2013年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）

(1) 已知极限 $\displaystyle\lim_{x \to 0}{x - \arctan x \over x^k} = c$，其中 $k,c$ 为常数，且 $c \neq 0$，则

• (A) $\displaystyle k=2, c = -{1 \over 2}$

• (B) $\displaystyle k=2, c = {1 \over 2}$

• (C) $\displaystyle k=3, c = -{1 \over 3}$

• (D) $\displaystyle k=3, c = {1 \over 3}$

(2) 曲面 $x^2 + \cos(xy) + yz + x = 0$ 在点 $(0,1, -1)$ 处的切平面方程为

• (A) $x - y + z = -2$
• (B) $x + y + z =0$
• (C) $x - 2y + z = -3$
• (D) $x - y - z = 0$

(3) 设 $\displaystyle f(x) = \left|x - {1 \over 2}\right|$，$\displaystyle b_n = 2\int_0^1 f(x) \sin n\pi x dx$ $(n = 1, 2, \cdots)$，令 $\displaystyle S(x) = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin n \pi x$，则 $\displaystyle S\left(-{9 \over 4}\right)=$

• (A) $\displaystyle {3 \over 4}$

• (B) $\displaystyle {1 \over 4}$

• (C) $\displaystyle -{1 \over 4}$

• (D) $\displaystyle -{3 \over 4}$

(4) 设 $L_1:x^2 + y^2 =1$，$L_2:x^2 + y^2 =2$，$L_3:x^2 + 2y^2 =2$，$L_4:2x^2 + y^2 =2$ 为四条逆时针方向的平面曲线，记 $\displaystyle I_i = \oint_{L_i} \left(y + {y^3 \over 6}\right) dx + \left(2x - {x^3 \over 3}\right) dy$ $(i = 1,2,3,4)$，则 $\max \{ I_1, I_2, I_3, I_4\} =$

• (A) $I_1$
• (B) $I_2$
• (C) $I_3$
• (D) $I_4$

(5) 设 $A,B,C$ 均为 $n$ 阶矩阵，若 $AB=C$，且 $B$ 可逆，则

• (A) 矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $A$ 的行向量组等价
• (B) 矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $A$ 的列向量组等价
• (C) 矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $B$ 的行向量组等价
• (D) 矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $B$ 的列向量组等价

(6) 矩阵 $\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1 \end{bmatrix}$ 与 $\displaystyle \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ 相似的充分必要条件为

• (A) $a = 0, b = 2$
• (B) $a = 0, b$ 为任意常数
• (C) $a = 2, b = 0$
• (D) $a = 2, b$ 为任意常数

(7) 设 $X_1,X_2,X_3$ 是随机变量，且 $X_1 \sim N(0,1)$，$X_2 \sim N(0,2^2)$，$X_3 \sim N(5,3^2)$ $p_i = P\{ -2 \leqslant X_i \leqslant 2 \} \,(i=1,2,3)$，则

• (A) $p_1 > p_2 > p_3$
• (B) $p_2 > p_1 > p_3$
• (C) $p_3 > p_1 > p_2$
• (D) $p_1 > p_3 > p_2$

(8) 设随机变量 $X \sim t(n),Y \sim F(1,n)$，给定 $\alpha(0 < \alpha <0.5)$，常数 $c$ 满足 $P\{X > c\} = \alpha$，则 $P\{Y > c^2\}=$

• (A) $\alpha$
• (B) $1 - \alpha$
• (C) $2\alpha$
• (D) $1 - 2\alpha$

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

(9) 设函数 $y =f(x)$ 由方程 $y - x =e^{x(1 - y)}$ 确定，则 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} n\left[f\left({1 \over n}\right) - 1\right]=$ _____

(10) 已知 $y_1 = e^{3x} - xe^{2x}$，$y_1 = e^{x} - xe^{2x}$，$y_3 = - xe^{2x}$ 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 $3$ 个解，则该方程的通解为 $y=$ _____

(11) 设 $\begin{cases}x = \sin t \\ y = t\sin t + \cos t \\ \end{cases}$（$t$为参数），则 $\displaystyle {d^2 y \over dx^2}\bigg|_{t={\pi \over 4}}=$ _____

(12) $\displaystyle \int_1^{+\infty} {\ln x \over (1 + x)^2} dx=$ _____

(13) 设 $A= ( a_{ij} )$ 是 $3$ 阶非零矩阵，$|A|$ 为 $A$ 的行列式， $A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，若 $a_{ij} + Ai_{ij} = 0\, (i,j=1,2,3)$，则 $|A|=$ _____

(14) 设随机变量 $Y$ 服从参数为 $1$ 的指数分布，$a$ 为常数且大于零，则 $P\{Y \leqslant a + 1 | Y > a\}=$ _____

三、解答题（本题共 9 小题，共 94 分）

(15) （本题满分 10 分）

计算 $\displaystyle\int_0^1 {f(x) \over \sqrt{x}}dx$，其中 $\displaystyle f(x) = \int_1^x {\ln(t + 1) \over t} dt$

(16) （本题满分 10 分）

设数列 $\{a_n\}$ 满足条件：$a_0 = 3, a_1 = 1$，$a_{n-2} - n(n - 1)a_n = 0 \, (n \geqslant 2)$，$S(x)$ 是幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的和函数

• (1) 证明 $S''(x) - S(x) = 0$
• (2) 求 $S(x)$ 的表达式

(17) （本题满分 10 分）

求函数 $\displaystyle f(x,y) =\left(y + {x^3 \over 3}\right)e^{x + y}$ 的极值

(18) （本题满分 10 分）

设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1, 1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1) = 1$，证明：

• (1) 存在 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f'(\xi) = 1$
• (2) 存在 $\eta \in (-1,1)$，使得 $f''(\eta) + f'(\eta) = 1$

(19) （本题满分 10 分）

设直线 $L$ 过 $A(1,0,0),B(0,1,1)$ 两点，将 $L$ 绕 $z$ 轴旋转一周得到曲面 $\Sigma$，$\Sigma$ 与平面 $z=0,z=2$ 所围成的立体为 $\Omega$

• (1) 求曲面 $\Sigma$ 的方程
• (2) 求 $\Omega$ 的形心坐标

(20) （本题满分 11 分）

设 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$，$\displaystyle B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & b \end{bmatrix}$，当 $a,b$ 为何值时，存在矩阵 $C$ 使得 $AC - CA = B$，并求所有矩阵 $C$

(21) （本题满分 11 分）

设二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = 2(a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3)^2 + (b_1x_1 + b_2x_2 + b_3x_3)^2$，记

• (1) 证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^T + \boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^T$
• (2) 若 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2y_1^2 + y_2^2$

(22) （本题满分 11 分）

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}\displaystyle {1 \over 9} x^2, & 0 < x < 3, \\ 0, 其他 \\ \end{cases}$，令随机变量 $\displaystyle Y=\begin{cases} 2, & X\leqslant 1, \\ X, & 1 < X < 2, \\ 1, & X \geqslant 2\end{cases}$

• (1) 求 $Y$ 的分布函数
• (2) 求概率 $P\{X \leqslant Y\}$

(23) （本题满分 11 分）

设总体 $X$ 的概率密度为

其中 $\theta$ 为未知参数且大于零，$X_1,X_2,\cdots,X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本

• (1) 求 $\theta$ 的矩估计量
• (2) 求 $\theta$ 的最大似然估计量