2019考研数学一真题

CreateTime 2021-03-06
UpdateTime 2021-12-27

2019年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)


(1) 当 x \to 0 时,若 x - \tan xx^k 是同阶无穷小,则 k=

  • (A) 1
  • (B) 2
  • (C) 3
  • (D) 4

(2) 设函数 \displaystyle f(x)=\begin{cases} x|x|, & x\leqslant 0, \\ x\ln x, & x > 0,\end{cases},则 x = 0 是 f(x) 的

  • (A) 可导点,极值点
  • (B) 不可导点,极值点
  • (C) 可导点,非极值点
  • (D) 不可导点,非极值点

(3) 设 \{u_n\} 是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是

  • (A) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty {u_n \over n}

  • (B) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n{1 \over u_n}

  • (C) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left( 1 - {u_n \over u_{n + 1}}\right)

  • (D) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (u_{n+2}^2 - u_n^2)


(4) 设函数 \displaystyle Q(x,y) = {x \over y^2},如果对上半平面 (y > 0) 内的任意有向光滑封闭曲线 C 都有 \displaystyle \oint_C P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy = 0,那么函数 P(x,y) 可取为

  • (A) \displaystyle y - {x^2 \over y^3}

  • (B) \displaystyle {1 \over y} - {x^2 \over y^3}

  • (C) \displaystyle {1 \over x} - {1 \over y}

  • (D) \displaystyle x - {1 \over y}


(5) 设 A3 阶实对称矩阵,E3 阶单位矩阵,若 A^2 + A = 2E,且 |A|= 4,则二次型 x^TAx 的规范形为

  • (A) y_1^2 + y_2^2 + y_3^2
  • (B) y_1^2 + y_2^2 - y_3^2
  • (C) y_1^2 - y_2^2 - y_3^2
  • (D) -y_1^2 - y_2^2 - y_3^2

(6) 如图所示,有 3 张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程

a_{i1} x + a_{i2}y + a_{i3}z = d_i \, (i = 1, 2, 3)

组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A,\overline{A}

  • (A) r(A) = 2, r(\overline{A}) = 3
  • (B) r(A) = 2, r(\overline{A}) = 2
  • (C) r(A) = 1, r(\overline{A}) = 2
  • (D) r(A) = 1, r(\overline{A}) = 1


(7) 设 A,B 为随机事件,则 P(A) = P(B) 的充分必要条件是

  • (A) P(A \cup B) = P(A) + P(B)
  • (B) P(AB) = P (A) P(B)
  • (C) P(A \overline{B}) = P (B\overline{A})
  • (D) P(AB) = P (\overline{A}\,\overline{B})

(8) 设随机变量 XY 相互独立,且都服从正态分布 N(\mu, \sigma^2),则 P\{|X - Y| < 1\}

  • (A) 与 \mu 无关,而与 \sigma^2 有关
  • (B) 与 \mu 有关,而与 \sigma^2 无关
  • (C) 与 \mu,\sigma^2 都有关
  • (D) 与 \mu,\sigma^2 都无关

二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)


(9) 设函数 f(u) 可导,z = f(\sin y - \sin x) + xy,则 \displaystyle {1\over \cos x}\cdot{\partial z \over \partial x} + {1 \over \cos y}\cdot{\partial z \over \partial y}= _____


(10) 微分方程 2yy'- y^2 - 2 = 0 满足条件 y(0) = 1 的特解 y= _____


(11) 幂级数 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty {(- 1)^n \over (2n)!}x^n(0, +\infty) 内的和函数 S(x)= _____


(12) 设 \Sigma 为曲面 x^2 + y^2 + 4z^2 = 4 \, (z \geqslant 0) 的上侧,则 \displaystyle \iint\limits_\Sigma \sqrt{4 - x^2 - 4z^2}dxdy = _____


(13) 设 A=(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3)3 阶矩阵,若 \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 线性无关,且 \boldsymbol{\alpha}_3 = -\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2,则线性方程组 Ax =0 的通解为 _____


(14) 设随机变量 X 的概率密度为 \displaystyle f(x) = \begin{cases} \displaystyle {x \over 2}, & 0 < x < 2, \\ 0, & 其他 \\\end{cases} F(x)X 的分布函数,E(X)X 的数学期望,则 P\{F(X) > E(X) - 1 \}= _____


三、解答题(本题共 9 小题,共 94 分)


(15) (本题满分 10 分)

设函数 y(x) 是微分方程 \displaystyle y'+ xy = e^{-{x^2 \over 2}} 满足条件 y(0) = 0 的特解

  • (1) 求 y(x)
  • (2) 求曲线 y = y(x) 的凹凸区间及拐点

(16) (本题满分 10 分)

a, b 为实数,函数 z = 2 + ax^2 + by^2 在点 (3, 4) 处的方向导数中,沿方向 \boldsymbol{l} = -3\boldsymbol{i} - 4\boldsymbol{j} 的方向导数最大,最大值为 10

  • (1) 求 a,b
  • (2) 求曲面 z = 2 + ax^2 + by^2 \, (z \geqslant 0) 的面积

(17) (本题满分 10 分)

求曲线 y = e^{-x}\sin x \, (x \geqslant 0)x 轴之间图形的面积


(18) (本题满分 10 分)

\displaystyle a_n = \int_0^1 x^n \sqrt{1 - x^2} dx \, (n =0, 1, 2, \cdots)

  • (1) 证明数列 \{ a_n \} 单调递减,且 \displaystyle a_n = {n - 1 \over n + 2} a_{n-2}\, (n = 2, 3, \cdots)

  • (2) 求 \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}


(19) (本题满分 10 分)

\Omega 是由锥面 x^2+ (y - z)^2 = (1 - z)^2 \, (0 \leqslant z \leqslant 1) 与平面 z = 0 围成的锥体,求 \Omega 的形心坐标


(20) (本题满分 11 分)

设向量组 \alpha_1 = (1, 2, 1)^T, \alpha_2=(1,3,2)^T, \alpha_3= (1, a, 3)^TR^3 的一个基,\beta = (1, 1, 1)^T 在这个基下的坐标为 (b, c, 1)^T

  • (1) 求 a,b,c
  • (2) 证明 \alpha_2, \alpha_3, \betaR^3 的一个基,并求 a_2,a_3,\beta\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 的过渡矩阵

(21) (本题满分 11 分)

已知矩阵 \displaystyle A=\begin{bmatrix} -2 & -2 & 1 \\2 & x & -2 \\0 & 0 & -2 \\\end{bmatrix}\displaystyle B=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\0 & -1 & 0 \\0 & 0 & y \\\end{bmatrix} 相似

  • (1) 求 x,y
  • (2) 求可逆矩阵 P 使得 P^{-1}AP = B

(22) (本题满分 11 分)

设随机变量 XY 相互独立,X 服从参数为 1 的指数分布,Y 的概率分布为 P\{Y=-1\} = p,P\{Y=1\} =1 - p\,(0 <p < 1),令 Z = XY

  • (1) 求 Z 的概率密度
  • (2) p 为何值时,XZ 不相关
  • (3) XZ 是否相互独立?

(23) (本题满分 11 分)

设总体 X 的概率密度为

f(x;\sigma^2) = \begin{cases} \displaystyle {A\over\sigma} e^{-{(x - \mu)^2 \over 2\sigma^2}}, & x \geqslant \mu, \\ 0, & x < \mu, \\ \end{cases}

其中 \mu 是已知参数,\sigma > 0 是未知参数,A 是常数,X_1, X_2, \cdots,X_n 是来自总体 X 的简单随机样本

  • (1) 求 A
  • (2) 求 \sigma^2 的最大似然估计量