2002考研数学一真题

CreateTime 2021-03-12
UpdateTime 2021-11-20

2002年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)


(1) \displaystyle \int_e^{+\infty} {dx \over x \ln^2 x} = _____


(2) 已知 e^y+ 6xy+ x^2 - 1=0,则 y''(0)= _____


(3) yy'' + y'^2 = 0 满足初始条件 y(0) = 1, \displaystyle y'(0)={1 \over 2} 的特解是 _____


(4) 已知实二次型 f(x_1,x_2,x_3) = a(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) + 4x_1x_2 + 4x_1x_3 + 4x_2x_3 经正交变换可化为标准型 f=6y_1^2,则 a= _____


(5) 设随机变量 X \sim N(\mu,\sigma^2),且二次方程 y2 + 4y + X = 0 无实根的概率为 0.5,则 \mu= _____


二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)


(1) 考虑二元函数 f(x,y) 的四条性质

  1. f(x,y) 在点 (x_0, y_0) 处连续
  2. f(x,y) 在点 (x_0, y_0) 处的一阶偏导数连续,
  3. f(x,y) 在点 (x_0, y_0) 处可微
  4. f(x,y) 在点 (x_0, y_0) 处的一阶偏导数存在

则有

  • (A) 2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 1
  • (B) 3 \Rightarrow 2 \Rightarrow 1
  • (C) 3 \Rightarrow 4 \Rightarrow 1
  • (D) 3 \Rightarrow 1 \Rightarrow 4

(2) 设 u_n \neq 0,且 \displaystyle \lim_{n\to \infty} {n \over u_n} = 1 ,则级数 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n + 1}\left({1 \over u_n} + {1 \over u_{n + 1}}\right)

  • (A) 发散
  • (B) 绝对收敛
  • (C) 条件收敛
  • (D) 收敛性根据所给条件不能判定

(3) 设函数 f(x)R^+ 上有界且可导,则

  • (A) 当 \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = 0 时,必有 \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f'(x) = 0
  • (B) 当 \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f'(x) 存在时,必有 \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f'(x) = 0
  • (C) 当 \displaystyle \lim_{x\to {0^+}} f(x) = 0 时,必有 \displaystyle \lim_{x\to {0^+}} f'(x) = 0
  • (D) 当 \displaystyle \lim_{x\to {0^+}} f'(x) 存在时,必有 \displaystyle \lim_{x\to {0^+}} f'(x) = 0

(4) 设有三张不同平面的方程为 a_ix+ b_iy+ c_iz = d_i (i = 1,2,3) 它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2,则这三张平面可能的位置关系为

  • (A)

  • (B)

  • (C)

  • (D)


(5) 设 XY 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为 f_X(x)f_Y(y),分布函数分别为 F_X(x)F_Y(y),则

  • (A) f_X(x) + f_Y(y) 必为密度函数
  • (B) f_X(x) f_Y(y) 必为密度函数
  • (C) F_X(x) + F_Y(y) 必为某一随机变量的分布函数
  • (D) F_X(x) F_Y(y) 必为某一随机变量的分布函数

三、(本题满分 6 分)

设函数 f(x)x=0 的某邻域具有一阶连续导数,且 f(0) \neq 0, f'(0) \neq 0,当 h \to 0 时,若 af(h)+ bf(2h) - f(0) = o(h),试求 a,b 的值


四、(本题满分7 分)

已知两曲线 y=f(x)\displaystyle y = \int_0^{\arctan x} e^{-t^2} dt 在点 (0,0) 处的切线相同,求此切线的方程,并求极限 \displaystyle \lim_{n\to \infty} nf\left(2 \over n\right)


五、(本题满分7 分)

计算二重积分 \displaystyle \iint\limits_D e^{\max\{x^2, y^2\}} dxdy,其中 D=\{(x,y) | 0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1\}


六、(本题满分 8 分)

设函数 f(x)R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面 (y >0) 内的有向分段光滑曲线,起点为 (a,b),终点为 (c,d),记 \displaystyle I = \int_L{1 \over y}[1+ y^2f(xy)] dx + {x \over y^2}[y^2f(xy)-1]dy

  • (1) 证明曲线积分 I 与路径 L 无关
  • (2) 当 ab = cd 时求 I 的值

七、(本题满分 7 分)

  • (1) 验证函数 \displaystyle y(x) = \sum_{n=0}^\infty { x^{3n} \over (3n)!} (-\infty < x < +\infty) 满足微分方程 y''+y'+ y= e^x

  • (2) 求幂级数 \displaystyle y(x) = \sum_{n=0}^\infty { x^{3n} \over (3n)!} 的和函数


八、(本题满分 7 分)

设有一小山,取它的底面所在的平面为 xOy 面,其底部所占的区域为 D = \{(x,y) | x^2 + y^2 -xy \leqslant 75\},小山的高度函数为 h(x, y) = 75 - x^2 - y^2 + xy

  • (1) 设 M(x_0,y_0) 为区域 D 上一点,问 h(x,y) 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为 g(x_0,y_0),写出 g(x_0,y_0) 的表达式
  • (2) 现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点;也就是说要在 D 的边界线上找出使 (1) 中 g(x,y) 达到最大值的点,试确定攀登起点的位置

九、(本题满分 6 分)

已知四阶方阵 A= (\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4)\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4 均为四维列向量,其中 \boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4 线性无关,\boldsymbol{\alpha}_1 = 2\boldsymbol{\alpha}_2 - \boldsymbol{\alpha}_3,若 \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\alpha}_4,求线性方程组 Ax= \boldsymbol{\beta} 的通解


十、(本题满分 8 分)

A,B 为同阶方阵

  • (1) 若 A,B 相似,证明 A,B 的特征多项式相等
  • (2) 举一个二阶方阵的例子说明 (1) 的逆命题不成立
  • (3) 当 A,B 为实对称矩阵时,证明 (1) 的逆命题成立

十一、(本题满分 7 分)

设随机变量 X 的概率密度为

f(x) = \begin{cases} \displaystyle {1 \over 2} \cos {x \over 2}, & 0 \leqslant x \leqslant \pi \\ 0, & 其他 \end{cases}

X 独立地重复观察 4 次,用 Y 表示观察值大于 \displaystyle {\pi \over 3} 的次数,求 Y^2 的数学期望


十二、(本题满分 7 分)

设总体 X 的概率分布为

X 0 1 2 3
P \theta^2 2\theta(1-\theta) \theta^2 1 - 2\theta

其中 \displaystyle \theta\left(0 < \theta < {1 \over 2}\right) 是未知参数,利用总体 X 的如下样本值

3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3

\theta 的矩估计和最大似然估计值