2019年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）

(1) 当 $x \to 0$ 时，若 $x - \tan x$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k=$

• (A) $1$
• (B) $2$
• (C) $3$
• (D) $4$

(2) 设函数 $\displaystyle f(x)=\begin{cases} x|x|, & x\leqslant 0, \\ x\ln x, & x > 0,\end{cases}$，则 $x = 0$ 是 f(x) 的

• (A) 可导点，极值点
• (B) 不可导点，极值点
• (C) 可导点，非极值点
• (D) 不可导点，非极值点

(3) 设 $\{u_n\}$ 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是

• (A) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {u_n \over n}$

• (B) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n{1 \over u_n}$

• (C) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left( 1 - {u_n \over u_{n + 1}}\right)$

• (D) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (u_{n+2}^2 - u_n^2)$

(4) 设函数 $\displaystyle Q(x,y) = {x \over y^2}$，如果对上半平面 $(y > 0)$ 内的任意有向光滑封闭曲线 $C$ 都有 $\displaystyle \oint_C P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy = 0$，那么函数 $P(x,y)$ 可取为

• (A) $\displaystyle y - {x^2 \over y^3}$

• (B) $\displaystyle {1 \over y} - {x^2 \over y^3}$

• (C) $\displaystyle {1 \over x} - {1 \over y}$

• (D) $\displaystyle x - {1 \over y}$

(5) 设 $A$ 是 $3$ 阶实对称矩阵，$E$ 是 $3$ 阶单位矩阵，若 $A^2 + A = 2E$，且 $|A|= 4$，则二次型 $x^TAx$ 的规范形为

• (A) $y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$
• (B) $y_1^2 + y_2^2 - y_3^2$
• (C) $y_1^2 - y_2^2 - y_3^2$
• (D) $-y_1^2 - y_2^2 - y_3^2$

(6) 如图所示，有 $3$ 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程

组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 $A,\overline{A}$ 则

• (A) $r(A) = 2, r(\overline{A}) = 3$
• (B) $r(A) = 2, r(\overline{A}) = 2$
• (C) $r(A) = 1, r(\overline{A}) = 2$
• (D) $r(A) = 1, r(\overline{A}) = 1$

(7) 设 $A,B$ 为随机事件，则 $P(A) = P(B)$ 的充分必要条件是

• (A) $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
• (B) $P(AB) = P (A) P(B)$
• (C) $P(A \overline{B}) = P (B\overline{A})$
• (D) $P(AB) = P (\overline{A}\,\overline{B})$

(8) 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，则 $P\{|X - Y| < 1\}$

• (A) 与 $\mu$ 无关，而与 $\sigma^2$ 有关
• (B) 与 $\mu$ 有关，而与 $\sigma^2$ 无关
• (C) 与 $\mu,\sigma^2$ 都有关
• (D) 与 $\mu,\sigma^2$ 都无关

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

(9) 设函数 $f(u)$ 可导，$z = f(\sin y - \sin x) + xy$，则 $\displaystyle {1\over \cos x}\cdot{\partial z \over \partial x} + {1 \over \cos y}\cdot{\partial z \over \partial y}=$ _____

(10) 微分方程 $2yy'- y^2 - 2 = 0$ 满足条件 $y(0) = 1$ 的特解 $y=$ _____

(11) 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty {(- 1)^n \over (2n)!}x^n$ 在$(0, +\infty)$ 内的和函数 $S(x)=$ _____

(12) 设 $\Sigma$ 为曲面 $x^2 + y^2 + 4z^2 = 4 \, (z \geqslant 0)$ 的上侧，则 $\displaystyle \iint\limits_\Sigma \sqrt{4 - x^2 - 4z^2}dxdy =$ _____

(13) 设 $A=(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3)$ 为 $3$ 阶矩阵，若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性无关，且 $\boldsymbol{\alpha}_3 = -\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2$，则线性方程组 $Ax =0$ 的通解为 _____

(14) 设随机变量 $X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \displaystyle {x \over 2}, & 0 < x < 2, \\ 0, & 其他 \\\end{cases}$ $F(x)$ 为 $X$ 的分布函数，$E(X)$ 为 $X$ 的数学期望，则 $P\{F(X) > E(X) - 1 \}=$ _____

三、解答题（本题共 9 小题，共 94 分）

(15) （本题满分 10 分）

设函数 $y(x)$ 是微分方程 $\displaystyle y'+ xy = e^{-{x^2 \over 2}}$ 满足条件 $y(0) = 0$ 的特解

• (1) 求 $y(x)$
• (2) 求曲线 $y = y(x)$ 的凹凸区间及拐点

(16) （本题满分 10 分）

设 $a, b$ 为实数，函数 $z = 2 + ax^2 + by^2$ 在点 $(3, 4)$ 处的方向导数中，沿方向 $\boldsymbol{l} = -3\boldsymbol{i} - 4\boldsymbol{j}$ 的方向导数最大，最大值为 $10$

• (1) 求 $a,b$
• (2) 求曲面 $z = 2 + ax^2 + by^2 \, (z \geqslant 0)$ 的面积

(17) （本题满分 10 分）

求曲线 $y = e^{-x}\sin x \, (x \geqslant 0)$ 与 $x$ 轴之间图形的面积

(18) （本题满分 10 分）

设 $\displaystyle a_n = \int_0^1 x^n \sqrt{1 - x^2} dx \, (n =0, 1, 2, \cdots)$

• (1) 证明数列 $\{ a_n \}$ 单调递减，且 $\displaystyle a_n = {n - 1 \over n + 2} a_{n-2}\, (n = 2, 3, \cdots)$

• (2) 求 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}$

(19) （本题满分 10 分）

设 $\Omega$ 是由锥面 $x^2＋ (y - z)^2 = (1 - z)^2 \, (0 \leqslant z \leqslant 1)$ 与平面 $z = 0$ 围成的锥体，求 $\Omega$ 的形心坐标

(20) （本题满分 11 分）

设向量组 $\alpha_1 = (1, 2, 1)^T, \alpha_2＝(1,3,2)^T, \alpha_3＝ (1, a, 3)^T$ 为 $R^3$ 的一个基，$\beta = (1, 1, 1)^T$ 在这个基下的坐标为 $(b, c, 1)^T$

• (1) 求 $a,b,c$
• (2) 证明 $\alpha_2, \alpha_3, \beta$ 为 $R^3$ 的一个基，并求 $a_2,a_3,\beta$ 到 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的过渡矩阵

(21) （本题满分 11 分）

已知矩阵 $\displaystyle A=\begin{bmatrix} -2 & -2 & 1 \\2 & x & -2 \\0 & 0 & -2 \\\end{bmatrix}$ 与 $\displaystyle B=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\0 & -1 & 0 \\0 & 0 & y \\\end{bmatrix}$ 相似

• (1) 求 $x,y$
• (2) 求可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = B$

(22) （本题满分 11 分）

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 服从参数为 $1$ 的指数分布，$Y$ 的概率分布为 $P\{Y=-1\} = p,P\{Y=1\} =1 - p\,(0 <p < 1)$，令 $Z = XY$

• (1) 求 $Z$ 的概率密度
• (2) $p$ 为何值时，$X$ 与 $Z$ 不相关
• (3) $X$ 与 $Z$ 是否相互独立？

(23) （本题满分 11 分）

设总体 $X$ 的概率密度为

其中 $\mu$ 是已知参数，$\sigma > 0$ 是未知参数，$A$ 是常数，$X_1, X_2, \cdots,X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本

• (1) 求 $A$
• (2) 求 $\sigma^2$ 的最大似然估计量