2021考研数学一真题

CreateTime 2021-03-21
UpdateTime 2021-12-27

2021年全国硕士研究生招生考试数学一试题 解析

一、选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)


(1) 函数 f(x) = \begin{cases} \displaystyle {e^x -1 \over x}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}x = 0

  • (A) 连续且取极大值
  • (B) 连续且取极小值
  • (C) 可导且导数为 0
  • (D) 可导且导数不为 0

(2) 设函数 f(x,y) 可微,且 f(x + 1,e^x) = x(x + 1)^2, f(x,x^2) = 2x^2 \ln x,则 df(1, 1)=

  • (A) dx + dy
  • (B) dx - dy
  • (C) dy
  • (D) -dy

(3) 设函数 \displaystyle f(x)= {\sin x \over 1 + x^2}x=0 处的 3 次泰勒多项式为 ax + bx^2 + cx^3,则

  • (A) a = 1, b = 0, \displaystyle c = -{7 \over 6}

  • (B) a = 1, b = 0, \displaystyle c = {7 \over 6}

  • (C) a = -1, b = -1, \displaystyle c = -{7 \over 6}

  • (D) a = -1, b = -1, \displaystyle c = {7 \over 6}


(4) 设函数 f(x) 在区间 [0, 1] 上连续,则 \displaystyle \int_0^1 f(x)dx=

  • (A) \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(2k -1 \over 2n \right) {1 \over 2n}

  • (B) \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(2k -1 \over 2n \right) {1 \over n}

  • (C) \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f\left(k -1 \over 2n \right) {1 \over n}

  • (D) \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f\left(k \over 2n \right) {2 \over n}


(5) 二次型 f(x_1,x_2,x_3) = (x_1 + x_2)^2 + (x_2 + x_3)^2 - (x_3 - x_1)^2 的正惯性指数与负惯性指数依次为

  • (A) 2,0
  • (B) 1,1
  • (C) 2,1
  • (D) 1,2

(6) 已知 \boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \boldsymbol{\alpha}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},已知 \boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_2 - k_1\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_3 = \boldsymbol{\alpha}_3 - l_1\boldsymbol{\beta}_1 - l_2\boldsymbol{\beta}_2,若 \boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3 两两正交,则 l_1, l_2 依次为

  • (A) \displaystyle {5 \over 2}, {1 \over 2}

  • (B) \displaystyle -{5 \over 2}, {1 \over 2}

  • (C) \displaystyle {5 \over 2}, -{1 \over 2}

  • (D) \displaystyle -{5 \over 2}, -{1 \over 2}


(7) 设 A,Bn 阶矩阵,下列不成立的是

  • (A) r\begin{pmatrix} A & O \\ O & A^TA \end{pmatrix}=2r(A)

  • (B) r\begin{pmatrix} A & AB \\ O & A^T \end{pmatrix}=2r(A)

  • (C) r\begin{pmatrix} A & BA \\ O & AA^T \end{pmatrix}=2r(A)

  • (D) r\begin{pmatrix} A & O \\ BA & AA^T \end{pmatrix}=2r(A)


(8) 设 A,B 为随机事件,且 0 < P(B) < 1,下列命题中为假命题的是

  • (A) 若 P(A|B) = P(A),则 P(A|\overline{B}) = P(A)
  • (B) 若 P(A|B) > P(A),则 P(\overline{A}|\overline{B}) > P(\overline{A})
  • (C) 若 P(A|B) > P(A|\overline{B}),则 P(A|B) > P(A)
  • (D) 若 P(A|A \cup B) > P(\overline{A}|A \cup B),则 P(A) > P(B)

(9) 设 (X_1, Y_1),(X_2, Y_2),\cdots,(X_n,Y_n) 为来自总体 N(\mu_1,\mu_2; \sigma_1^2, \sigma_2^2;\rho) 的简单随机样本,令 \theta = \mu_1 - \mu_2, \displaystyle \overline{X}={1 \over n}\sum_{i = 1}^nX_i, \displaystyle \overline{Y} ={1 \over n}\sum_{i = 1}^n Y_i, \hat{\theta} = X-Y,则

  • (A) \hat{\theta}\theta 的无偏估计,\displaystyle D(\hat{\theta}) ={\sigma_1^2 + \sigma_2^2 \over n}

  • (B) \hat{\theta} 不是 \theta 的无偏估计,\displaystyle D(\hat{\theta}) ={\sigma_1^2 + \sigma_2^2 \over n}

  • (C) \hat{\theta}\theta 的无偏估计,\displaystyle D(\hat{\theta}) ={\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2\over n}

  • (D) \hat{\theta} 不是 \theta 的无偏估计,\displaystyle D(\hat{\theta}) ={\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2\over n}


(10) 设 X_1,X_2,\cdots, X_{16} 是来自总体 N(\mu,4) 的简单随机样本,考虑假设检验问题: H_0:\mu \leqslant 10, H_1:\mu> 10\Phi(x) 表示标准正态分布函数,若该检验问题的拒绝域为 W = \{\overline{X} \geqslant 11\}, 其中 \displaystyle \overline{X} = {1 \over 16} \sum_{i=1}^{16}X_i,则 \mu = 11.5 时,该检验犯第二类错误的概率为

  • (A) 1 - \Phi(0.5)
  • (B) 1 - \Phi(1)
  • (C) 1 - \Phi(1.5)
  • (D) 1 - \Phi(2)

二、填空题(本题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)


(11) \displaystyle \int_0^{+\infty} {dx \over x^2 + 2x + 2}= _____


(12) 设函数 y = y(x) 由参数方程 \begin{cases} x = 2e^t + t + 1, & x < 0\\ y = 4(t - 1)e^t + t^2, & x \geqslant 0\end{cases} 确定,则 \displaystyle {d^2y \over dx^2}\bigg|_{t=0}= _____


(13) 欧拉方程 x^2y'' + xy'- 4y = 0 满足条件 y(1) = 1, y'(1) = 2 的解为 y= _____


(14) 设 \Sigma 为空间区域 \{(x,y,z) |x^2 + 4y^2 \leqslant 4, 0 \leqslant z \leqslant 2\} 表面的外侧,则曲面积分\displaystyle \iint\limits_\Sigma x^2dydz + y^2dzdx + zdxdy = _____


(15) 设 A = (a_{ij})3 阶矩阵,A_{ij} 为代数余子式,若 A 的每行元素之和为 2,且 |A| = 3,
A_{11} +A_{21} +A_{31} = _____


(16) 甲、乙两个盒子中有 2 个红球和 2 个白球,从甲盒中任取一球,观察颜色后放入乙盒,再从乙盒中任取一球,令 X,Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球的个数,则 XY 的相关系数为 _____


三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分)


(17) (本题满分 10 分)

计算极限 \displaystyle \lim_{x \to 0} \left({1 + \displaystyle \int_0^x e^{t^2} dt \over e^x - 1} - {1 \over \sin x}\right)


(18) (本题满分 12 分)

\displaystyle u_n(x) = e^{-nx} + {x^{n + 1} \over n(n + 1)} (n=1,2,\cdots),求级数 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n(x) 的收敛域及和函数


(19) (本题满分 12 分)

已知曲线 C:\begin{cases} x+2y -z = 6 \\ 4x + 2y + z = 30 \end{cases},求曲线 C 上的点到 xOy 坐标面距离的最大值


(20) (本题满分 12 分)

D \subset \mathbb{R}^2 是一个平面单连通区域,令 \displaystyle I(D) = \iint\limits_D (4 - x^2 - y^2)dxdy,设 I(D) 取得最大值的区域为 D_1

  • (1) 计算 I(D_1)

  • (2) 计算 \displaystyle \int_{\partial D_1} {(xe^{x^2+4y^2} +y)dx + (4ye^{x^2 +4y^2} - x)dy \over x^2 + 4y^2},其中 \partial D_1D_1 的正向边界


(21) (本题满分 12 分)

设矩阵 \displaystyle A = \begin{bmatrix} a & 1 & -1 \\ 1 & a & -1 \\ -1 & -1 & a \end{bmatrix}

  • (1) 求正交矩阵 P,使 P^TAP 为对角矩阵
  • (2) 求正定矩阵 C,使 C^2 = (a + 3)E + A,其中 E3 阶单位矩阵

(22) (本题满分 12 分)

在区间 (0,2) 上随机取一点,将该区间分成两段,较短的一段长度记为 X,较长一段的长度记为 Y,令 \displaystyle Z= {Y \over X}

  • (1) 求 X 的概率密度

  • (2) 求 Z 的概率密度

  • (3) 求 \displaystyle E\left(X \over Y\right)