1999年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) $\displaystyle \lim_{x\to 0} \left({1 \over x^2} - {1 \over x\tan x}\right)=$ _____

(2) $\displaystyle {d \over dx} \int_0^x\sin(x-t)^2 dt=$ _____

(3) $y''-4y = e^{2x}$ 的通解为 $y=$ _____

(4)设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的元素全为1，则 $A$ 的 $n$ 个特征值是 _____

(5) 设两两相互独立的三事件 $A,B$ 和 $C$ 满足条件$ABC = \varnothing$,$\displaystyle P(A) = P(B) = P(C) < {1 \over 2}$，且已知 $\displaystyle P(A \cup B \cup C) = {9 \over 16}$，则 $P(A)=$ _____

二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(6) 设 $f(x)$ 是连续函数，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则

• (A) 当 $f(x)$ 是奇函数时，$F(x)$ 必是偶函数
• (B) 当 $f(x)$ 是偶函数时，$F(x)$ 必是奇函数
• (C) 当 $f(x)$ 是周期函数时，$F(x)$ 必是周期函数
• (D) 当 $f(x)$ 是单调增函数时，$F(x)$ 必是单调增函数

(7) 设 $f(x) =\begin{cases} \displaystyle {1 - \cos x \over \sqrt{x}}, & x > 0 \\ x^2 g(x), & x \leqslant 0\end{cases}$，其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处

• (A) 极限不存在
• (B) 极限存在，但不连续
• (C) 连续但不可导
• (D) 可导

(8) 设 $\displaystyle f(x)= \begin{cases} x, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 2 - 2x, & \displaystyle {1 \over 2} < x < 1,\end{cases}$, $\displaystyle S(x)= {a_0 \over 2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos n\pi x$,$-\infty < x < +\infty$，其中 $\displaystyle a_n=2\int_0^1 f(x)\cos n \pi x dx$ $(n = 0, 1, 2,\cdots)$，则 $\displaystyle S(-{5 \over 2})$ 等于

• (A) $\displaystyle {1 \over 2}$

• (B) $-\displaystyle {1 \over 2}$

• (C) $\displaystyle {3 \over 4}$

• (D) $\displaystyle -{3 \over 4}$

(9) 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 矩阵，则

• (A) 当 $m>n$ 时，必有行列式 $|AB| \neq 0$
• (B) 当 $m>n$ 时，必有行列式 $|AB| = 0$
• (C) 当 $n>m$ 时，必有行列式 $|AB| \neq 0$
• (D) 当 $n>m$ 时，必有行列式 $|AB| = 0$

(10) 设两个相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 分别服从正态分布 $N(0,1)$ 和 $N(1,1)$，则

• (A) $\displaystyle P\{X + Y \leqslant 0\} = {1 \over 2}$

• (B) $\displaystyle P\{X + Y \leqslant 1\} = {1 \over 2}$

• (C) $\displaystyle P\{X - Y \leqslant 0\} = {1 \over 2}$

• (D) $\displaystyle P\{X - Y \leqslant 1\} = {1 \over 2}$

三、解答题（本题共 10 小题，共 70 分）

(11)（本题满分 6 分）

设 $y = y(x)$,$z = z(x)$ 是由方程 $z=xf(x+y)$ 和 $F(x,y,z) = 0$ 所确定的函数，其中 $f$ 和 $F$ 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 $\displaystyle {dz \over dx}$

(12)（本题满分 5 分）

求 $\displaystyle I = \int_L [e^x\sin y- b(x + y)]dx+ (e^x\cos y - ax)dy$，其中$a,b$ 为正的常数，$L$ 为从点 $A(2a,0)$ 沿曲线 $y=\sqrt{2ax - x^2}$ 到点 $O(0,0)$ 的弧

(13)（本题满分 6 分）

设函数 $y(x)(x \geqslant 0)$ 二阶可导且 $y'(x) > 0$, $y(O) = 1$，过曲线 $y= y(x)$ 上任意一点 $P(x,y)$ 作该曲线的切线及 $x$
轴的垂线，上述两直线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积记为 $S_1$ ，区间 $[0,x]$ 上以 $y= y(x)$ 为曲线的曲边梯形面积记为 $S_2$，并设 $2S_1 -S_2$ 恒为 $1$，求曲线 $y=y(x)$ 的方程

(14)（本题满分 7 分）

证明：当 $x>0$ 时，$(x^2 -1) \ln x \geqslant (x-1)^2$

(15)（本题满分 6 分）

为清除井底的淤泥，用线绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，如图，已知井深 $30m$，抓斗自重 $400N$，缆绳每米重 $50N$，抓斗抓起的污泥重 $2000N$，提升速度为 $3m/s$，在提升过程中，污泥以 $20N/s$ 的速率从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？

说明：
- 1. $1N \times 1m=1J$；$m, N, s, J$ 分别表示米，牛，秒，焦
- 2. 抓斗的高度及位于井口上方的线绳长度忽略不计

(16)（本题满分7 分）

设 $\Sigma$ 为椭球面 $\displaystyle {x^2 \over 2} + {y^2 \over 2} + z^2 = 1$ 的上半部分，点 $P(x,y,z) \in \Sigma$，$\pi$ 为 $\Sigma$ 在点 $P$ 处的切平面，$\rho(x,y,z)$ 为点 $O(0,0,0)$ 到平面 $\pi$ 的距离，求 $\displaystyle \iint\limits_\Sigma {z \over \rho(x, y, z)} dS$

(17)（本题满分 7 分）

设 $\displaystyle a_n = \int_0^{\pi \over 4} \tan^n x dx$

• (1) 求 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1 \over n} (a_n + a_{n + 2})$ 的值
• (2) 试正对任意的常数 $\lambda > 0$，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {a_n \over \lambda}$ 收敛

(18)（本题满分 8 分）

设矩阵 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1 - c & 0 & -a \end{bmatrix}$，其行列式 $|A| = -1$，又 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 有一个特征值 $\lambda_0$，属于 $\lambda_0$ 的一个特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}=(-1, -1, 1)^T$，求 $a,b,c$ 和 $\lambda_0$ 的值

(19)（本题满分 6 分）

设 $A$ 为 $m$ 阶实对称矩阵且正定，$B$ 为 $m\times n$ 实矩阵，$B^T$ 为 $B$ 的转置矩阵，试正 $B^TAB$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $B$ 的秩 $r(B)= n$

(20)（本题满分 8 分）

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，下表列出了二维随机变量 $(X,Y)$ 联合分布率及关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处

(21)（本题满分 6 分）

设 $X$ 的概率密度为

$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本

• (1) 求 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$
• (2) 求 $\hat{\theta}$ 的方差 $D(\hat{\theta})$