2000考研数学一真题

CreateTime 2021-03-14
UpdateTime 2021-11-14

2000年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)


(1) \displaystyle\int_0^1 \sqrt{2x -x^2} dx= _____


(2) 曲面 x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 21 在点 (1,-2,-2) 的法线方程为 _____


(3) 微分方程 xy'' + 3y'= 0 的通解为 _____


(4) 已知方程组 \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a + 2 \\ 1 & a & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} 无解,则 a= _____


(5) 设两个相互独立的事件 AB 都不发生的概率为 \displaystyle {1 \over 9}A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等,则 P(A)= _____


二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)


(6) 设 f(x),g(x) 是恒大于零的可导函数,且 f'(x)g(x)- f(x)g'(x) < 0,则当 a<x<b 时,有

  • (A) f(x)g(b) > f(b)g(x)
  • (B) f(x)g(a) > f(a)g(x)
  • (C) f(x)g(x) > f(b)g(b)
  • (D) f(x)g(x) > f(a)g(a)

(7) 设 S: x^2 + y^2 + z^2 = a^2 (z \geqslant 0)S_1S 在第一卦限中的部分,则有

  • (A) \displaystyle\iint\limits_S xdS = 4\iint\limits_{S_1} xdS

  • (B) \displaystyle \iint\limits_S ydS = 4\iint\limits_{S_1} xdS

  • (C) \displaystyle \iint\limits_S zdS = 4\iint\limits_{S_1} xdS

  • (D) \displaystyle \iint\limits_S xyzdS = 4\iint\limits_{S_1} xyzdS


(8) 设级数 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n 收敛,则必收敛的级数为

  • (A) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n{u_n \over n}

  • (B) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty {u^2_n}

  • (C) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (u_{2n - 1} - u_{2n})

  • (D) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (u_{n} - u_{n + 1})


(9) 设 n 维列向量组 \boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m (m <n) 线性无关则 n 维列向量组 \boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m 线性无关的充分必要条件为

  • (A) 向量组 \boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m 可由向量组 \boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m 线性表示
  • (B) 向量组 \boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m 可由向量组 \boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m 线性表示
  • (C) 向量组 \boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m 与向量组 \boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m 等价
  • (D) 矩阵 A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m) 与矩阵 B = (\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m) 等价

(10) 设二维随机变量 (X,Y) 服从二维正态分布, 则随机变量 \xi= X + Y\eta=X-Y 不相关的充分必要条件为

  • (A) E(X) = E(Y)
  • (B) E(X^2)-[E(X)]^2 = E(Y^2)-[E(Y)]^2
  • (C) E(X^2) = E(Y^2)
  • (D) E(X^2)+ [E(X)]^2 = E(Y^2) + [E(Y)]^2

三、解答题(本题共 10 小题,共 70 分)


(11)(本题满分 6 分)

\displaystyle \lim_{x\to 0} \left({2 + e^{1 \over x} \over 1 + e^{4 \over x}} + {\sin x \over |x|} \right)


(12)(本题满分 5 分)

\displaystyle z= f(xy, {x \over y}) + g({y \over x}), 其中 f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求 \displaystyle {\partial^2 z \over \partial x\partial y}


(13)(本题满分 6 分)

计算曲线积分 \displaystyle I=\oint_L{ xdy-ydx \over 4x^2 + y^2},其中 L 是以点(1, 0) 为中心,R 为半径的圆周 (R > 1),取逆时针方向


(14)(本题满分 7 分)

设对于半空间 x>0 内任意的光滑有向封闭曲面 S,都有

\iint\limits_S xf(x)dydz - xyf(x)dzdx -e^{2x}zdxdy= 0

其中函数 f(x)(0, +\infty) 内具有连续的一阶导数,且 \displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x)= 1,求 f(x)


(15)(本题满分 6 分)

求幂级数 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1 \over 3^n + (-2)^n}{x^n \over n} 的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性


(16)(本题满分 7 分)

设有一半径为 R 的球体,P_0 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到 P_0 距离的平方成正比 (比例常数 k>0),求球体的重心位置


(17)(本题满分 6 分)

设函数 f(x)[0,\pi] 上连续且

\begin{gathered} \int_0^\pi f(x) dx = 0 \\ \int_0^\pi f(x)\cos x dx = 0 \end{gathered}

试证:在 (0, \pi) 内至少存在两个不同的点 \xi_1, \xi_2,使 f(\xi_1) = f(\xi_2) = 0


(18)(本题满分 6 分)

设矩阵 A 的伴随矩阵 \displaystyle A^* = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 8 \end{bmatrix}ABA^{-1} = BA^{-1} +3E,其中 E4 阶单位矩阵,求矩阵 B


(19)(本题满分 8 分)

某试验性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将 \displaystyle {1 \over 6} 熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 \displaystyle {2 \over 5} 成为熟练工,设第 n1 月份统计的熟练工和非熟练求工所占百分与比分别为 x_ny_n,记成向量 \displaystyle \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}

  • (1) 求 \displaystyle \begin{pmatrix} x_{n + 1} \\ y_{n + 1} \end{pmatrix}\displaystyle \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} 的关系式并写成矩阵形式:\displaystyle \begin{pmatrix} x_{n + 1} \\ y_{n + 1} \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}

  • (2) 验证 \boldsymbol{\eta}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}, \boldsymbol{\eta}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值

  • (3) 当 \displaystyle \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {1 \over 2} \\\\ {1 \over 2} \end{pmatrix} 时,求 \displaystyle \begin{pmatrix} x_{n + 1} \\ y_{n + 1} \end{pmatrix}


(20)(本题满分 8 分)

某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0 < p < 1),各产品合格与否相对独立,当出现一个不合格产品时即停机检修,设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 X,求 X 的数学期望 E(X) 和方差 D(X)


(21)(本题满分 6 分)

设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为

f(x; \theta) = \begin{cases} 2e^{-2(x -\theta)}, & x \geqslant \theta, \\ 0, & x < \theta, \end{cases}

其中 \theta>0 为未知参数,又设 x_1, x_2,\cdots, x_nX 的一组样本观测值,求参数 \theta 的最大似然估计值