乘法
两个整数的积 (a—b) \times (c—d) 由下式定义：
由下式定义：
在自然数 n 与形如 n—0的整数之间存在一个 同构
整数的负运算
如果 (a—b) 是一个整数，我们定义它的负数为整数 (b—a)，记作 -(a—b)；
特别地，如果 n=n—0 是正的自然数，那么它的负数 -n=0—n
整数的三歧性
设 x 是一个整数那么下述三个命题，恰有一个成立：
- x 是零；
- x 等于一个正自然数 n；
- x 是一个正自然数的负数 -n
如果 n 是一个正自然数，我们就称 -n 为 负整数，于是每个整数是 正的 或是 零 或是 负的，但不可同时多于一种可能
整数的减法
整数 x 减去 y 的定义为：
现在可以容易地验证，如果 a 和 b 是自然数，那么 a - b =a+ (-b) = a — 0＋ (0—b) = a — b，于是a—b 恰与 a-b 是同物；因此，我们现在可以抛弃记号 —，而以熟悉的差运算符号取代之
整数的顺序
设 n 和 m 是整数，我们说 n 大于或等于 m，记作 n \geqslant m 或 m \leqslant n，当且仅当对于某自然数 a，n=m+a；我们说 n 严格大于 m，记作 n>m 或 m<n，当且仅当 n\geqslant m 且 n \neq m
有理数
一个 有理数 是一个形如 a//b 的表达式，其中 a 和 b 是整数，且 b 不为零；
a//0 不被认为是有理数；
两个有理数 a//b 和 c//d 看作是相等的，a//b=c//d，当且仅当 ad= bc；
全体有理数的集合记作 \mathbb{Q}
有理数基础运算
如果 a//b 和 c//d 是 有理数，定义它们的和：
它们的乘积：
以及负运算：
有理数倒数
如果 x = a//b 是不为零的有理数，那么我们定义 x 的倒数出 x^{-1} 是有理数：
有理数的除法
设 x 和 y \neq 0 是有理数，我们定义 x 和 y 的 商 为：
容易看到对于每个整数 a 和每个非零整数 b，a/b= a//b，于是我们现在可以抛弃符号 // ，而用更常用的 a/b 取代 a//b
正负有理数
一个有理数 x 叫作是 正的，当且仅当对于某两个正整数 a 和 b，我们有 X = \frac{a}{b}；
它叫作是 负的，当且仅当对于某个正的有理数 y，我们有 x= -y（即对于某两个正整数 a 和 b，x＝\frac{-a}{b}）
有理数的三歧性
设 x 是有理数，那么下面三个命题中恰有一个成立：
- x = 0
- x > 0
- x < 0
有理数的顺序
设 x 和 y 是有理数，我们说 x>y，当且仅当 x-y 是一个正的有理数；说 x<y，当且仅当 x-y 是一个负的有理数；我们写 x \geqslant y，当且仅当 x>y 或 x=y，并类似地定义 x \leqslant y
绝对值
如果 x 是有理数，x 的绝对值 |x| 如下定义：如果 x 是正的，那么 |x| = x；如果 x 是负的那么 |x| = -x；如果 x=0，那么 |x| = 0
距离
设 x 和 y 是有理数，量 |x - y| 叫作 x 和 y 之间的距离，有时记作 d(x,y)，那么 d(x,y) :=|x-y|
在分析学中的一个历史悠久的传统是，在任何场合，希腊字 \varepsilon, \delta 只应代表小的正数
自然数次幂的指数运算
设 x 是有理数，为把 x 升到 0 次幂，我们定义 x^0=1，现在归纳地假定 x^n 已对于某自然数 n 定义好，那么我们定义 x^{n+1} = x^n \times x
负整数次幕的指数运算
设 x 是一个非零的有理数，那么对于任何负整数 -n，我们定义 x^{-n} := \frac{1}{x^n}