1992年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) 设函数 $y= y(x)$ 由方程 $e^{x+y}+ \cos(xy) = 0$ 确定，则 $\displaystyle {dy \over dx}=$ _____

(2) 函数 $u = \ln(x^2 + y^2 + z^2)$ 在点 $M(1,2,-2)$ 处的梯度 ${\rm grad} \, u \big|_M=$ _____

(3) 设 $f(x)= \begin{cases} -1, & -\pi < x \leqslant 0 \\ 1 + x^2, & 0 < x \leqslant \pi \end{cases}$，则其以 $2\pi$ 为周期的傅里叶级数在点 $x=\pi$ 处收敛于 _____

(4) 微分方程 $y'+ y \tan x = \cos x$ 的通解为 $y=$ _____

(5) 设 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} a_1b_1 & a_1b_2 & \cdots & a_1b_n \\ a_2b_1 & a_2b_2 & \cdots & a_2b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_nb_1 & a_nb_2 & \cdots & a_nb_n \end{bmatrix}$，其中 $a_i \neq 0$, $b_i \neq 0$, $(i = 1, 2, \cdots, n)$，则矩阵 $A$ 的秩 $r(A) =$ _____

二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) 当 $x \to 1$ 时，函数 $\displaystyle {x^2 - 1 \over x - 1}e^{1 \over x - 1}$ 的极限

• (A) 等于 $2$
• (B) 等于 $0$
• (C) 为 $\infty$
• (D) 不存在但不为 $\infty$

(2) 级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}\left(1- \cos {a \over n}\right)$ (常数 $a>0$)

• (A) 发散
• (B) 条件收敛
• (C) 绝对收敛
• (D) 收敛性与 $a$ 有关

(3) 在曲线 $x = t$, $y = -t^2$, $z = t^3$ 的所有切线中，与平面 $x+2y+z=4$ 平行的切线

• (A) 只有 $1$ 条
• (B) 只有 $2$ 条
• (C) 至少有 $3$ 条
• (D) 不存在

(4) 设 $f(x) = 3x^3 + x^2|x|$，则使 $f^{(n)}(0)$ 存在的最高阶数 $n$ 为

• (A) $0$
• (B) $1$
• (C) $2$
• (D) $3$

(5) 要使 $\xi_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\xi_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ 都是线性方程组 $Ax=0$ 的解，只要系数矩阵 $A$ 为

• (A) $\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

• (B) $\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$

• (C) $\begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1\end{bmatrix}$

• (D) $\begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 4 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

三、（本题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分）

(1) 求 $\displaystyle \lim_{x\to 0} {e^x - \sin x - 1 \over 1 - \sqrt{1 - x^2}}$

(2) 设 $z = f(e^x \sin y,x^2 + y^2)$，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle {\partial^2 z \over \partial x \partial y}$

(3) 设 $\displaystyle f(x) = \begin{cases} 1 + x^2, & x \leqslant 0 \\ e^{-x}, & x \geqslant 0\end{cases}$，求 $\displaystyle \int_1^3 f(x - 2) dx$

四、（本题满分 6 分）

求微分方程 $y''+2y'- 3y = e^{-3x}$ 的通解

五、（本题满分 8 分）

计算曲面积分 $\displaystyle \iint\limits_\Sigma (x^3 + az^2)dydz + (y^3 + ax^2)dzdx + (z^3 + ay^2)dxdy$, 其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ 的上侧

六、（本题满分 7 分）

设 $f''(x) < 0$, $f (0) = 0$，证明对任何 $x_1 > 0$, $x_2 > 0$，有 $f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)$

七、（本题满分 8 分）

在变力 $\boldsymbol{F} =yz\boldsymbol{i} + zx\boldsymbol{j} + xy\boldsymbol{k}$ 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 $\displaystyle {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1$ 上第一卦限的点 $M(\xi, \eta, \zeta)$，问当 $\xi, \eta, \zeta$ 取何值时，力 $\boldsymbol{F}$ 所做的功 $W$ 最大？并求出 $W$ 的最大值

八、（本题满分 7 分）

设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关，问：

• (1) $\boldsymbol{\alpha}_1$ 能否由 $\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表出？证明你的结论
• (2) $\boldsymbol{\alpha}_4$ 能否 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表出？证明你的结论

九、（本题满分 7 分）

设 $3$ 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 2$，$\lambda_3=3$，对应的特征向是依次为

$\displaystyle \xi_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\displaystyle \xi_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\displaystyle \xi_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 9 \end{bmatrix}$，又向量 $\displaystyle \beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

• (1) 将 $\beta$ 用 $\xi_1, \xi_2,\xi_3$ 线性表出
• (2) 求 $A^n \beta$ ($n$ 为自然数)

十、填空题（本题共 2 小题，每小题 3 分，满分 6 分）

(1) 已知 $\displaystyle P(A) = P(B) = P(C) ={1 \over 4}$, $P(AB) = 0$, $\displaystyle P(AC) = P(BC) = {1 \over 12}$，则事件 $A, B, C$ 全不发生的概率为 _____

(2) 设随机变量 $X$ 服从参数为 $1$ 的指数分布，则数学期望 $E\{X +e^{-2X}\}=$ _____

十一、（本题满分 6 分）

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立，$X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，$Y$ 服从 $[-\pi, \pi]$ 上的均匀分布，试求 $Z=X+Y$ 的概率密度（计算结果用标准正态分布函数 $\Phi$ 表示，其中 $\displaystyle\Phi(x) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-{t^2 \over 2}}$）