2020年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）

(1) 当 $x \to 0^+$ 时，下列无穷小量中最高阶的是

• (A) $\displaystyle\int_0^x (e^{t^2} - 1) dt$

• (B) $\displaystyle\int_0^x \ln(1 + \sqrt{t^3}) dt$

• (C) $\displaystyle\int_0^{\sin x} \sin t^2 dt$

• (D) $\displaystyle\int_0^{1-\cos x} \sqrt{\sin^3 t} dt$

(2) 设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1, 1)$ 有定义，且 $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x) = 0$，则

• (A) 当 $\displaystyle\lim_{x\to 0}{f(x) \over \sqrt{|x|}} = 0$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导

• (B) 当 $\displaystyle\lim_{x\to 0}{f(x) \over \sqrt{x^2}} = 0$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导

• (C) $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导时，$\displaystyle\lim_{x\to 0}{f(x) \over \sqrt{|x|}} = 0$

• (D) $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导时，$\displaystyle\lim_{x\to 0}{f(x) \over \sqrt{x^2}} = 0$

(3) $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 可微，$f(0, 0) = 0$，$\boldsymbol{n}=\left(f'_x, f'_y, -1\right)\big|_{(0, 0)}$，非 $0$ 向量 $\boldsymbol{d}$ 与 $\boldsymbol{n}$ 垂直，则

• (A) $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0, 0)} {|\boldsymbol{n} \cdot (x, y, f(x, y))| \over \sqrt{x^2 + y^2}} = 0$ 存在

• (B) $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0, 0)} {|\boldsymbol{n} \times (x, y, f(x, y))| \over \sqrt{x^2 + y^2}} = 0$ 存在

• (C) $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0, 0)} {|\boldsymbol{d} \cdot (x, y, f(x, y))| \over \sqrt{x^2 + y^2}} = 0$ 存在

• (D) $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0, 0)} {|\boldsymbol{d} \times (x, y, f(x, y))| \over \sqrt{x^2 + y^2}} = 0$ 存在

(4) 设 $R$ 为幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_nx^n$ 的收敛半径，$r$ 是实数，则

• (A) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_nx^n$ 发散时， $|r| \geqslant R$

• (B) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_nx^n$ 发散时， $|r| \leqslant R$

• (C) $|r| \geqslant R$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_nx^n$ 发散

• (D) $|r| \leqslant R$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_nx^n$ 发散

(5) 若矩阵 $A$ 由初等列变换为矩阵 $B$，则

• (A) 存在矩阵 $P$，使 $PA = B$
• (C) 存在矩阵 $P$，使 $PB = A$
• (B) 存在矩阵 $P$，使 $BP = A$
• (D) 方程组 $Ax = 0$ 与 $Bx = 0$ 同解

(6) 已知直线 $\displaystyle L_1: {x - a_2 \over a_1} = {y - b_2 \over b_1} = {z - c_2 \over c_1}$ 与直线 $\displaystyle L_2: {x - a_3 \over a_2} = {y - b_3 \over b_2} = {z - c_3 \over c_2}$ 相交于一点；

令 $\displaystyle \alpha_i = \begin{bmatrix} a_i \\ b_i \\ c_i \end{bmatrix}, \,i =1,2,3$ 则

• (A) $\alpha_1$ 可由 $\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示
• (B) $\alpha_2$ 可由 $\alpha_1,\alpha_3$ 线性表示
• (C) $\alpha_3$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示
• (D) $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关

(7) 设 $A,B,C$ 为三个随机事件，$\displaystyle P(A) = P(B) = P(C) = {1 \over 4}$，$P(AB)= 0$，$\displaystyle P(AC) = P(BC) = {1 \over 12}$，则 $A,B,C$ 恰有一个事件发生的概率为

• (A) $\displaystyle {3 \over 4}$

• (B) $\displaystyle {2 \over 3}$

• (C) $\displaystyle {1 \over 2}$

• (D) $\displaystyle {5 \over 12}$

( 8 ) 设为 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，其中 $\displaystyle P\{X = 0\} = P\{X = 1\} = {1 \over 2}$，$\Phi(x)$ 表示标准正态分布函数，则由中心极限定理可得 $\displaystyle P\left\{\sum_{i = 1}^{100} X_i \leqslant 55\right\}$ 的近似值为

• (A) $1 - \Phi(1)$
• (B) $\Phi(1)$
• (C) $1 - \Phi(0.2)$
• (D) $\Phi(0.2)$

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

(9) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left[{1 \over e^x - 1} - {1 \over \ln(1 + x)}\right]=$ _____

(10) 设 $\displaystyle \begin{cases} x = \sqrt{t^2 + 1} \\ y = \ln(t + \sqrt{t^2 + 1})\end{cases}$，则 $\displaystyle {d^2y \over dx^2}\bigg|_{t=1}=$ _____

(11) 设函数 $f(x)$ 满足 $f''(x)+ af'(x) + f(x) = 0 \, (a > 0)$ 且 $f(0) = m, f'(0) = n$，则 $\displaystyle \int_0^{+\infty} f(x) dx =$ _____

(12) 设函数 $\displaystyle f(x ,y) = \int_0^{xy} e^{xt^2} dt$，则 $\displaystyle {\partial^2 f \over \partial x\partial y}\bigg|_{(1, 1)}=$ _____

(13) 行列式 $\displaystyle \begin{vmatrix} a & 0 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ -1 & 1 & a & 0 \\ 1 & -1 & 0 & a \\ \end{vmatrix}=$ _____

(14) 已知随机变量 $X$ 服从区间 $\displaystyle \left(-{\pi \over 2}, {\pi\over 2}\right)$ 上的均匀分布，$Y = \sin X$，则 $\text{Cov}(X,Y) =$ _____

三、解答题（本题共 9 小题，共 94 分）

(15) （本题满分 10 分）

求函数 $f(x, y) = x^3 + 8y^3 - xy$ 的极值

(16) （本题满分 10 分）

计算 $\displaystyle I=\int_L {4x - y \over 4x^2 + y^2} dx + {x + y \over 4x^2 + y^2}dy$，其中 $L$ 为 $x^2 +y^2 = 2$，方向为逆时针方向

(17) （本题满分 10 分）

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$， $\displaystyle (n + 1)a_{n + 1} = \left(n + {1 \over 2}\right) a_n$ 证明当 $|x| < 1$ 时幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n x^n$ 收敛，并求其和函数

(18) （本题满分 10 分）

设 $\Sigma$ 为曲面 $z=\sqrt{x^2 + y^2}\,(1\leqslant x^2 + y^2 \leqslant 4)$ 的下侧，$f(x)$ 为连续函数，计算

(19) （本题满分 10 分）

设函数 $f(x)$ 在 $[0, 2]$ 上具有连续导数 $f(0) = f(2) = 0$，$\displaystyle M=\max_{x\in [0, 2]} \{|f(x)|\}$，证明：

• (1) 存在 $\xi \in (0,2)$ 使 $|f'(\xi)| \geqslant M$

• (2) 若对任意 $x\in (0, 2)$ $|f'(x)| \leqslant M$，则 $M = 0$

(20) （本题满分 11 分）

设二次型 $f(x_1, x_2) ＝ x_1^2－ 4x_1x_2＋ 4x_2^2$ 经正交变化 $\displaystyle \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\end{bmatrix} = Q\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2\end{bmatrix}$ 化为二次型 $g(y_1, y_2) = ay_1^2 + 4y_1y_2 + by_2^2$，其中 $a \geqslant b$

• (1) 求 $a,b$ 的值
• (2) 求正交变换矩阵 $Q$

(21) （本题满分 11 分）

设 $A$ 为 $2$ 阶矩阵，$P = (a, Aa)$，其中 $a$ 是非零向量且不是 $A$ 的特征向量

• (1) 证明 $P$ 为可逆矩阵
• (2) 若 $A^2a + Aa - 6a = 0$，求 $P^{-1}AP$，并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵

(22) （本题满分 11 分）

设随机变量 $X_1,X_2,X_3$ 相互独立，其中 $X_1$ 与 $X_2$ 均服从标准正态分布，$X_3$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X_3 = 0\} = P\{X_3 = 1\} = {1 \over 2}$，$Y = X_3X_1＋ (1 - X_3)X_2$

• (1) 求二维随机变量 $(X_1 ,Y)$ 的分布函数，结果用标准正态分布 $\Phi(x)$ 表示
• (2) 证明随机变量 $Y$ 服从标准正态分布

(23) （本题满分 11 分）

设某种元件的使用寿命 $T$ 的分布函数为

其中 $\theta,m$ 为参数且大于零

• (1) 求概率 $P\{T > t\}$ 与 $P\{T > s + t |T > s\}$ ， 其中 $s > 0,t > 0$

• (2) 任取 $n$ 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 $t_1, t_2, \cdots, t_n$，若 $m$ 已知，求 $\theta$ 的最大似然估计值 $\hat{\theta}$