2015年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）

(1) 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上连续，其 $2$ 阶导函数 $f''(x)$ 的图形如图所示，则曲线 $y = f(x)$ 的拐点个数为

• (A) $0$
• (B) $1$
• (C) $2$
• (D) $3$

(2) 设 $\displaystyle y={1\over2} e^{2x} + \left(x - {1 \over 3}\right) e^x$ 是二阶常系数非齐次线性微分方程 $y'' + ay'+ by = ce^x$ 的一个特解，则

• (A) $a = -3,b = 2,c = -1$
• (B) $a = 3,b = 2,c = -1$
• (C) $a= -3,b = 2,c = 1$
• (D) $a = 3,b = 2,c = 1$

(3) 若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 条件收敛，则 $x = \sqrt{3}$ 与 $x = 3$ 依次为幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty na_n(x - 1)^n$ 的

• (A) 收敛点，收敛点
• (B) 收敛点，发散点
• (C) 发散点，收敛点
• (D) 发散点，发散点

(4) 设 $D$ 是第一象限中的曲线 $2xy = 1,4xy = 1$ 与直线 $y=x,y=\sqrt{3}x$ 围成的平面区域，函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则 $\displaystyle\iint\limits_D f(x,y)dxdy=$

• (A) $\displaystyle \int_{\pi\over 4}^{\pi\over 3} d\theta \int_{1 \over 2\sin 2\theta}^{1 \over \sin 2\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r dr$

• (B) $\displaystyle \int_{\pi\over 4}^{\pi\over 3} d\theta \int_{1 \over \sqrt{2\sin 2\theta}}^{1 \over \sqrt{\sin 2\theta}} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r dr$

• (C) $\displaystyle \int_{\pi\over 4}^{\pi\over 3} d\theta \int_{1 \over 2\sin 2\theta}^{1 \over \sin 2\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta) dr$

• (D) $\displaystyle \int_{\pi\over 4}^{\pi\over 3} d\theta \int_{1 \over \sqrt{2\sin 2\theta}}^{1 \over \sqrt{\sin 2\theta}} f(r\cos\theta, r\sin\theta) dr$

(5) 设矩阵 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2 \end{bmatrix}$， $\displaystyle b = \begin{bmatrix} 1 \\ d \\ d^2 \end{bmatrix}$；若集合 $\Omega=\{1, 2\}$，则线性方程组 $Ax=b$ 有无穷多解的充分必要条件为

• (A) $a \notin \Omega, d \notin \Omega$
• (B) $a \notin \Omega, d \in \Omega$
• (C) $a \in \Omega, d \notin \Omega$
• (D) $a \in \Omega, d \in \Omega$

(6) 设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ 在正交变换 $x=Py$ 下的标准形为 $2y_1^2 + y_2^2 - y_3^2$，其中 $P=(e_1,e_2,e_3)$；若 $Q=(e_1,-e_3,e_2)$，则 $f(x_1,x_2,x_3)$ 在正交变换 $x=Qy$下的标准形为

• (A) $2y_1^2 - y_2^2 + y_3^2$
• (B) $2y_1^2 + y_2^2 - y_3^2$
• (C) $2y_1^2 - y_2^2 - y_3^2$
• (D) $2y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$

(7) 若 $A,B$ 为任意两个随机事件，则

• (A) $P(AB) \leqslant P(A)P(B)$

• (B) $P(AB) \geqslant P(A)P(B)$

• (C) $\displaystyle P(AB) \leqslant {P(A) + P(B) \over 2}$

• (D) $\displaystyle P(AB) \geqslant {P(A) + P(B) \over 2}$

(8) 设随机变量 $X,Y$ 不相关，且 $E(X) = 2, E(Y) = 1, D(X) = 3$，则 $E[X(X+Y-2)]=$

• (A) $-3$
• (B) $3$
• (C) $-5$
• (D) $5$

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

(9) $\displaystyle \lim_{x \to 0} {\ln(\cos x) \over x^2}=$ _____

(10) $\displaystyle \int_{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2} \left( {\sin x \over 1 + \cos x} + |x| \right) dx=$ _____

(11) 若函数 $z=z(x,y)$ 由方程 $e^z + xyz + x + \cos x = 2$ 确定，则 $dx\big|_{(0, 1)}=$ _____

(12) 设 $\Omega$ 是由平面 $x+y+z=1$ 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 $\displaystyle \iiint\limits_\Omega (x +2y + 3z) dxdydz=$ _____

(13) $n$ 阶行列式 $\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 0 & \cdots & 0 & 2 \\ -1 & 2 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 2 & 2 \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & 2 \\\end{vmatrix}=$ _____

(14) 设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从正态分布 $N(1,0;1,1;0)$，则 $P\{XY - Y < 0\}=$ _____

三、解答题（本题共 9 小题，共 94 分）

(15) （本题满分 10 分）

设函数 $f(x) = x + a\ln(1 + x) + bx\sin x, g(x) = kx^3$；若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x \to 0$ 时是等价无穷小，求 $a,b,k$ 的值

(16) （本题满分 10 分）

设函数 $f(x)$ 在定义域 $I$ 上的导数大于零，若对任意的 $x_0 \in I$，曲线 $y =f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线与直线 $x = x_0$ 及 $x$ 轴所围成区域的面积恒为 $4$，且 $f(0) =2$，求 $f(x)$ 的表达式

(17) （本题满分 10 分）

已知函数 $f(x, y) = x + y + xy$，曲线 $C:x^2 + y^2 + xy =3$，求 $f(x,y)$ 在曲线 $C$ 上的最大方向导数

(18) （本题满分 10 分）

• (1) 设函数 $u(x),v(x)$ 可导，利用导数定义证明 $[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x) +u(x)v'(x)$
• (2) 设函数 $u_1(x), u_2(x),\cdots, u_n(x)$ 可导，$f(x) = u_1(x) u_2(x) \cdots u_n(x)$，写出 $f(x)$ 的求导公式

(19) （本题满分 10 分）

已知曲线 $L$ 的方程为 $\displaystyle \begin{cases} z = \sqrt{2 - x^2 - y^2} \\ z = x\end{cases}$，起点为 $A(0, \sqrt{2}, 0)$，终点为 $B(0, -\sqrt{2}, 0)$，计算曲线积分

(20) （本题满分 11 分）

设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 为 $R^3$ 的一个基，$\boldsymbol{\beta}_1 = 2\boldsymbol{\alpha}_1 + 2k\boldsymbol{\alpha}_3$，$\boldsymbol{\beta}_2 = 2\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{\beta}_3 = \boldsymbol{\alpha}_1 + (k + 1)\boldsymbol{\alpha}_3$

• (1) 证明向量组 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3$ 为 $R^3$ 的一个基
• (2) 当 $k$ 为何值时，存在非零向量 $\xi$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 与基 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3$ 下的坐标相同，并求所有的 $\xi$

(21) （本题满分 11 分）

设矩阵 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & a \end{bmatrix}$ 相似于矩阵 $\displaystyle B = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

• (1) 求 $a,b$ 的值
• (2) 求可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵

(22) （本题满分 11 分）

设随机变量 $X$ 的概率密度为

对 $X$ 进行独立重复的观测，直到第 $2$ 个大于 $3$ 的观测值出现时停止，记 $Y$ 为观测次数

• (1) 求 $Y$ 的概率分布
• (2) 求 $E(Y)$

(23) （本题满分 11 分）

设总体 $X$ 的概率密度为

其中 $\theta$ 为未知参数，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本

• (1) 求 $\theta$ 的矩估计量
• (2) 求 $\theta$ 的最大似然估计量