2011年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）

(1) 曲线 $y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4$ 的拐点是

• (A) $(1,0)$
• (B) $(2,0)$
• (C) $(3,0)$
• (D) $(4,0)$

(2) 设数列 $\{a_n\}$ 单调减少，$\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n = 0$，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_k$ $(n = 1,2, \cdots)$ 无界，则幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n(x - 1)^n$ 的收敛域为

• (A) $(-1,1]$
• (B) $[-1,1)$
• (C) $[0,2)$
• (D) $(0,2]$

(3) 设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $f(x) > 0,f'(0) = 0$，则函数 $z = f(x)\ln f(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是

• (A) $f(0) > 1, f''(0) > 0$
• (C) $f(0) > 1, f''(0) < 0$
• (B) $f(0) < 1, f''(0) > 0$
• (D) $f(0) < 1, f''(0) < 0$

(4) 设 $\displaystyle I= \int_0^{\pi \over 4} \ln(\sin x) dx$，$\displaystyle J =\int_0^{\pi \over 4} \ln(\cot x) dx$，$\displaystyle K =\int_0^{\pi \over 4} \ln(\cos x) dx$，则 $I,J,K$ 的大小关系为

• (A) $I < J < K$
• (B) $I < K < J$
• (C) $J < I < K$
• (D) $K < J < I$

(5) 设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，将 $A$ 的第 $2$ 列加到第 $1$ 列得矩阵 $B$，再交换 $B$ 的第 $2$ 行与第 $3$ 行得单位矩，记 $\displaystyle P_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，$\displaystyle P_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$，则 $A=$

• (A) $P_1 P_2$
• (B) $P_1^{-1} P_2$
• (C) $P_2 P_1$
• (D) $P_2 P_1^{-1}$

(6) 设 $A= (\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4)$ 是 $4$ 阶矩阵，$A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵；若 $(1,0,1,0)^T$ 是方程组 $Ax = 0$ 的一个基础解系，则 $A^* = 0$ 的基础解系可为

• (A) $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_3$
• (B) $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$
• (C) $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$
• (D) $\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$

(7) 设 $F_1(x)$ 与 $F_2(x)$ 为两个分布函数，其相应的概率密度 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)$ 是连续函数，则必为概率密度的是

• (A) $f_1(x)f_2(x)$
• (B) $2f_2(x)F_1(x)$
• (C) $f_1(x)F_2(x)$
• (D) $f_1(x)F_2(x) + f_2(x)F_1(x)$

(8) 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $E(X)$ 与 $E(Y)$ 存在，记 $U = \max \{X, Y\}$，$V = \min \{X, Y\}$，则 $E(UV) =$

• (A) $E (U) \cdot E (V)$
• (B) $E (X) \cdot E (Y)$
• (C) $E (U) \cdot E (Y)$
• (D) $E (X) \cdot E (V)$

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

(9) 曲线 $\displaystyle y= \int_0^x \tan tdt$ $\displaystyle (0 \leqslant x \leqslant {\pi \over 4} )$ 的弧长 $s=$ _____

(10) 微分方程 $y'+ y = e^{-x} \cos x$ 满足条件 $y(0) =0$ 的解为 $y=$ _____

(11) 设函数 $\displaystyle F(x,y) = \int_0^{xy} {\sin t\over 1 + t^2} dt$，则 $\displaystyle {\partial^2 F \over \partial x^2}\bigg|_{\scriptsize \begin{aligned}x = 0 \\y = 2\end{aligned}}=$ _____

(12) 设 $L$ 是柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 与平面 $z =x + y$ 的交线，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 $\displaystyle \oint_L xz dx + xdy + {y^2 \over 2}dz =$ _____

(13) 若二次曲面的方程 $x^2 + 3y^2 + z^2 + 2axy + 2xz + 2yz = 4$ 经正交变换化为 $y_1^2 + 4z_1^2 = 4$，则 $a=$ _____

(14) 设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从正态分布 $N(\mu,\mu; \sigma^2, \sigma^2; 0)$，则 $E(XY^2)=$ _____

三、解答题（本题共 9 小题，共 94 分）

(15) （本题满分 10 分）

求极限 $\displaystyle \lim_{x\to 0} \left[{\ln(1 + x) \over x}\right]^{1 \over e^x - 1}$

(16) （本题满分 10 分）

设函数 $z = f(xy, yg(x))$，其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，函数 $g(x)$ 可导，且在 $x=1$ 处取得极值 $g(1) = 1$，求 $\displaystyle {\partial^2 z \over \partial x \partial y}\bigg|_{\scriptsize \begin{aligned}x = 1 \\y = 1\end{aligned}}$

(17) （本题满分 10 分）

求方程 $k \arctan x -x =0$ 不同实根的个数，其中 $k$ 为参数

(18) （本题满分 10 分）

• (1) 证明：对任意的正整数 $n$，都有 $\displaystyle {1 \over n + 1} < \ln\left(1 + {1 \over n}\right) < {1 \over n}$ 成立

• (2) 设 $\displaystyle a_n=1 + {1 \over 2} + \cdots + {1 \over n} - \ln n$ $(n=1,2,\cdots)$，证明数列 $\{a_n\}$ 收敛

(19) （本题满分 10 分）

已知函数 $f(x,y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $f(1, y) = 0$，$f(x, 1) = 0$，$\displaystyle \iint_D f(x, y) dxdy = a$，其中 $D=\{(x, y) | 0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1\}$，计算二重积分

(20) （本题满分 11 分）

设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,1)^T$，$\boldsymbol{\alpha}_2=(0, 1, 1)^T$，$\boldsymbol{\alpha}_3=(1,3,5)^T$ 不能由向量组 $\boldsymbol{\beta}_1=(1,1,1)^T$，$\boldsymbol{\beta}_2=(1, 2, 3)^T$，$\boldsymbol{\beta}_3=(3,4,a)^T$ 线性表示

• (1) 求 $a$ 的值
• (2) 将 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3$ 用 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示

(21) （本题满分 11 分）

设 $A$ 为 $3$ 阶实对称矩阵，$A$ 的秩为 $2$，且

• (1) 求 $A$ 的所有特征值与特征向量
• (2) 求矩阵 $A$

(22) （本题满分 11 分）

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的概率分布分别为

且 $P\{X^2 = Y^2 \} = 1$

• (2) 求二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率分布
• (2) 求 $Z=XY$ 的概率分布
• (3) 求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{XY}$

(23) （本题满分 11 分）

设 $X_1,X_2,\cdots, X_n$，为来自正态总体 $N(\mu_0, \sigma^2)$ 的简单随机样本，其中 $\mu_0$ 已知，$\sigma^2 > 0$ 未知，$\overline{X}$ 和 $S_2$ 分别表示样本均值和样本方差

• (1)求参数 $\sigma^2$ 的最大似然估计 $\hat{\sigma^2}$
• (2) 计算 $E(\hat{\sigma^2})$ 和 $D(\hat{\sigma^2})$