1997年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} {\displaystyle 3\sin x+ x^2 \cos {1 \over x}\over (1+ \cos x) \ln(1 + x)}=$ _____

(2) 设幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_nx^n$ 的收敛半径为 $3$，则幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty na_n(x - 1)^{n + 1}$ 的收敛区间为 _____

(3) 对数螺线 $\rho=e^\theta$ 在点 $\displaystyle (\rho,\theta)=(e^{\pi \over 2}, {\pi \over 2})$ 处切线的直角坐标方程为 _____

(4) 设 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix}$，$B$ 为三阶非零矩阵，且 $AB=O$，则 $t=$ _____

(5) 袋中有 $50$ 个乒乓球，其中 $20$ 个是黄球，$30$ 个是白球；今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 _____

二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(6) 二元函数 $f(x,y) = \begin{cases} \displaystyle {xy \over x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \\ \end{cases}$，在点 $(0,0)$ 处

• (A) 连续，偏导数存在
• (B) 连续，偏导数不存在
• (C) 不连续，偏导数存在
• (D) 连续，偏导数不存在

(7) 设在区间 $[a,b]$ 上 $f(x) > 0$, $f'(x) < 0$, $f''(x) > 0$，令

• (A) $S_1 < S_2 < S_3$
• (B) $S_2 < S_1 < S_3$
• (C) $S_3 < S_1 < S_2$
• (D) $S_2 < S_3 < S_1$

(8) 设 $\displaystyle F(x) = \int_x^{x + 2\pi} e^{\sin t} \sin tdt$，则 $F(x)$

• (A) 为正常数
• (B) 为负常数
• (C) 恒为零
• (D) 不为常数

(9) 设 $\displaystyle \boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}$, $\displaystyle \boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$, $\displaystyle \boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix}$，则三条直线

(其中 $a_i^2 + b_i^2 \neq 0$, $i=1, 2, 3$) 交于一点的充要条件是

• (A) $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关
• (B) $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关
• (C) $r(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)=r(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2)$
• (D) $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关，$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$ 线性无关

(10) 设两个相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 的方差分别为 $4$ 和 $2$，则随机变量 $3X-2Y$ 的方差是

• (A) $8$
• (B) $16$
• (C) $28$
• (D) $44$

三、解答题（本题共 10 小题，共 70 分）

(11)（本题满分 5 分）

计算 $\displaystyle I=\iiint\limits_\Omega(x^2＋y^2)dv$，其中 $\Omega$ 为平面曲线 $\begin{cases} y^2 = 2z \\ x = 0 \end{cases}$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成的曲面与平面 $z=8$ 所围成的区域

(12)（本题满分 5 分）

计算曲线积分 $\displaystyle \oint_c (z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz$，其中 $c$ 是曲线 $\begin{cases}x^2 + y^2 = 1 \\ x - y + z = 2 \end{cases}$ 从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看 $c$ 的方向是顺时针的

(13)（本题满分 5 分）

在某一人群中推广新技术是通过其中常握新技术的人进行的，设该人群的总人数为 $N$，在 $t=0$ 时刻已掌握新技术的人数为 $x_0$，在任意时刻 $t$ 已掌握新技术的人数为 $x(t)$（将 $x(t)$ 视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数 $k>0$，求 $x(t)$

(14)（本题满分 6 分）

设直线 $l:\begin{cases} x+y+b=0 \\ x+ay-z-3=0 \end{cases}$ 在平面 $\pi$ 上，而平面 $\pi$ 与曲面 $z = x^2 + y^2$ 相切于点 $(1,-2,5)$，求 $a,b$ 的值

(15)（本题满分 7 分）

设函数 $f(u)$ 具有二阶连续导数，$z = f(e^x\sin y)$ 满足方程 $\displaystyle {\partial^2 z \over \partial x^2} + {\partial^2 z \over \partial y^2} = e^{2x}z$，求 $f(u)$

(16)（本题满分 6 分）

设 $f(x)$ 连续，$\displaystyle \varphi(x) = \int_0^1 f(xt)dt$，且 $\displaystyle \lim_{x \to 0}{f(x) \over x} ＝ A$ ($A$ 为常数)，求 $\varphi'(x)$ 并讨论 $\varphi'(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性

(17)（本题满分 8 分）

设 $a_1 = 0$, $\displaystyle a_{n+1}= {1 \over 2}\left( a_n + {1 \over a_n}\right)$ $(n=1,2,\cdots)$，证明

• (1) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} a_n$ 存在

• (2) 级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left({a_n \over a_{n + 1}} - 1\right)$ 收敛

(18)（本题满分 5 分）

设 $B$ 是秩为 $2$ 的 $5\times 4$ 矩阵，$\boldsymbol{\alpha}_1= (1,1,2,3)^T$, $\boldsymbol{\alpha}_2= (-1,1,4,-1)^T$, $\boldsymbol{\alpha}_3= (5,-1,-8,9)^T$ 是齐次线性方程组 $Bx=0$
的解向量求 $Bx=0$ 解空间的一个标准正交基

(19)（本题满分 6 分）

已知 $\displaystyle \xi = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ 是矩阵 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2 \end{bmatrix}$ 的一个特征向量

• (1) 试确定 $a,b$ 参数及特征向量 $\xi$ 所对应的特征值
• (2) 问 $A$ 能否相似于对角阵？说明理由

(20)（本题满分 5 分）

设 $A$ 是 $n$ 阶可逆方阵，将 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行对换后得到的矩阵记为 $B$

• (1) 证明 $B$ 可逆
• (2) 求 $AB^{-1}$

(21)（本题满分 7 分）

从学校乘汽车到火车站的途中有 $3$ 个交通岗，假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 $\displaystyle {2 \over 5}$，设 $X$ 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 $X$ 的分布律、分布函数和数学期望

(22)（本题满分 5 分）

设总体 $X$ 的概率密度为

其中 $\theta > -1$ 是未知参数，$X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体X 的一个容量为 $n$ 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求 $\theta$ 的估计量