2005年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

(1) 曲线 $\displaystyle y={x^2 \over 2x + 1}$ 的斜渐近线方程为 _____

(2) 微分方程 $xy'+ 2y = x\ln x$ 满足 $\displaystyle y(1) = - {1 \over 9}$ 的解为 _____

(3) 设函数 $\displaystyle u(x,y,z) = 1 + {x^2 \over 6} + {y^2 \over 12} + {z^2 \over 18}$，单位向量 $\displaystyle \boldsymbol{n}={1 \over \sqrt{3}}(1, 1, 1)$，则 $\displaystyle {\partial u \over \partial \boldsymbol{n}}\bigg|_{(1, 2, 3)}=$ _____

—-

(4) 设 $\Omega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^2 + y^2}$ 与半球面 $z = \sqrt{ R^2 - x^2 - y^2}$ 围成的空间区域，$\Sigma$ 是 $\Omega$ 的整个边界的外侧，则 $\displaystyle\iint\limits_\Sigma xdydz + ydzdx + zdxdy =$ _____

(5) 设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 均为 $3$ 维列向量，记矩阵 $A=(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)$, $B=(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 + 4\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_1 + 3\boldsymbol{\alpha}_2 + 9\boldsymbol{\alpha}_3)$，如果 $|A| =1$，那么 $|B|=$ _____

(6) 从数 $1,2,3,4$ 中任取一个数，记为 $X$，再从 $1,2,\cdots,X$ 中任取一个数，记为 $Y$，则 $P\{Y = 2\}=$ _____

二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）

(7) 设函数 $\displaystyle f(x) =\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{1 + |x|^{3n}}$，则 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内

• (A) 处处可导
• (B) 恰有一个不可导点
• (C) 恰有两个不可导点
• (D) 至少有三个不可导点

(8) 设 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 的一个原函数，“$M \Leftrightarrow N$” 表示 “$M$ 的充分必要条件是 $N$”，则必有

• (A) $F(x)$ 是偶函数 $\Leftrightarrow$ $f(x)$ 是奇函数
• (B) $F(x)$ 是奇函数 $\Leftrightarrow$ $f(x)$ 是偶函数
• (C) $F(x)$ 是周期函数 $\Leftrightarrow$ $f(x)$ 是周期函数
• (D) $F(x)$ 是单调函数 $\Leftrightarrow$ $f(x)$ 是单调函数

(9) 设函数 $\displaystyle u(x,y) = \varphi(x+y) + \varphi(x-y) + \int_{x - y}^{x + y} \psi(t)dt$，其中函数 $\varphi$ 具有二阶导数， $\psi$ 具有一阶导数，则必有

• (A) $\displaystyle {\partial^2 u \over \partial x^2} = -{\partial^2 u \over \partial y^2}$
• (B) $\displaystyle {\partial^2 u \over \partial x^2} = {\partial^2 u \over \partial y^2}$
• (C) $\displaystyle {\partial^2 u \over \partial x \partial y} = -{\partial^2 u \over \partial y^2}$
• (D) $\displaystyle {\partial^2 u \over \partial x \partial y} = {\partial^2 u \over \partial x^2}$

(10) 设有三元方程 $xy- z \ln y + e^{xz} = 1$，根据隐函数存在定理，存在点 $(0,1,1)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程

• (A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $z = z(x,y)$
• (B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x= x(y,z)$ 和 $z = z(x,y)$
• (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $y= y(x,z)$ 和 $z = z(x,y)$
• (D) 可确定两个具有连续编导数的隐函数 $x= x(y,z)$ 和 $y=y(x,z)$

(11) 设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是矩阵 $A$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$，则 $\boldsymbol{\alpha}_1,A(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2)$ 线性无关的充分必要条件是

• (A) $\lambda_1 \neq 0$
• (B) $\lambda_2 \neq 0$
• (C) $\lambda_1 = 0$
• (D) $\lambda_2 = 0$

(12) 设 $A$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶可逆矩阵，交换 $A$ 的第$1$ 行与第 $2$ 行得矩阵 $B$，$A^*,B^*$ 分别为 $A,B$ 的伴随矩阵，则

• (A) 交换 $A^*$ 的第 $1$ 列与第 $2$ 列得 $B^*$
• (B) 交换 $A^*$ 的第 $1$ 行与第 $2$ 行得 $B^*$
• (C) 交换 $A^*$ 的第 $1$ 列与第 $2$ 列得 $-B^*$
• (D) 交换 $A^*$ 的第 $1$ 行与第 $2$ 行得 $-B^*$

(13) 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率分布为

已知随机事件 $\{X=0\}$ 与 $\{X + Y = 1\}$ 相互独立，则

• (A) $a = 0.2,b = 0.3$
• (B) $a = 0.4,b = 0.1$
• (C) $a = 0.3,b = 0.2$
• (D) $a = 0.1,b = 0.4$

(14) 设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ $(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $N(0, 1)$ 的简单随机样本，$\overline{X}$ 为样本均值，$S^2$ 为样本方差，则

• (A) $n\overline{X} \sim N(0,1)$

• (B) $nS^2 \sim \chi^2(n)$

• (C) $\displaystyle {(n - 1)\overline{x} \over S} \sim t(n - 1)$

• (D) $\displaystyle {(n - 1)X_1^2 \over \displaystyle \sum_{i = 2}^n X_i^2} \sim F(1, n - 1)$

三、解答题（本题共 9 小题，共 94 分）

(15) （本题满分 11 分）

设 $D=\{(x,y) | x^2 + y^2 \leqslant \sqrt{2}, x\geqslant 0, y \geqslant 0\}$，$[1 + x^2 + y^2]$ 表示不超过 $1 + x^2 + y^2$ 的最大整数，计算二重积分 $\displaystyle \iint\limits_D xy[1 + x^2 + y^2]dxdy$

(16) （本题满分 12 分）

求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n -1}\left[1 + {1 \over n(2n - 1)}\right] x^{2n}$ 的收敛区间与和函数 $f(x)$

(17) （本题满分 11 分）

如图，曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$，点 $(3,2)$ 是它的一个拐点，直线 $l_1$ 与 $l_2$ 分别是曲线 $C$ 在点 $(0,0)$ 与 $(3,2)$ 处的切线，其交点为 $(2,4)$，设函数 $f(x)$ 具有三阶连续导数，计算定积分 $\displaystyle \int_0^3 (x^2 + x) f'''(x) dx$

(18) （本题满分 12 分）

已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0, 1)$ 内可导，且 $f(0) = 0$,$f(1) = 1$，证明：

• (1) 存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f(\xi) = 1 - \xi$
• (2) 存在两个不同的点 $\eta, \zeta \in (0,1)$ ，使得 $f'(\eta)f'(\zeta) = 1$

(19) （本题满分 12 分）

设函数 $\varphi(y)$ 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 $L$ 上，曲线积分 $\displaystyle \oint_L {\varphi(y) dx + 2xy dy \over 2x^2 + y^3}$ 的值恒为同一常数

• (1) 证明：对右半平面 $x>0$ 内的任意分段光滑简单闭曲线 $C$，有 $\displaystyle \oint_L {\varphi(y) dx + 2xy dy \over 2x^2 + y^3} = 0$

• (2) 求函数 $\varphi(y)$ 的表达式

(20) （本题满分 9 分）

已知二次型 $f(x_1,x_2, x_3) = (1-a) x_1^2 + (1-a)x_2^2＋ 2x_3^2＋ 2(1 + a)x_1x_2$ 的秩为 $2$

• (1) 求 $a$ 的值
• (2) 求正交变换 $x=Qy$，把 $f(x_1,x_2, x_3)$ 化成标准形
• (3) 求方桯 $f(x_1,x_2, x_3)=0$ 的解

(21) （本题满分 9 分）

已知 $3$ 阶矩阵 $A$ 的第一行是 $(a,b, c)$, $a,b,c$ 不全为零，矩阵 $\displaystyle B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & k \end{bmatrix}$ ($k$为常数)，且$AB=O$，求线性方程组 $Ax=0$ 的通解

(22) （本题满分 9 分）

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为

求：

• (1) $(X,Y)$ 的边缘概率密度 $f_X(x),f_Y(y)$
• (2) $Z = 2X-Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$

(23) （本题满分 9 分）

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$, $(n > 2)$ 为来自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本，$\overline{X}$ 为样本均值，记 $Y_i = X_i - \overline{X}$,$i = 1, 2, \cdots, n$

求：

• (1) $Y_i$ 的方差 $D(Y_i)$,$i = 1, 2, \cdots, n$
• (2) $Y_1$ 与 $Y_n$ 的协方差 ${\rm Cov}(Y_1,Y_n)$