1994年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \cot x \left( {1 \over \sin x} - {1 \over x}\right)=$ _____

(2) 曲面 $z-e^z+2xy=3$ 在点 $(1,2,0)$ 处的切平面方程为 _____

(3) 设 $\displaystyle u=e^{-x}\sin {x \over y}$，则 $\displaystyle {\partial^2 u \over \partial x \partial y}$ 在点 $\displaystyle \left(2, {1 \over \pi}\right)$ 处的值为 _____

(4) 设区域 $D$ 为 $x^2 + y^2 \leqslant R^2$，则 $\displaystyle \iint\limits_D\left({x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2}\right)dxdy=$ _____

(5) 已知 $\boldsymbol{\alpha} = [1, 2, 3]$, $\displaystyle \boldsymbol{\beta} = \left[1, {1 \over 2}, {1 \over 3}\right]$，设 $A= \boldsymbol{\alpha}^T\boldsymbol{\beta}$，其中 ${\boldsymbol{\alpha}}^T$ 是 $\boldsymbol{\alpha}$ 的转置，则 $A^n=$ _____

二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) 设 $\displaystyle M = \int_{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2} {\sin x \over 1+ x^2}\cos^4 x\,dx$, $\displaystyle N = \int_{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2} (\sin^3 x + \cos^4 x) \, dx$, $\displaystyle P = \int_{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2} (x^2 \sin^3 x - \cos^4 x)\, dx$, 则有

• (A) $N<P<M$
• (B) $M<P<N$
• (C) $N<M<P$
• (D) $P<M<N$

(2) 二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处两个偏导数 $f_x'(x_0, y_0)$,$f_y'(x_0,y_0)$ 存在是 $f(x,y)$ 在该点连续的

• (A) 充分条件而非必要条件
• (B) 必要条件而非充分条件
• (C) 充分必要条件
• (D) 既非充分条件又非必要条件

(3) 设常数 $\lambda>0$，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^2$ 收敛，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n {|a_n| \over \sqrt{n^2 + \lambda}}$

• (A) 发散
• (B) 条件收敛
• (C) 绝对收敛
• (D) 收敛性与 $\lambda$ 有关

(4) $\displaystyle\lim_{x\to 0} {a \tan x + b(1 - \cos x) \over c\ln(1 - 2x) + d(1 - e^{-x^2})} = 2$，其中 $a^2 + c^2 \neq 0$，则必有

• (A) $b = 4d$
• (B) $b = -4d$
• (C) $a = 4c$
• (D) $a = -4c$

(5) 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关，则向量组

• (A) $\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2$, $\boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3$, $\boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\alpha}_4$, $\boldsymbol{\alpha}_4 + \boldsymbol{\alpha}_1$ 线性无关
• (B) $\boldsymbol{\alpha}_1 - \boldsymbol{\alpha}_2$, $\boldsymbol{\alpha}_2 - \boldsymbol{\alpha}_3$, $\boldsymbol{\alpha}_3 - \boldsymbol{\alpha}_4$, $\boldsymbol{\alpha}_4 - \boldsymbol{\alpha}_1$ 线性无关
• (C) $\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2$, $\boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3$, $\boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\alpha}_4$, $\boldsymbol{\alpha}_4 - \boldsymbol{\alpha}_1$ 线性无关
• (D) $\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2$, $\boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3$, $\boldsymbol{\alpha}_3 - \boldsymbol{\alpha}_4$, $\boldsymbol{\alpha}_4 - \boldsymbol{\alpha}_1$ 线性无关

三、（本题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分）

(1) 设 $\begin{cases} x = \cos(t^2), \\ \displaystyle y = t \cos(t^2) - \int_1^{t^2}{1 \over 2\sqrt{u}} \cos u\, du,\end{cases}$ 求 $\displaystyle {dy \over dx}$, $\displaystyle {d^2y \over dx^2}$ 在 $\displaystyle t=\sqrt{\pi \over 2}$ 的值

(2) 将函数 $\displaystyle f(x)= {1 \over 4} \ln {1 + x \over 1 - x} + {1 \over 2}\arctan x - x$ 展开成 $x$ 的幂级数

(3) $\displaystyle \int {dx \over \sin(2x) + 2 \sin x}$

四、（本题满分 6 分）

计算曲面积分 $\displaystyle \iint\limits_S{xdydz + z^2dxdy \over x^2 + y^2 + z^2}$，其中 $S$ 是由曲面 $x^2 + y^2 = R^2$ 及 $z = R$, $z = -R$ $(R > 0)$ 两平面所围成立体表面的外侧

五、（本题满分 9 分）

设 $f(x)$ 具有二阶连续函数，$f(0) = 0$, $f'(0) = 1$，且 $[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x^2y]dy=0$ 为一全微分方程，求 $f(x)$ 及此全微分方程的通解

六、（本题满分 8 分）

设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 的某一邻域内具有二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim_{x \to 0} {f(x) \over x} =0$，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f\left( 1 \over n\right)$ 绝对收敛

七、（本题满分 6 分）

已知点 $A$ 与 $B$ 的直角坐标分别为 $(1,0,0)$ 与 $(0, 1, 1)$，线段 $AB$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成的旋转曲面为 $S$，求由 $S$ 及两平面 $z=0$, $z=1$ 所围成的立体体积

八、（本题满分 8 分）

设四元线性齐次方程组 $(Ⅰ)$ 为 $\begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ x_2 - x_4 = 0 \\ \end{cases}$，又已知某线性齐次方程组 $(Ⅱ)$ 的通解为 $k_1(0, 1, 1, 0) + k_2(-1, 2, 2, 1)$

• (1) 求线性方程组 $(Ⅰ)$ 的基础解析
• (2) 问线性方程组 $(Ⅰ)$ 和 $(Ⅱ)$ 是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解，若没有，则说明理由

九、（本题满分 6 分）

设 $A$ 为 $n$ 阶非零方阵，$A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，$A^T$ 是 $A$ 的转置矩阵，当 $A^* =A^T$ 时，证明 $|A| \neq 0$

十、填空题（本题共 2 小题，每小题 3 分，满分 6 分）

(1) 已知 $A,B$ 两个事件满足条件 $P(AB)=P(\overline{A}\ \overline{B})$，且 $P(A)=p$，则 $P(B)=$ _____

(2) 设相互独立的两个随机变量 $X,Y$ 具有同一分布率，且 $X$ 的分布率为

则随机变量 $Z =\max\{X,Y\}$ 的分布率为 _____

十一、（本题满分 6 分）

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 分别服从正态分布 $N(1,3^2)$ 和 $N(0,4^2)$，且 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\displaystyle \rho_{XY}= -{1 \over 2}$，设 $\displaystyle Z={X \over 3} + {Y \over 2}$

• (1) 求 $Z$ 的数学期望 $EZ$ 和方差 $DZ$
• (2) 求 $X$ 与 $Z$ 的相关系数 $\rho_{XZ}$
• (3) 问 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立？为什么？