1998年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} {\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} - 2 \over x^2}=$ _____

(2) 设 $\displaystyle z={1 \over x}f(xy)+ y\varphi(x+ y)$, $f,\varphi$ 具有二阶连续导数，则 $\displaystyle{\partial^2 z \over \partial x \partial y}=$ _____

(3) 设 $l$ 为椭圆 $\displaystyle {x^2 \over 4}+ {y^2 \over 3} = 1$，其周长记为 $a$，则 $\displaystyle\oint_L (2xy+3x^2 +4y^2)ds =$ _____

(4) 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$|A| \neq 0$, $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $A$ 有特征值 $\lambda$，则 $(A^*)^2 + E$ 必有特征 _____

(5) 设平面区域 $D$ 由曲线 $\displaystyle y={1 \over x}$ 及直线 $y = 0$,$x = 1$,$x = e^2$ 所围成，二维随机变量 $(X,Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布，则 $(X,Y)$ 关于 $X$ 的边缘概率密度在 $x=2$ 处的值为 _____

二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(6) 设 $f(x)$ 连续，则 $\displaystyle {d \over dx}\int_0^x tf( x^2 - t^2)dt=$

• (A) $xf(x^2)$
• (B) $-xf(x^2)$
• (C) $2xf(x^2)$
• (D) $-2xf(x^2)$

(7) 函数 $f(x) = (x^2 -x-2)|x^3-x|$ 不可导点的个数是

• (A) $3$
• (B) $2$
• (C) $1$
• (D) $0$

(8) 已知函数 $y=y(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\displaystyle \Delta y={y \Delta x \over 1 + x^2} + \alpha$，且当 $\Delta x \to 0$ 时，$\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小，$y(0)=\pi$，则 $y(1)$ 等于

• (A) $2\pi$
• (B) $\pi$
• (C) $e^{\pi \over 4}$
• (D) $\pi e^{\pi \over 4}$

(9) 设矩阵 $\displaystyle\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ 是满秩的，则直线 $\displaystyle {x - a_3 \over a_1 - a_2} = {y - b_3 \over b_1 - b_2} = {z - c_3 \over c_1 - c_2}$ 与直线 $\displaystyle {x - a_1 \over a_2 - a_3} = {y - b_1 \over b_2 - b_3} = {z - c_1 \over c_2 - c_3}$

• (A) 相交于一点
• (B) 重合
• (C) 平行但不重合
• (D) 异面

(10) 设 $A,B$ 是两个随机事件，且 $0 < P(A) < 1$,$P(B) > 0$, $P(B|A)= P(B|\overline{A})$，则必有

• (A) $P(A | B) = P(\overline{A} | B)$
• (B) $P(A | B) \neq P(\overline{A} | B)$
• (C) $P(AB) = P(A)P(B)$
• (D) $P(AB) \neq P(A)P(B)$

三、解答题（本题共 10 小题，共 70 分）

(11)（本题满分 5 分）

求直线 $\displaystyle l:{x - 1 \over 1}={ y \over 1}={z - 1 \over -1}$ 在平面 $\pi:x-y+2z-1= 0$ 上的投影直线 $l_0$ 的方程，并求 $l_0$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成曲面的方程

(12)（本题满分 6 分）

确定常数 $\lambda$ 使在右半平面 $x>0$ 上的向量 $A(x, y) = 2xy(x^4 + y^2)^\lambda\boldsymbol{i}-x^2(x^4 + y^2)^\lambda\boldsymbol{j}$ 为某二元函数 $u(x,y)$ 的梯度，并求 $u(x,y)$

(13)（本题满分 6 分）

从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 $y$（从海平面算起）与下沉速度 $v$ 之间的函数关系；设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用，设仪器的质量为 $m$，体积为 $B$，海水密度为 $\rho$，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 $k(k > 0)$，试建立 $y$ 与 $v$ 所满足的微分方程，并求出函数关系式 $y=y(v)$

(14)（本题满分 7 分）

计算 $\displaystyle \iint\limits_\Sigma {axdydz + (z+a)^2 dxdy \over (x^2 + y^2 + z^2)^{1 \over 2}}$，其中 $\Sigma$ 为下半球面 $z=-\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ 的上侧，$a$ 为大于零的常数

(15)（本题满分 6 分）

求 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left({\displaystyle \sin {\pi \over n} \over n + 1} + {\displaystyle \sin {2\pi \over n} \over \displaystyle n + {1 \over 2}} + \cdots + {\displaystyle \sin {\pi} \over \displaystyle n + {1 \over n}} \right)$

(16)（本题满分 5 分）

设正向数列 $\{a_n\}$ 单调减少，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n$ 发散，试问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(1 \over a_n + 1\right)^n$ 是否收敛？并说明理由

(17)（本题满分 6 分）

设 $y=f(x)$ 是区间 $[0, 1]$ 上的任一非负连续函数

• (1) 试证存在 $x_0 \in (0,1)$，使得在区间 $[0, x_0]$ 上以 $f(x_0)$ 为高的矩形面积，等于在区间 $[x_0, 1]$ 上以 $y=f(x)$ 为曲边的曲边梯形面积
• (2) 又设 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内可导，且 $\displaystyle f'(x) >- {2f(x) \over x}$，证明 (1) 中的 $x_0$ 是唯一的

(18)（本题满分 6 分）

已知二次曲面方程 $x^2 + ay^2 + z^2+2bxy＋2xz + 2yz = 4$ 可以经过正交变换 $\displaystyle \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = P \begin{bmatrix} \xi \\ \eta \\ \zeta \end{bmatrix}$ 化为椭圆柱面方程 $\eta^2 + 4\zeta^2 = 4$，求 $a,b$ 的值和正交矩阵 $P$

(19)（本题满分 4 分）

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，若存在正整数 $k$，使线性方程组 $A^kx=0$ 有解向量 $\boldsymbol{\alpha}$，且 $A^{k-1}\boldsymbol{\alpha} \neq 0$，
证明向量组 $\boldsymbol{\alpha}, A\boldsymbol{\alpha},\cdots,A^{k-1}\boldsymbol{\alpha}$ 是线性无关的

(20)（本题满分 5 分）

已知方程组

的一个基础解析为 $(b_{11},b_{12},\cdots, b_{1,2n})^T$,$(b_{21},b_{22},\cdots, b_{2,2n})^T$, $\cdots$, $(b_{n1},b_{n2},\cdots, b_{n,2n})^T$ 试写出线性方程组

的通解，并说明理由

(21)（本题满分 6 分）

设两个随机变量 $X,Y$ 相互独立，且都服从均值为 $0$，方差为 $\displaystyle{1 \over 2}$ 的正态分布，求随机变量 $|X - Y|$ 的方差

(22)（本题满分 4 分）

从正态总体 $N(3.4,6^2)$ 中抽取容量为 $n$ 的样本，如果要求其样本均值位于区间 $(1.4, 5.4)$ 内的概率不小于 $0.95$，问样本容量 $n$ 至少应取多大？

附：标准正态分布表

(23)（本题满分 4 分）

设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 $36$ 位考生的成绩，算得平均成绩为 $66.5$ 分，标准差为 $15$分，问在显著性水平 $0.05$ 下是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为$70$ 分？并给出检验过程

附：$t$ 分布表