1999考研数学一真题

CreateTime 2021-03-15
UpdateTime 2021-11-14

1999年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)


(1) \displaystyle \lim_{x\to 0} \left({1 \over x^2} - {1 \over x\tan x}\right)= _____


(2) \displaystyle {d \over dx} \int_0^x\sin(x-t)^2 dt= _____


(3) y''-4y = e^{2x} 的通解为 y= _____


(4)设 n 阶矩阵 A 的元素全为1,则 An 个特征值是 _____


(5) 设两两相互独立的三事件 A,BC 满足条件ABC = \varnothing,\displaystyle P(A) = P(B) = P(C) < {1 \over 2},且已知 \displaystyle P(A \cup B \cup C) = {9 \over 16},则 P(A)= _____


二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)


(6) 设 f(x) 是连续函数,F(x)f(x) 的原函数,则

  • (A) 当 f(x) 是奇函数时,F(x) 必是偶函数
  • (B) 当 f(x) 是偶函数时,F(x) 必是奇函数
  • (C) 当 f(x) 是周期函数时,F(x) 必是周期函数
  • (D) 当 f(x) 是单调增函数时,F(x) 必是单调增函数

(7) 设 f(x) =\begin{cases} \displaystyle {1 - \cos x \over \sqrt{x}}, & x > 0 \\ x^2 g(x), & x \leqslant 0\end{cases},其中 g(x) 是有界函数,则 f(x)x=0

  • (A) 极限不存在
  • (B) 极限存在,但不连续
  • (C) 连续但不可导
  • (D) 可导

(8) 设 \displaystyle f(x)= \begin{cases} x, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 2 - 2x, & \displaystyle {1 \over 2} < x < 1,\end{cases}, \displaystyle S(x)= {a_0 \over 2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos n\pi x,-\infty < x < +\infty,其中 \displaystyle a_n=2\int_0^1 f(x)\cos n \pi x dx (n = 0, 1, 2,\cdots),则 \displaystyle S(-{5 \over 2}) 等于

  • (A) \displaystyle {1 \over 2}

  • (B) -\displaystyle {1 \over 2}

  • (C) \displaystyle {3 \over 4}

  • (D) \displaystyle -{3 \over 4}


(9) 设 Am\times n 矩阵,Bn \times m 矩阵,则

  • (A) 当 m>n 时,必有行列式 |AB| \neq 0
  • (B) 当 m>n 时,必有行列式 |AB| = 0
  • (C) 当 n>m 时,必有行列式 |AB| \neq 0
  • (D) 当 n>m 时,必有行列式 |AB| = 0

(10) 设两个相互独立的随机变量 XY 分别服从正态分布 N(0,1)N(1,1),则

  • (A) \displaystyle P\{X + Y \leqslant 0\} = {1 \over 2}

  • (B) \displaystyle P\{X + Y \leqslant 1\} = {1 \over 2}

  • (C) \displaystyle P\{X - Y \leqslant 0\} = {1 \over 2}

  • (D) \displaystyle P\{X - Y \leqslant 1\} = {1 \over 2}


三、解答题(本题共 10 小题,共 70 分)


(11)(本题满分 6 分)

y = y(x),z = z(x) 是由方程 z=xf(x+y)F(x,y,z) = 0 所确定的函数,其中 fF 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求 \displaystyle {dz \over dx}


(12)(本题满分 5 分)

\displaystyle I = \int_L [e^x\sin y- b(x + y)]dx+ (e^x\cos y - ax)dy,其中a,b 为正的常数,L 为从点 A(2a,0) 沿曲线 y=\sqrt{2ax - x^2} 到点 O(0,0) 的弧


(13)(本题满分 6 分)

设函数 y(x)(x \geqslant 0) 二阶可导且 y'(x) > 0, y(O) = 1,过曲线 y= y(x) 上任意一点 P(x,y) 作该曲线的切线及 x
轴的垂线,上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S_1 ,区间 [0,x] 上以 y= y(x) 为曲线的曲边梯形面积记为 S_2,并设 2S_1 -S_2 恒为 1,求曲线 y=y(x) 的方程


(14)(本题满分 7 分)

证明:当 x>0 时,(x^2 -1) \ln x \geqslant (x-1)^2


(15)(本题满分 6 分)

为清除井底的淤泥,用线绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口,如图,已知井深 30m,抓斗自重 400N,缆绳每米重 50N,抓斗抓起的污泥重 2000N,提升速度为 3m/s,在提升过程中,污泥以 20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?

说明:
- 1. 1N \times 1m=1Jm, N, s, J 分别表示米,牛,秒,焦
- 2. 抓斗的高度及位于井口上方的线绳长度忽略不计


(16)(本题满分7 分)

\Sigma 为椭球面 \displaystyle {x^2 \over 2} + {y^2 \over 2} + z^2 = 1 的上半部分,点 P(x,y,z) \in \Sigma\pi\Sigma 在点 P 处的切平面,\rho(x,y,z) 为点 O(0,0,0) 到平面 \pi 的距离,求 \displaystyle \iint\limits_\Sigma {z \over \rho(x, y, z)} dS


(17)(本题满分 7 分)

\displaystyle a_n = \int_0^{\pi \over 4} \tan^n x dx

  • (1) 求 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1 \over n} (a_n + a_{n + 2}) 的值
  • (2) 试正对任意的常数 \lambda > 0,级数 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty {a_n \over \lambda} 收敛

(18)(本题满分 8 分)

设矩阵 \displaystyle A = \begin{bmatrix} a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1 - c & 0 & -a \end{bmatrix},其行列式 |A| = -1,又 A 的伴随矩阵 A^* 有一个特征值 \lambda_0,属于 \lambda_0 的一个特征向量为 \boldsymbol{\alpha}=(-1, -1, 1)^T,求 a,b,c\lambda_0 的值


(19)(本题满分 6 分)

Am 阶实对称矩阵且正定,Bm\times n 实矩阵,B^TB 的转置矩阵,试正 B^TAB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)= n


(20)(本题满分 8 分)

设随机变量 XY 相互独立,下表列出了二维随机变量 (X,Y) 联合分布率及关于 X 和关于 Y 的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处

X \ Y y_1 y_2 y_3 P\{X=x_i\}=p_{i\cdot}
x_1 {1 \over 8}
x_2 {1 \over 8}
P\{Y=y_i\}=p_{\cdot j} {1 \over 6} 1

(21)(本题满分 6 分)

X 的概率密度为

f(x) = \begin{cases} \displaystyle {6x \over \theta^3}(\theta - x), & 0 < x < \theta \\ 0, & 其他 \end{cases}

X_1, X_2, \cdots, X_n 是取自总体 X 的简单随机样本

  • (1) 求 \theta 的矩估计量 \hat{\theta}
  • (2) 求 \hat{\theta} 的方差 D(\hat{\theta})