2000年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) $\displaystyle\int_0^1 \sqrt{2x -x^2} dx=$ _____

(2) 曲面 $x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 21$ 在点 $(1,-2,-2)$ 的法线方程为 _____

(3) 微分方程 $xy'' + 3y'= 0$ 的通解为 _____

(4) 已知方程组 $\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a + 2 \\ 1 & a & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$ 无解，则 $a=$ _____

(5) 设两个相互独立的事件 $A$ 和 $B$ 都不发生的概率为 $\displaystyle {1 \over 9}$， $A$ 发生 $B$ 不发生的概率与 $B$ 发生 $A$ 不发生的概率相等，则 $P(A)=$ _____

二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(6) 设 $f(x),g(x)$ 是恒大于零的可导函数，且 $f'(x)g(x)- f(x)g'(x) < 0$，则当 $a<x<b$ 时，有

• (A) $f(x)g(b) > f(b)g(x)$
• (B) $f(x)g(a) > f(a)g(x)$
• (C) $f(x)g(x) > f(b)g(b)$
• (D) $f(x)g(x) > f(a)g(a)$

(7) 设 $S: x^2 + y^2 + z^2 = a^2 (z \geqslant 0)$，$S_1$ 为 $S$ 在第一卦限中的部分，则有

• (A) $\displaystyle\iint\limits_S xdS = 4\iint\limits_{S_1} xdS$

• (B) $\displaystyle \iint\limits_S ydS = 4\iint\limits_{S_1} xdS$

• (C) $\displaystyle \iint\limits_S zdS = 4\iint\limits_{S_1} xdS$

• (D) $\displaystyle \iint\limits_S xyzdS = 4\iint\limits_{S_1} xyzdS$

(8) 设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，则必收敛的级数为

• (A) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n{u_n \over n}$

• (B) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {u^2_n}$

• (C) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (u_{2n - 1} - u_{2n})$

• (D) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (u_{n} - u_{n + 1})$

(9) 设 $n$ 维列向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ $(m <n)$ 线性无关则 $n$ 维列向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m$ 线性无关的充分必要条件为

• (A) 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m$ 线性表示
• (B) 向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m$ 可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示
• (C) 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 与向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m$ 等价
• (D) 矩阵 $A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m)$ 与矩阵 $B = (\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m)$ 等价

(10) 设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从二维正态分布， 则随机变量 $\xi= X + Y$ 与 $\eta=X-Y$ 不相关的充分必要条件为

• (A) $E(X) = E(Y)$
• (B) $E(X^2)-[E(X)]^2 = E(Y^2)-[E(Y)]^2$
• (C) $E(X^2) = E(Y^2)$
• (D) $E(X^2)+ [E(X)]^2 = E(Y^2) + [E(Y)]^2$

三、解答题（本题共 10 小题，共 70 分）

(11)（本题满分 6 分）

求 $\displaystyle \lim_{x\to 0} \left({2 + e^{1 \over x} \over 1 + e^{4 \over x}} + {\sin x \over |x|} \right)$

(12)（本题满分 5 分）

设 $\displaystyle z= f(xy, {x \over y}) + g({y \over x})$, 其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，$g$ 具有二阶连续导数，求 $\displaystyle {\partial^2 z \over \partial x\partial y}$

(13)（本题满分 6 分）

计算曲线积分 $\displaystyle I=\oint_L{ xdy-ydx \over 4x^2 + y^2}$，其中 $L$ 是以点$(1, 0)$ 为中心，$R$ 为半径的圆周 $(R > 1)$，取逆时针方向

(14)（本题满分 7 分）

设对于半空间 $x>0$ 内任意的光滑有向封闭曲面 $S$，都有

其中函数 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 内具有连续的一阶导数，且 $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x)= 1$，求 $f(x)$

(15)（本题满分 6 分）

求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1 \over 3^n + (-2)^n}{x^n \over n}$ 的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性

(16)（本题满分 7 分）

设有一半径为 $R$ 的球体，$P_0$ 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 $P_0$ 距离的平方成正比 (比例常数 $k>0$)，求球体的重心位置

(17)（本题满分 6 分）

设函数 $f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上连续且

试证：在 $(0, \pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2$，使 $f(\xi_1) = f(\xi_2) = 0$

(18)（本题满分 6 分）

设矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^* = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 8 \end{bmatrix}$ 且 $ABA^{-1} = BA^{-1} +3E$，其中 $E$ 为 $4$ 阶单位矩阵，求矩阵 $B$

(19)（本题满分 8 分）

某试验性生产线每年 $1$ 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 $\displaystyle {1 \over 6}$ 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 $\displaystyle {2 \over 5}$ 成为熟练工，设第 $n$ 年 $1$ 月份统计的熟练工和非熟练求工所占百分与比分别为 $x_n$ 和 $y_n$，记成向量 $\displaystyle \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$

• (1) 求 $\displaystyle \begin{pmatrix} x_{n + 1} \\ y_{n + 1} \end{pmatrix}$ 与 $\displaystyle \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$ 的关系式并写成矩阵形式：$\displaystyle \begin{pmatrix} x_{n + 1} \\ y_{n + 1} \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$

• (2) 验证 $\boldsymbol{\eta}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\boldsymbol{\eta}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 是 $A$ 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值

• (3) 当 $\displaystyle \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {1 \over 2} \\\\ {1 \over 2} \end{pmatrix}$ 时，求 $\displaystyle \begin{pmatrix} x_{n + 1} \\ y_{n + 1} \end{pmatrix}$

(20)（本题满分 8 分）

某流水线上每个产品不合格的概率为 $p(0 < p < 1)$，各产品合格与否相对独立，当出现一个不合格产品时即停机检修，设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 $X$，求 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$

(21)（本题满分 6 分）

设某种元件的使用寿命 $X$ 的概率密度为

其中 $\theta>0$ 为未知参数，又设 $x_1, x_2,\cdots, x_n$ 是 $X$ 的一组样本观测值，求参数 $\theta$ 的最大似然估计值