2012考研数学一真题

CreateTime 2021-03-08
UpdateTime 2021-12-27

2012年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)


(1) 曲线 \displaystyle y = {x^2 + x \over x^2 - 1} 的渐近线的条数为

  • (A) 0
  • (B) 1
  • (C) 2
  • (D) 3

(2) 设函数 f(x) = (e^x - 1) (e^{2x} - 2) \cdots(e^{nx} - n),其中 n 为正整数,则 f'(0)=

  • (A) (-1)^{n-1}(n-1)!
  • (B) (-1)^n(n-1)!
  • (C) (-1)^{n-1}n!
  • (D) (-1)^{n}n!

(3) 如果函数 f(x,y) 在点 (0,0) 处连续,那么下列命题正确的是

  • (A) 若极限 \displaystyle \lim_{\scriptsize \begin{aligned} x\to 0 \\ y\to 0 \end{aligned}} {f(x, y) \over | x | + | y |} 存在,则 f(x, y)在点 (0,0) 处可微

  • (B) 若极限 \displaystyle \lim_{\scriptsize \begin{aligned} x\to 0 \\ y\to 0 \end{aligned}} {f(x, y) \over x^2 + y^2} 存在,则 f(x, y)在点 (0,0) 处可微

  • (C) 若 f(x, y)在点 (0,0) 处可微,则极限 \displaystyle \lim_{\scriptsize \begin{aligned} x\to 0 \\ y\to 0 \end{aligned}} {f(x, y) \over | x | + | y |} 存在

  • (D) 若 f(x, y)在点 (0,0) 处可微,则极限 \displaystyle \lim_{\scriptsize \begin{aligned} x\to 0 \\ y\to 0 \end{aligned}} {f(x, y) \over x^2 + y^2} 存在


(4) 设 \displaystyle I_k = \int_0^{k\pi} e^{x^2}\sin x dx,则有

  • (A) I_1 < I_2 < I_3
  • (B) I_3 < I_2 < I_1
  • (C) I_2 < I_3 < I_1
  • (D) I_2 < I_1 < I_3

(5) 设 \displaystyle \boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ c_1 \end{bmatrix}\displaystyle \boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ c_2 \end{bmatrix}\displaystyle \boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ c_3 \end{bmatrix}\displaystyle \boldsymbol{\alpha}_4 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ c_4 \end{bmatrix},其中 c_1, c_2, c_3, c_4 为任意常数,则下列向量组线性相关的为

  • (A) \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3
  • (B) \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_4
  • (C) \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4
  • (D) \boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4

(6) 设 A3 阶矩阵,P3 阶可逆矩阵,且 \displaystyle P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix},若 P = (\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)Q = (\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3),则 Q^{-1}AQ =

  • (A) \displaystyle\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

  • (B) \displaystyle\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}

  • (C) \displaystyle\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}

  • (D) \displaystyle\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}


(7) 设随机变量 XY 相互独立,且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布,则 P\{X < Y\}=

  • (A) \displaystyle {1 \over 5}

  • (B) \displaystyle {1 \over 3}

  • (C) \displaystyle {2 \over 3}

  • (D) \displaystyle {4 \over 5}


(8) 将长度为 1m 的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为

  • (A) 1

  • (B) \displaystyle {1 \over 2}

  • (C) \displaystyle -{1 \over 2}

  • (D) -1


二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)


(9) 若函数 f(x) 满足方程 f''(x) +f'(x) - 2f(x) =0f''(x) + f(x) = 2e^x,则 f(x)= _____


(10) \displaystyle \int_0^2 x \sqrt{2x - x^2}dx= _____


(11) \displaystyle {\rm grad} \left(xy + {z \over y}\right)\bigg|_{(2,1,1)}= _____


(12) 设 \Sigma = \{(x, y, z) | x + y + z = 1, x\geqslant 0, y\geqslant 0, z\geqslant 0\},则 \displaystyle \iint\limits_\Sigma y^2dS= _____


(13) 设 \boldsymbol{\alpha}3 维单位列向量,E3 阶单位矩阵,则矩阵 E - \boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^T 的秩为 _____


(14) 设 A,B,C 是随机事件,AC 互不相容,\displaystyle P(AB) = {1 \over 2}\displaystyle P(C) = {1 \over 3},则 P(AB|\overline{C})= _____


三、解答题(本题共 9 小题,共 94 分)


(15) (本题满分 10 分)

证明: \displaystyle x\ln{1 + x \over 1 - x} + \cos x \geqslant 1 + {x^2 \over 2}\,(-1 < x < 1)


(16) (本题满分 10 分)

求函数 f(x,y) =xe^{-{x^2 + y^2 \over 2}} 的极值


(17) (本题满分 10 分)

求幂级数 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty {4n^2 + 4n + 3 \over 2n + 1} x^{2n} 的收敛域及和函数


(18) (本题满分 10 分)

已知曲线 L:\begin{cases} x = f(t), \\ y = \cos t \end{cases} (\displaystyle 0 \leqslant t < {\pi \over 2}),其中函数 f(t) 具有连续导数,且 f(0) =0f'(t) >0 \, \displaystyle(0 <t < {\pi \over 2}),若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 1,求函数 f(t) 的表达式,并求以曲线 Lx 轴和 y 轴为边界的区域的面积


(19) (本题满分 10 分)

已知 L 是第一象限中从点 (0,0) 沿圆周 x^2 + y^2 =2x 到点 (2,0),再沿圆周 x^2 + y^2 = 4 到点 (0,2) 的曲线段,计算曲线积分

I= \int_L 3x^2ydx + (x^3 + x - 2y)dy

(20) (本题满分 11 分)

\displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\displaystyle \beta = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

  • (1) 计算行列式 |A|
  • (2) 当实数 a 为何值时,方程组 Ax = \beta 有无穷多解,并求其通解

(21) (本题满分 11 分)

已知 \displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1 \end{bmatrix} 二次型 f(x_1,x_2,x_3) = x^T(A^TA)x 的秩为 2

  • (1) 求实数 a 的值;
  • (2) 求正交变换 x =Qy 将二次型 f 化为标准形

(22) (本题满分 11 分)

设二维离散型随机变量 (X,Y) 的概率分布为

X \ Y 0 1 2
0 \displaystyle {1 \over 4} 0 \displaystyle {1 \over 4}
1 0 \displaystyle {1 \over 3} 0
2 \displaystyle {1 \over 12} 0 \displaystyle {1 \over 12}
  • (1) 求 P\{X=2Y\}
  • (2) 求 {\rm Cov}(X - Y, Y)

(23) (本题满分 11 分)

设随机变量 XY 相互独立且分别服从正态分布 N(\mu, \sigma^2)N(\mu, 2\sigma^2),其中 \sigma 是未知参数,且 \sigma > 0Z =X - Y

  • (1) 求 Z 的概率密度 f(z;\sigma^2)
  • (2) 设 Z_1, Z_2, \cdots, Z_n 为来自总体 Z 的简单随机样本,求 \sigma^2 的最大似然估计量 \hat{\sigma}^2
  • (3) 证明 \hat{\sigma}^2\sigma^2 的无偏估计量