伯努利不等式的证明
若 x > -1, n\in \mathbb{N_+}，则成立不等式：
(1 + x)^n \geqslant 1 + nx
其中，当 n > 1 时等号成立的充分必要条件是 x = 0
证明： 用数学归纳法
当 n = 1，时 1 + x = 1 + x，成立；
当 n = 2，时 (1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 \geqslant 1 + 2x，成立；
设 n = k 时， (1 + x)^k \geqslant 1 + kx 成立；
则 n = k + 2 时：
\begin{aligned}
(1 + x)^{k + 2} =& (1 + x)^k(1 + x)^2 \\
\geqslant & (1 + kx)(1 + 2x + x^2) \\
= & 1 + 2x + x^2 + kx + 2kx^2 + kx^3\\
= & 1 + (k + 2)x + kx^2(k + 2) + x^2 \\
\geqslant & 1 + (k + 2)x\\
\end{aligned}
证毕；
另一种证法：
当 n = 1 或 x=0 时不等式显然成立；下面讨论 n > 1 和 x \neq 0 的情况。
将 (1 + x)^n - 1 作因式分解，就可以得到：
(1 + x)^n - 1 = x[1 + (1 + x) + (1 + x)^2 + \cdots + (1 + x)^{n - 1}]
当 x > 0 时，右边方括号中从第二项起都大于 1，因此有 (1 + x)^n - 1> nx；
当 -1 < x < 0 时，方括号中从第二项起都小于 1，因此方括号中表达式之和小于 n，由于 x < 0，因此有 (1 + x)^n - 1> nx；
证毕