线性代数常用概念和公式
行列式
上（下）三角行列式
\begin{vmatrix}
a_{11} & 0 & \cdots & 0\\
0 & a_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\
\end{vmatrix} = \prod_{i=1}^{n}a_{ii}
副对角线行列式
\begin{vmatrix}
0 & \cdots & 0 & a_{1,n}\\
0 & \cdots & a_{2,n-1} & 0\\
\vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & 0 & 0\\
\end{vmatrix} \\
= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2, n-1}\dots a_{n1}
特殊拉普拉斯展开式
\begin{aligned}
& \begin{vmatrix}
A_{m\times m} & O \\
O & B_{n \times n} \\
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
A & C \\
O & B \\
\end{vmatrix} \\
=& \begin{vmatrix}
A & O \\
C & B \\
\end{vmatrix} = |A| |B|
\end{aligned}
\begin{aligned}
& \begin{vmatrix}
O & A_{m\times m}\\
B_{n \times n} & O \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
C & A \\
B & O \\
\end{vmatrix} \\
=& \begin{vmatrix}
O & A \\
B & C \\
\end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A| |B|
\end{aligned}
范德蒙德行列式
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\
x_1^{2} & x_2^{2} & \cdots & x_n^{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \\
\end{vmatrix} \\
\ \\
= \prod_{1\leqslant i < j \leqslant n}(x_j - x_i)
行和列和相等的行列式
\begin{vmatrix}
a & b & b & \cdots & b \\
b & a & b & \cdots & b \\
b & b & a & \cdots & b \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
b & b & b & \cdots & a \\
\end{vmatrix}_{n\times n} \\
= [a + (n - 1)b](a - b)^{n-1}
分块矩阵的行列式
\begin{vmatrix}
A & B \\
0 & D \\
\end{vmatrix} = | A || D |
\begin{aligned}
&\begin{vmatrix}
A & B \\
C & D \\
\end{vmatrix} \\
\xlongequal{\mathbf{exist} A^{-1}}& | A || A - CA^{-1}B | \\
\xlongequal{\mathbf{exist} D^{-1}}& | D || A - BD^{-1}C | \\
\end{aligned}
矩阵
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
k(A + B) = kA + kB \\
(k + l)A = kA + lA
|kA| = k^n|A|
(AB)C = A(BC)
A(B + C) = AB + AC \\
(A + B)C = AC + BC
(kA)B = A(kB) = k(AB)
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix}
A_1 & A_2 \\
A_3 & A_4 \\
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
B_1 & B_2 \\
B_3 & B_4 \\
\end{bmatrix} \\
=& \begin{bmatrix}
A_1 + B_1 & A_2 + B_2 \\
A_3 + B_3 & A_4 + B_4 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
k\begin{bmatrix}
A & B \\
C & D \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
kA & kB \\
kC & kD \\
\end{bmatrix}
\begin{aligned}
&\begin{bmatrix}
A & B \\
C & D \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
X & Y \\
Z & W \\
\end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix}
AX + BZ & AY + BW \\
CX + DZ & CY + DW \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\begin{bmatrix}
A & O \\
O & B \\
\end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix}
A^n & O \\
O & B^n \\
\end{bmatrix}
A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*
(A^{-1})^{-1} = A
(kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1} \ (k \neq 0)
(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
(AB)^{T} = B^{T}A^{T}
(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T
AA^* = A^*A = |A|E
\begin{aligned}
|A^*| &= |A|^{n-1} \\
A^* &= |A|A^{-1} \\
A &= |A|(A^*)^{-1} \\
(A^T)^* &= (A^*)^T \\
(A^{-1})^* &= (A^*)^{-1} \\
(AB)^* &= B^*A^* \\
(A^*)^* &= |A|^{n-2}A \\
(kA)^* &= k^{n-1}A \\
\end{aligned}
\begin{aligned}
& A^{-1} + B^{-1} \\
=& A^{-1}(E + AB^{-1}) \\
=& A^{-1}(B + A) B^{-1}
\end{aligned}
特征值和特征向量
| 矩阵 | A | kA | A^k | f(A) | A^{-1} | A^* | P^{-1}AP |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 特征值 | \lambda | k\lambda | \lambda^k | f(\lambda) | \frac{1}{\lambda} | \frac{\det(A)}{\lambda} | \lambda |
| 特征向量 | \xi | \xi | \xi | \xi | \xi | \xi | P^{-1}\xi |
施密特正交化
\begin{aligned}
\beta_1 &= \alpha_1 \\
\beta_2 &= \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 \\
\beta_3 &= \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)}\beta_2 \\
\end{aligned}
二次型
合同矩阵：当且仅当存在一个逆矩阵 C 使得 C^TAC=B，则矩阵 A 合同于矩阵 C，记作 A \simeq B；
合同关系 是一个等价关系，具有：
- 自反性
- 对称性
- 传递性
- 合同矩阵的秩相同
矩阵 A，B 合同等价于 A，B 具有相同的正、负惯性指数，即正、负特征值的个数相等；
正定矩阵：若对任意非零向量 x 有 x^TAx > 0 恒成立，则矩阵 A 是一个正定矩阵；
正定矩阵的性质：
- 行列式恒为正
- 必须是对称矩阵
- 主对角线元素必须为正
- 必须是可逆矩阵
- 与单位矩阵合同
- 逆矩阵也是正定矩阵
- 两个正定矩阵的和也是正定矩阵
- 正数与正定矩阵的乘积也是正定矩阵
- 顺序主子式正定
半正定矩阵：若对任意非零向量 x 有 x^TAx \geqslant 0 恒成立，则矩阵 A 是一个半正定矩阵；
二次型 规范型 的系数 \lambda \in \{-1, 0, 1\}
一些重要结论
若 n 阶方阵 A 的各行元素之和均为 k，则 A 有特征值 k，以及对应的特征向量 \xi = [1, 1, \cdots, 1]^T
若矩阵 n 阶 A 可相似对角化，且有特征值 \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n，则 A^* 的特征值为：
\lambda_{A^*i} = \prod_{i\neq j} \lambda_j
证明：
引理： 若 P 可逆，则 (P^{-1}AP)^* = P^{-1}A^*P
证：由于 P 可逆 于是 P^* = |P|P^{-1}，又由于 (MN)^* = N^*M^*，则：
\begin{aligned}
(P^{-1}AP)^* =& P^*A^*(P^{-1})^* \\
=& (|P|P^{-1})A^*(|P^{-1}|P) \\
=& P^{-1}A^*P \\
\end{aligned}
由于 A 可以相似对角化，故存在可逆矩阵 P 使得 P^{-1}AP = \Lambda；于是有：
\begin{aligned}
A =& P\Lambda P^{-1} \\
A^* =& P\Lambda^* P^{-1}
\end{aligned}
又由于 \Lambda^* 的特征值为 \displaystyle \lambda_{\Lambda^*i} = \prod_{i\neq j} \lambda_j （不难证明此结论）
且 A^* 与 \Lambda^* 具有相同的特征值。
故，\displaystyle \lambda_{A^*i} = \prod_{i\neq j} \lambda_j，证毕。
矩阵和伴随矩阵秩的关系
r(A^*) =
\begin{cases}
n &r(A) = n\\
1 &r(A) = n-1\\
0 &r(A) \leqslant n-2
\end{cases}