2020考研数学一真题
2020年全国硕士研究生招生考试数学一试题
一、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)
(1) 当 x \to 0^+ 时,下列无穷小量中最高阶的是
-
(A) \displaystyle\int_0^x (e^{t^2} - 1) dt
-
(B) \displaystyle\int_0^x \ln(1 + \sqrt{t^3}) dt
-
(C) \displaystyle\int_0^{\sin x} \sin t^2 dt
-
(D) \displaystyle\int_0^{1-\cos x} \sqrt{\sin^3 t} dt
(2) 设函数 f(x) 在区间 (-1, 1) 有定义,且 \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x) = 0,则
-
(A) 当 \displaystyle\lim_{x\to 0}{f(x) \over \sqrt{|x|}} = 0 时,f(x) 在 x=0 处可导
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(B) 当 \displaystyle\lim_{x\to 0}{f(x) \over \sqrt{x^2}} = 0 时,f(x) 在 x=0 处可导
-
(C) f(x) 在 x = 0 处可导时,\displaystyle\lim_{x\to 0}{f(x) \over \sqrt{|x|}} = 0
-
(D) f(x) 在 x = 0 处可导时,\displaystyle\lim_{x\to 0}{f(x) \over \sqrt{x^2}} = 0
(3) f(x,y) 在 (0,0) 可微,f(0, 0) = 0,\boldsymbol{n}=\left(f'_x, f'_y, -1\right)\big|_{(0, 0)},非 0 向量 \boldsymbol{d} 与 \boldsymbol{n} 垂直,则
-
(A) \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0, 0)} {|\boldsymbol{n} \cdot (x, y, f(x, y))| \over \sqrt{x^2 + y^2}} = 0 存在
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(B) \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0, 0)} {|\boldsymbol{n} \times (x, y, f(x, y))| \over \sqrt{x^2 + y^2}} = 0 存在
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(C) \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0, 0)} {|\boldsymbol{d} \cdot (x, y, f(x, y))| \over \sqrt{x^2 + y^2}} = 0 存在
-
(D) \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0, 0)} {|\boldsymbol{d} \times (x, y, f(x, y))| \over \sqrt{x^2 + y^2}} = 0 存在
(4) 设 R 为幂级数 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_nx^n 的收敛半径,r 是实数,则
-
(A) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_nx^n 发散时, |r| \geqslant R
-
(B) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_nx^n 发散时, |r| \leqslant R
-
(C) |r| \geqslant R 时,\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_nx^n 发散
-
(D) |r| \leqslant R 时,\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_nx^n 发散
(5) 若矩阵 A 由初等列变换为矩阵 B,则
- (A) 存在矩阵 P,使 PA = B
- (C) 存在矩阵 P,使 PB = A
- (B) 存在矩阵 P,使 BP = A
- (D) 方程组 Ax = 0 与 Bx = 0 同解
(6) 已知直线 \displaystyle L_1: {x - a_2 \over a_1} = {y - b_2 \over b_1} = {z - c_2 \over c_1} 与直线 \displaystyle L_2: {x - a_3 \over a_2} = {y - b_3 \over b_2} = {z - c_3 \over c_2} 相交于一点;
令 \displaystyle \alpha_i = \begin{bmatrix} a_i \\ b_i \\ c_i \end{bmatrix}, \,i =1,2,3 则
- (A) \alpha_1 可由 \alpha_2,\alpha_3 线性表示
- (B) \alpha_2 可由 \alpha_1,\alpha_3 线性表示
- (C) \alpha_3 可由 \alpha_1,\alpha_2 线性表示
- (D) \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 线性无关
(7) 设 A,B,C 为三个随机事件,\displaystyle P(A) = P(B) = P(C) = {1 \over 4},P(AB)= 0,\displaystyle P(AC) = P(BC) = {1 \over 12},则 A,B,C 恰有一个事件发生的概率为
-
(A) \displaystyle {3 \over 4}
-
(B) \displaystyle {2 \over 3}
-
(C) \displaystyle {1 \over 2}
-
(D) \displaystyle {5 \over 12}
( 8 ) 设为 X_1, X_2, \cdots, X_{100} 为来自总体 X 的简单随机样本,其中 \displaystyle P\{X = 0\} = P\{X = 1\} = {1 \over 2},\Phi(x) 表示标准正态分布函数,则由中心极限定理可得 \displaystyle P\left\{\sum_{i = 1}^{100} X_i \leqslant 55\right\} 的近似值为
- (A) 1 - \Phi(1)
- (B) \Phi(1)
- (C) 1 - \Phi(0.2)
- (D) \Phi(0.2)
二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
(9) \displaystyle \lim_{x \to 0} \left[{1 \over e^x - 1} - {1 \over \ln(1 + x)}\right]= _____
(10) 设 \displaystyle \begin{cases} x = \sqrt{t^2 + 1} \\ y = \ln(t + \sqrt{t^2 + 1})\end{cases},则 \displaystyle {d^2y \over dx^2}\bigg|_{t=1}= _____
(11) 设函数 f(x) 满足 f''(x)+ af'(x) + f(x) = 0 \, (a > 0) 且 f(0) = m, f'(0) = n,则 \displaystyle \int_0^{+\infty} f(x) dx = _____
(12) 设函数 \displaystyle f(x ,y) = \int_0^{xy} e^{xt^2} dt,则 \displaystyle {\partial^2 f \over \partial x\partial y}\bigg|_{(1, 1)}= _____
(13) 行列式 \displaystyle \begin{vmatrix} a & 0 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ -1 & 1 & a & 0 \\ 1 & -1 & 0 & a \\ \end{vmatrix}= _____
(14) 已知随机变量 X 服从区间 \displaystyle \left(-{\pi \over 2}, {\pi\over 2}\right) 上的均匀分布,Y = \sin X,则 \text{Cov}(X,Y) = _____
三、解答题(本题共 9 小题,共 94 分)
(15) (本题满分 10 分)
求函数 f(x, y) = x^3 + 8y^3 - xy 的极值
(16) (本题满分 10 分)
计算 \displaystyle I=\int_L {4x - y \over 4x^2 + y^2} dx + {x + y \over 4x^2 + y^2}dy,其中 L 为 x^2 +y^2 = 2,方向为逆时针方向
(17) (本题满分 10 分)
设数列 \{a_n\} 满足 a_1 = 1, \displaystyle (n + 1)a_{n + 1} = \left(n + {1 \over 2}\right) a_n 证明当 |x| < 1 时幂级数 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n x^n 收敛,并求其和函数
(18) (本题满分 10 分)
设 \Sigma 为曲面 z=\sqrt{x^2 + y^2}\,(1\leqslant x^2 + y^2 \leqslant 4) 的下侧,f(x) 为连续函数,计算
(19) (本题满分 10 分)
设函数 f(x) 在 [0, 2] 上具有连续导数 f(0) = f(2) = 0,\displaystyle M=\max_{x\in [0, 2]} \{|f(x)|\},证明:
-
(1) 存在 \xi \in (0,2) 使 |f'(\xi)| \geqslant M
-
(2) 若对任意 x\in (0, 2) |f'(x)| \leqslant M,则 M = 0
(20) (本题满分 11 分)
设二次型 f(x_1, x_2) = x_1^2- 4x_1x_2+ 4x_2^2 经正交变化 \displaystyle \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\end{bmatrix} = Q\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2\end{bmatrix} 化为二次型 g(y_1, y_2) = ay_1^2 + 4y_1y_2 + by_2^2,其中 a \geqslant b
- (1) 求 a,b 的值
- (2) 求正交变换矩阵 Q
(21) (本题满分 11 分)
设 A 为 2 阶矩阵,P = (a, Aa),其中 a 是非零向量且不是 A 的特征向量
- (1) 证明 P 为可逆矩阵
- (2) 若 A^2a + Aa - 6a = 0,求 P^{-1}AP,并判断 A 是否相似于对角矩阵
(22) (本题满分 11 分)
设随机变量 X_1,X_2,X_3 相互独立,其中 X_1 与 X_2 均服从标准正态分布,X_3 的概率分布为 \displaystyle P\{X_3 = 0\} = P\{X_3 = 1\} = {1 \over 2},Y = X_3X_1+ (1 - X_3)X_2
- (1) 求二维随机变量 (X_1 ,Y) 的分布函数,结果用标准正态分布 \Phi(x) 表示
- (2) 证明随机变量 Y 服从标准正态分布
(23) (本题满分 11 分)
设某种元件的使用寿命 T 的分布函数为
其中 \theta,m 为参数且大于零
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(1) 求概率 P\{T > t\} 与 P\{T > s + t |T > s\} , 其中 s > 0,t > 0
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(2) 任取 n 个这种元件做寿命试验,测得它们的寿命分别为 t_1, t_2, \cdots, t_n,若 m 已知,求 \theta 的最大似然估计值 \hat{\theta}
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