1987考研数学一真题

创建时间 2021-03-06

更新时间 2021-03-10

分类

数学理论

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考研数学

专题

考研数学一真题

1987年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）

(1) 与两直线 $\displaystyle\begin{cases}x = 1\\y = -1 + t \\z = 2 + t\end{cases}$ 及 $\displaystyle{x + 1 \over 1} = {y + 2 \over 2} = {z - 1 \over 1}$ 都平行，且过原点的平面方程为 _____

(2) 当 $x=$ _____ 时，函数 $y=x2^x$ 取得极小值

(3) 由曲线 $y=\ln x$ 与两直线 $y=(e + 1)-x$ 及 $y=0$ 所围成的平面图形的面积是 _____

(4) 设 $L$ 为取正向的圆 $x^2 + y^2 = 9$ ，则曲线积分 $\displaystyle\oint_L (2xy - 2y) dx + (x^2 - 4x) dy$ 的值是 _____

(5) 已知 3 维线性空间的一个基为

$\boldsymbol{\alpha}_1=(1, 1, 0),\boldsymbol{\alpha}_2=(1, 0, 1),\boldsymbol{\alpha}_3=(0, 1, 1)$

则向量 $\boldsymbol{\alpha}=(2, 0, 0)$ 在上述基底下的坐标是 _____

二、（本题满分 8 分）

求正常数 $a$ 与 $b$ ，使等式 $\displaystyle\lim_{x\to0}{1 \over bx - \sin x}\int_0^x {t^2 \over \sqrt{a + t}} dt = 1$ 成立

三、（本题满分 7 分）

(1)（本小题满分 3 分）设 $f, g$ 为连续可微函数, $u = f(x, xy), v = g(x + xy)$ ，求 $\displaystyle {\partial u \over \partial x}\cdot {\partial v \over \partial x}$

(2)（本小题满分 4 分）设矩阵 $A$ 和 $B$ 满足 $AB = A + 2B$ ，其中 $\displaystyle A= \begin{bmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4\end{bmatrix}$ ，求矩阵 $B$

四、（本题满分 8 分）

求微分方程 $y''' + 6y'' + (9 + a^2)y' = 1$ 的通解，其中常数 $a > 0$

五、选择题（本题共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分）

(1) 设常数 $k>0$ ，则级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^n{k + n \over n^2}$

(A) 发散
(B) 绝对收敛
(C) 条件收敛
(D) 敛散性与 $k$ 值有关

(2) 设 $f(x)$ 为已知连续函数， $\displaystyle I=t\int_0^{s\over t} f(tx)dx$ ，其中 $s>0, t>0$ ，则 $I$ 的值

(A) 依赖于 $s$ 和 $t$
(B) 依赖于 $s,t,x$
(C) 依赖于 $t$ 和 $x$ ，不依赖于 $s$
(D) 依赖于 $s$ ，不依赖于 $t$

(3) 设 $\displaystyle \lim_{x\to a} {f(x) - f(a) \over (x - a)^2} = -1$ ，则在 $x=a$ 处

(A) $f(x)$ 的导数存在，且 $f'(a) \neq 0$
(B) $f(x)$ 取得极大值
(C) $f(x)$ 取得极小值
(D) $f(x)$ 的导数不存在

(4) 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $|A| = a \neq 0$ ，而 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $|A^*|=$

(A) $a$
(B) $\displaystyle{1 \over a}$
(C) $a^{n-1}$
(D) $a^n$

六、（本题满分 10 分）

求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1 \over n2^n}x^{n-1}$ 的收敛域，并求其和函数

七、（本题满分 10 分）

计算曲面积分

$I=\iint\limits_\Sigma x(8y+1)dydz + 2(1-y^2)dzdx -4yzdxdy$

其中 $\Sigma$ 是曲线 $\displaystyle\begin{cases}z=\sqrt{y-1}, \\ x = 0 \end{cases} (1\leqslant y \leqslant 3)$ 绕 $y$ 轴旋转一周所围成的曲面，它的法向量与 $y$ 轴正向的夹角恒大于 $\displaystyle {\pi \over 2}$

八、（本题满分 10 分）

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0, 1]$ 上可微，对于 $[0, 1]$ 上的每一个 $x$ ，函数 $f(x)$ 的值都在开区间 $(0, 1)$ 内，且 $f'(x) \neq 1$ ，证明：在 $(0, 1)$ 内有且仅有一个 $x$ ，使 $f(x) = x$

九、（本题满分 8 分）

问 $a,b$ 为何值时，线性方程组

$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 1 \\ - x_2 + (a - 3) x_3 - 2x_4 = b \\ 3x_1 + 2x_2 + x_3 + ax_4 = -1 \\ \end{cases}$

有唯一解？无解？有无穷多解？并求出有无穷多解时的通解

十、填空题（本题共 3 小题，每小题 2 分，满分 6 分）

(1) 设在一次试验中 $A$ 发生的概率为 $p$ ，现进行 $n$ 次独立试验，则 $A$ 至少发生一次的概率为 _____ ; 而事件 $A$ 至多发生一次的概率为 _____

(2) 三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球和 1 个白球，第二个箱子中有 3 个黑球和 3 个白球，第三个箱子中有 3 个黑球 5 个白球；现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率等于 _____；已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 _____

(3) 已知连续性随机变量 $X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x)={1\over\sqrt{\pi}} e^{-x^2 + 2x - 1}$ ，则 $EX=$ _____ , $DX=$ _____

十一、（本题满分 6 分）

设随机变量 $X,Y$ 相互独立，其概率密度函数分别为：

$\begin{aligned} f_X(x) =& \begin{cases} 1 & 0 \leqslant x \leqslant 1,\\ 0 & 其他, \\ \end{cases} \\ f_Y(y) =& \begin{cases} e^{-y} & y > 0,\\ 0 & y \leqslant 0, \\ \end{cases} \\ \end{aligned}$

求随机变量 $Z=2X + Y$ 的概率密度函数