数学分析：实数

序列

设 $m$ 是整数，一个 有理数 的序列 $(a_n)_{n=m}^n$ 是—个从集合 $\{n \in \mathbb{Z} : n \geqslant m \}$ 到 $\mathbb{Q}$ 的函数，即一个映射，它对于每个大于或等于 $m$ 的整数 $n$ 都指定一个有理数 $a_n$；

更正式地说，一个有理数的序列 $(a_n)_{n=m}^n$ 是有理数 $a_m, a_{m+1}, \cdots$ 的一个汇集

$\varepsilon$ - 接近性

设 $\varepsilon > 0$，且 $x,y$ 都是有理数，我们说，$y$ 是 $\varepsilon$ - 接近于 $x$ 的，当且仅当 $d(x, y) \leqslant \varepsilon$；其中 $d(x,y)$ 是 $x,y$ 之间的距离

$\varepsilon$ - 稳定性

设 $\varepsilon > 0$，一个序列 $(a_n)_{n=0}^n$ 叫作是 $\varepsilon$ - 稳定的，当且仅当序列元素的每一对 $a_j, a_k$ 都是 $\varepsilon$ - 接近的；

换句话说，序列 $a_0, a_1, a_2, \cdots$ 是 $\varepsilon$ - 稳定的当且仅当对于一切 $j,k,\ d(a_j,a_k) \leqslant \varepsilon$

$\varepsilon$ - 强稳定性

设 $\varepsilon > 0$，一个序列 $(a_n)_{n=0}^n$ 叫作是 $\varepsilon$ - 强稳定的，当且仅当对于某 $N > 0$，序列 $a_N, a_{N+1},\cdots$ 是 $\varepsilon$ - 稳定的；

换句话说，序列 $a_0, a_1, a_2, \cdots$ 是 $\varepsilon$ - 强稳定的，当且仅当存在 $N \geqslant 0$ 使得对于一切 $j,k \geqslant N,\ d(a_j,a_k) \leqslant \varepsilon$

柯西序列

一个有理数序列 $(a_n)_{n=0}^n$，叫作是 柯西序列，当且仅当每个有理数 $\varepsilon > 0$，它都是 $\varepsilon$ - 强稳定的；

换句话说，序列 $a_0, a_1, a_2, \cdots$ 是 柯西序列，当且仅当对于每个 $\varepsilon>0$，存在 $N \geqslant 0$ 使得对于一切 $j,k \geqslant N,\ d(a_j,a_k) \leqslant \varepsilon$

命题：由 $a_n := \frac{1}{n}$ 定义的序列 $a_1,a_2,a_3,\cdots$ （即 $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\cdots$) 是 柯西序列

证明：

我们必须验证对于每个 $\varepsilon > 0$, 序列 $a_1, a_2, a_3, \cdots$ 是 $\varepsilon$ - 强稳定的；

设 $\varepsilon > 0$ 是任意的正数，我们现在要找一个数 $N$，使得序列 $a_N,a_{N+1},\cdots$ 是 $\varepsilon$ - 稳定的，则对于每个 $j,k \geqslant N,\ d(a_j,a_k) \leqslant \varepsilon$，即：

现由于 $j,k \geqslant N$，我们知道 $0 < \frac{1}{j}$，$\frac{1}{k} \leqslant \frac{1}{N}$，于是：

所以，要使 $\left|\frac{1}{j} - \frac{1}{k}\right| \leqslant \varepsilon$ ，只要让 $\frac{1}{N} < \varepsilon$ 就足够了；

于是，我们要做的只是选一个 $N$ 使得 $\frac{1}{N} < \varepsilon$，或换句话说，使 $N > \frac{1}{\varepsilon}$；

证毕

有界序列

设 $M \geqslant 0$ 是有理数，一个有限的序列 $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$ 是 以 $M$ 为界 的，当且仅当对于一切 $1 \leqslant i \leqslant n$，$|a_i| \leqslant M$；

一个无限序列 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 是 以 $M$ 为界 的，当且仅当对于一切 $i \geqslant 1$，$|a_i| \leqslant M$；

一个序列叫作是 有界的，当且仅当对于某个 有理数 $M \geqslant 0$ 它是以 $M$ 为界的

引理：每个有限序列 $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$ 都是有界的

证明：通过对 $n$ 进行归纳来证明此事

• 当 $n = 1$ 时，序列 $a_1$ 显然有界，取 $M = |a_1|$，则显然有 $|a_1| \leqslant M$ 对于一切 $1 \leqslant i \leqslant n$ 都成立；

• 假设已对某 $n \geqslant 1$ 证实了引理的结论，即 序列 $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$ 以某 $M > 0$ 为界

• 则 序列 $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, a_{n+1}$，必以 $M + |a_{n+1}|$ 为界

证毕

引理：柯西序列 是有界的

$\varepsilon$ - 接近序列

设 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 和 $(b_n)_{n=1}^\infty$ 是两个序列，并设 $\varepsilon > 0$；

我们说序列 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 是 $\varepsilon$ - 接近于 $(b_n)_{n=1}^\infty$ 的，当且仅当对于每个 $n \in \mathbb{N}$，$a_n$ 是 $\varepsilon$ - 接近于 $b_n$ 的；

换句话说，序列 $a_1, a_2, a_3, \cdots$ 是 $\varepsilon$ - 接近于序列 $b_1, b_2, b_3, \cdots$ 的，当且仅当对于一切 $n = 0, 1, 2, \cdots$，都有 $| a_n - b_n | \leqslant \varepsilon$

$\varepsilon$ - 强接近序列

设 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 和 $(b_n)_{n=1}^\infty$ 是两个序列，并设 $\varepsilon > 0$；

我们说序列 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 是 $\varepsilon$ - 强接近于 $(b_n)_{n=1}^\infty$ 的，当且仅当存在 $N > 0$ 使得序列 $a_n$ 和 $b_n$ 是 $\varepsilon$ - 接近的；

换句话说， $a_1, a_2, a_3, \cdots$ 是 $\varepsilon$ - 强接近于序列 $b_1, b_2, b_3, \cdots$ 的，当且仅当存在 $N > 0$，使得对于一切 $n > N$，都有 $| a_n - b_n | \leqslant \varepsilon$

等价序列

两个序列 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 和 $(b_n)_{n=1}^\infty$ 是等价的，当且仅当对于每个有理数 $\varepsilon > 0$，它们都是 $\varepsilon$ - 强接的；

换句话说，$a_1, a_2, a_3, \cdots$ 和 $b_1, b_2, b_3, \cdots$ 是等价的，当且仅当对于每个有理数 $\varepsilon > 0$，存在一个 $N > 0$ 使得 $|a_n - b_n| \leqslant \varepsilon$ 对于一切 $n > N$ 成立

实数

形如 $LIM_{n\to \infty} a_n$ 的对象叫作实数，其中 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 是有理数的一个 柯西序列；

两个实数 $LIM_{n\to \infty} a_n$ 和 $LIM_{n\to \infty} b_n$ 叫作是相等的，当且仅当 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 和 $(b_n)_{n=1}^\infty$ 是等价的柯西序列，全体实数的集合记作 $\mathbb{R}$

$LIM_{n\to \infty} a_n$ 叫做是 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 的 形式极限；

实数的基础性质

设 $x = LIM_{n\to \infty} a_n$，$y= LIM_{n\to \infty} b_n$，$z = LIM_{n\to \infty} c_n$，是实数，那么依上述关于实数相等的定义有：

• 自反性：$x=x$

• 对称性：如果 $x=y$，那么 $y=x$

• 传递性：如果 $x=y$ 并且 $y = z$，那么 $x=z$

实数的加法

设 $x = LIM_{n\to \infty} a_n$，$y= LIM_{n\to \infty} b_n$ 是实数，那么定义它们的和 $x+y$ 为：

引理：柯西序列的和是柯西序列

设 $x = LIM_{n\to \infty} a_n$，$y= LIM_{n\to \infty} b_n$ 是实数，那么 $x+y$ 也是实数

证明：我们要证明对于每个 $\varepsilon > 0$，序列 $(a_n + b_n)_{n=1}^\infty$ 是 $\varepsilon -$ 强稳定的；

根据假设，知道 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 是 $\varepsilon -$ 强稳定，而且 $(b_n)_{n=1}^\infty$ 也是 $\varepsilon -$ 强稳定的；

我们知道对于每个正的 $\delta > 0$ 的值，$(a_n)_{n=1}^\infty$ 都是 $\delta -$ 强稳定的，这表明 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 不仅是 $\varepsilon -$ 强稳定的，同时也是 $\frac{\varepsilon}{2} -$ 强稳定的；

于是存在 $N \geqslant 1$ 使得 $(a_n)_{n=N}^\infty$ 是 $\frac{\varepsilon}{2} -$ 稳定的；即对于每两个 $n,m\geqslant N$, $a_n$ 和 $a_m$ 是 $\frac{\varepsilon}{2} -$ 接近的；

类似地，存在一个 $M \geqslant 1$，使得 $(b_n)_{n=M}^\infty$ 是 $\frac{\varepsilon}{2} -$ 稳定的；即对于每两个 $n,m\geqslant M$, $b_n$ 和 $b_m$ 是 $\frac{\varepsilon}{2} -$ 接近的；

令 $max(N,M)$ 是 $N$ 和 $M$ 中的大者，如果 $n,m \geqslant max(N,M)$，那么我们知道 $a_n$ 和 $a_m$ 是 $\frac{\varepsilon}{2} -$ 接近的，且 $b_n$ 和 $b_m$ 是 $\frac{\varepsilon}{2} -$ 接近的；

于是对于每两个 $n,m \geqslant max(N,M)$，$a_n + b_n$ 与 $a_m + b_m$ 是 $\varepsilon -$ 接近的， 这蕴含着序列 $(a_n + b_n)_{n=1}^\infty$ 是 $\varepsilon -$ 强稳定的；

证毕

引理：等价的柯西序列的和是等价的

设 $x = LIM_{n\to \infty} a_n$，$y= LIM_{n\to \infty} b_n$ 以及 $x' = LIM_{n\to \infty} a'_n$ 都是实数，若 $x=x'$，那么有 $x+y= x'+y$

实数的乘法

设 $x = LIM_{n\to \infty} a_n$，$y= LIM_{n\to \infty} b_n$ 是实数，那么我们定义乘积 $xy$ 为

命题：设 $x = LIM_{n\to \infty} a_n$，$y= LIM_{n\to \infty} b_n$ 以及 $x' = LIM_{n\to \infty} a'_n$ 都是实数，那么 $xy$ 也是实数；进而，如果 $x=x'$ 那么 $xy= x'y$

实数的负数

实数 $x$ 定义负运算 $-x$，公式是：

限制离开零的序列

一个有理数的序列 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 叫作是 限制离开零的，当且仅当存在一个正的有理数 $c > 0$， 使得对于一切 $n \geqslant 0$，都有 $|a_n| > c$

引理：设 $x$ 是不为零的实数那么存在一个限制离开零的 柯西序列 $(a_n)_{n=1}^\infty$，使得 $x = LIM_{n\to \infty} a_n$

引理：设 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 是一个限制离开零的 柯西序列，那么序列 $(a_n^{-1})_{n=1}^\infty$ 也是 柯西序列

实数的倒数

设 $x$ 是不为零的实数，设 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 是一个限制离开零的 柯西序列，使得 $x = LIM_{n\to \infty} a_n$，那么我们定义倒数 $x^{-1}$ 为：

$x^{-1} := LIM_{n\to \infty} a_n^{-1}$

引理：设 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 和 $(b_n)_{n=1}^\infty$ 是两个限制离开零的柯西序列，使得

那么

实数的除法

两个实数 $x$ 和 $y$ 的除法 $\frac{x}{y}$，只要 $y$ 不是零，定义：

正限制离开零序列

设 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 是一个有理数序列我们说此序列是 正限制离开零的，当且仅当有一个正的有理数 $c > 0$，使得对于一切 $n \geqslant 1$，都有 $a_n \geqslant c$；

说此序列是 负限制离开零的，当且仅当有一个正的有理数 $c > 0$，使得对于一切 $n \geqslant 1$，都有 $a_n \leqslant -c$

正实数

一个实数 $x$ 叫作是 正的，当且仅当它可以写成某个正限制离开零的 柯西序列 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 的形式极限 $x = LIM_{n\to \infty} a_n$；

$x$ 叫做是负的，当且仅当它可以写成某个负限制离开零的 柯西序列 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 的形式极限 $x = LIM_{n\to \infty} a_n$；

实数的三歧型

对于每个实数 $x$，恰有下述命题之一成立：

• $x$ 是零；
• $x$ 是正的；
• $x$ 是负的

实数的绝对值

设 $x$ 是实数，我们定义 $x$ 的绝对值 $|x|$，当 $x$ 是正数时等于 $x$，当 $x$ 是负数时等等于 $-x$，当 $x$ 是 $0$ 时等于 $0$

实数的编序

设 $x$ 和 $y$ 是实数：

我们说 $x$ 比 $y$ 大，记作 $x > y$，如果 $x-y$ 是正实数；

我们说 $x$ 比 $y$ 小，记作 $x < y$，如果 $x-y$ 是负实数；

定义 $x \geqslant y$，当且仅当 $x>y$ 或 $x= y$；

定义 $x \leqslant y$，当且仅当 $x<y$ 或 $x=y$

命题：设 $x$ 是正实数，那么 $x^{-1}$ 也是正的；如果 $y$ 是另一个正实数，并且 $x > y$，那么 $x^{-1} < y^{-1}$

上界

设 $E$ 是 $\mathbb{R}$ 的子集，并且 $M$ 是实数我们说 $M$ 是 $E$ 的一个上界，当且仅当对于 $E$ 的每个元素 $x$ 都有 $x \leqslant M$.

最小上界

设 $E$ 是 $\mathbb{R}$ 的子集，并且 $M$ 是实数我们说 $M$ 是 $E$ 的 最小上界，当且仅当：

• $M$ 是 $E$ 的上界
• $E$ 的任何上界 $M'$ 必定大于或等于 $M$

魏尔斯特拉斯 - 最小上界存在定理：

设 $E$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个非空子集合，如果 $E$ 有 上界（即 $E$ 有某个上界 $M$ )， 那么它恰有一个 最小上界

最小上界定义：设 #E# 是实数系的一个子集合，如果 $E$ 不空并且有上界，我们定义 $\sup(E)$ 为 $E$ 的最小上界，也叫做 上确界；

我们引入两个附加的符号 $+\infty$ 和 $-\infty$，如果 $E$ 不是空集并且没有上界，我们令 $\sup(E) := +\infty$；如果 $E$ 是空集，我们令 $\sup(E):= -\infty$ 我们把 $\sup(E)$ 也记作 $\sup E$.

我们当然可以谈论集合 $E$ 的 下界 以及 最大下界，一个集合 $E$ 的 最大下界 也叫 下确界，记做 $\inf(E)$ 或者 $\inf E$；

我们对于上确界所说的每个命题，对于下确界都对应一个相反的命题

实数的指数运算

实数的自然数次幂

设 $x$ 是实数，为使 $x$ 升到 $0$ 次幂，我们定义 $x^0 = 1$，现递归地假设若 $x^n$ 对于某自然数 $n$ 已定义，则我们定义

实数的整数次幂

设 $x$ 是不为零的实数，那么对于任何负整数 $-n$，我们定义

实数的非整数次幂

设 $x > 0$ 是正的实数，并设 $n \geqslant 1$ 是正的整数，我们定义 $x^{\frac{1}{n}}$，叫做 $x$ 的 $n$ 次根 为：

我们常把 $x^{\frac{1}{2}}$ 记作 $\sqrt{x}$

实数的有理数次幂

设 $x>0$ 是正的实数，并设 $q$ 是有理数．为定义$x^q$， 我们把 $q$ 写成某整数 $a$ 与某正整数 $b$ 的比，$q=\frac{a}{b}$，并定义：

参考资料

• 陶哲轩实分析