2012年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）

(1) 曲线 $\displaystyle y = {x^2 + x \over x^2 - 1}$ 的渐近线的条数为

• (A) $0$
• (B) $1$
• (C) $2$
• (D) $3$

(2) 设函数 $f(x) = (e^x - 1) (e^{2x} - 2) \cdots(e^{nx} - n)$，其中 $n$ 为正整数，则 $f'(0)=$

• (A) $(-1)^{n-1}(n-1)!$
• (B) $(-1)^n(n-1)!$
• (C) $(-1)^{n-1}n!$
• (D) $(-1)^{n}n!$

(3) 如果函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是

• (A) 若极限 $\displaystyle \lim_{\scriptsize \begin{aligned} x\to 0 \\ y\to 0 \end{aligned}} {f(x, y) \over | x | + | y |}$ 存在，则 $f(x, y)$在点 $(0,0)$ 处可微

• (B) 若极限 $\displaystyle \lim_{\scriptsize \begin{aligned} x\to 0 \\ y\to 0 \end{aligned}} {f(x, y) \over x^2 + y^2}$ 存在，则 $f(x, y)$在点 $(0,0)$ 处可微

• (C) 若 $f(x, y)$在点 $(0,0)$ 处可微，则极限 $\displaystyle \lim_{\scriptsize \begin{aligned} x\to 0 \\ y\to 0 \end{aligned}} {f(x, y) \over | x | + | y |}$ 存在

• (D) 若 $f(x, y)$在点 $(0,0)$ 处可微，则极限 $\displaystyle \lim_{\scriptsize \begin{aligned} x\to 0 \\ y\to 0 \end{aligned}} {f(x, y) \over x^2 + y^2}$ 存在

(4) 设 $\displaystyle I_k = \int_0^{k\pi} e^{x^2}\sin x dx$，则有

• (A) $I_1 < I_2 < I_3$
• (B) $I_3 < I_2 < I_1$
• (C) $I_2 < I_3 < I_1$
• (D) $I_2 < I_1 < I_3$

(5) 设 $\displaystyle \boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ c_1 \end{bmatrix}$，$\displaystyle \boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ c_2 \end{bmatrix}$，$\displaystyle \boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ c_3 \end{bmatrix}$，$\displaystyle \boldsymbol{\alpha}_4 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ c_4 \end{bmatrix}$，其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的为

• (A) $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$
• (B) $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_4$
• (C) $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$
• (D) $\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$

(6) 设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，$P$ 为 $3$ 阶可逆矩阵，且 $\displaystyle P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$，若 $P = (\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)$，$Q = (\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)$，则 $Q^{-1}AQ =$

• (A) $\displaystyle\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

• (B) $\displaystyle\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

• (C) $\displaystyle\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

• (D) $\displaystyle\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

(7) 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且分别服从参数为 $1$ 与参数为 $4$ 的指数分布，则 $P\{X < Y\}=$

• (A) $\displaystyle {1 \over 5}$

• (B) $\displaystyle {1 \over 3}$

• (C) $\displaystyle {2 \over 3}$

• (D) $\displaystyle {4 \over 5}$

(8) 将长度为 $1m$ 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为

• (A) $1$

• (B) $\displaystyle {1 \over 2}$

• (C) $\displaystyle -{1 \over 2}$

• (D) $-1$

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

(9) 若函数 $f(x)$ 满足方程 $f''(x) +f'(x) - 2f(x) =0$ 及 $f''(x) + f(x) = 2e^x$，则 $f(x)=$ _____

(10) $\displaystyle \int_0^2 x \sqrt{2x - x^2}dx=$ _____

(11) $\displaystyle {\rm grad} \left(xy + {z \over y}\right)\bigg|_{(2,1,1)}=$ _____

(12) 设 $\Sigma = \{(x, y, z) | x + y + z = 1, x\geqslant 0, y\geqslant 0, z\geqslant 0\}$，则 $\displaystyle \iint\limits_\Sigma y^2dS=$ _____

(13) 设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $3$ 维单位列向量，$E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，则矩阵 $E - \boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^T$ 的秩为 _____

(14) 设 $A,B,C$ 是随机事件，$A$ 与 $C$ 互不相容，$\displaystyle P(AB) = {1 \over 2}$，$\displaystyle P(C) = {1 \over 3}$，则 $P(AB|\overline{C})=$ _____

三、解答题（本题共 9 小题，共 94 分）

(15) （本题满分 10 分）

证明： $\displaystyle x\ln{1 + x \over 1 - x} + \cos x \geqslant 1 + {x^2 \over 2}\,(-1 < x < 1)$

(16) （本题满分 10 分）

求函数 $f(x,y) =xe^{-{x^2 + y^2 \over 2}}$ 的极值

(17) （本题满分 10 分）

求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty {4n^2 + 4n + 3 \over 2n + 1} x^{2n}$ 的收敛域及和函数

(18) （本题满分 10 分）

已知曲线 $L:\begin{cases} x = f(t), \\ y = \cos t \end{cases}$ $(\displaystyle 0 \leqslant t < {\pi \over 2})$，其中函数 $f(t)$ 具有连续导数，且 $f(0) =0$，$f'(t) >0 \, \displaystyle(0 <t < {\pi \over 2})$，若曲线 $L$ 的切线与 $x$ 轴的交点到切点的距离恒为 $1$，求函数 $f(t)$ 的表达式，并求以曲线 $L$ 及 $x$ 轴和 $y$ 轴为边界的区域的面积

(19) （本题满分 10 分）

已知 $L$ 是第一象限中从点 $(0,0)$ 沿圆周 $x^2 + y^2 =2x$ 到点 $(2,0)$，再沿圆周 $x^2 + y^2 = 4$ 到点 $(0,2)$ 的曲线段，计算曲线积分

(20) （本题满分 11 分）

设 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，$\displaystyle \beta = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

• (1) 计算行列式 $|A|$
• (2) 当实数 $a$ 为何值时，方程组 $Ax = \beta$ 有无穷多解，并求其通解

(21) （本题满分 11 分）

已知 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1 \end{bmatrix}$ 二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = x^T(A^TA)x$ 的秩为 $2$

• (1) 求实数 $a$ 的值；
• (2) 求正交变换 $x =Qy$ 将二次型 $f$ 化为标准形

(22) （本题满分 11 分）

设二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的概率分布为

• (1) 求 $P\{X=2Y\}$
• (2) 求 ${\rm Cov}(X - Y, Y)$

(23) （本题满分 11 分）

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立且分别服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 与 $N(\mu, 2\sigma^2)$，其中 $\sigma$ 是未知参数，且 $\sigma > 0$ 记 $Z =X - Y$

• (1) 求 $Z$ 的概率密度 $f(z;\sigma^2)$
• (2) 设 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 为来自总体 $Z$ 的简单随机样本，求 $\sigma^2$ 的最大似然估计量 $\hat{\sigma}^2$
• (3) 证明 $\hat{\sigma}^2$ 为 $\sigma^2$ 的无偏估计量