数学分析：自然数

皮亚诺公理体系

公理一：$0$ 是一个自然数

公理二：

若 $n$ 是 自然数，则 $n++$ 也是自然数

公理三：

对于每个自然数 $n$，都有 $n++ \neq 0$

公理四：

若 $n, m$ 是自然数，且 $n \neq m$，则 $n++ \neq m++$

等价于，若 $n++ = m++$，则必有 $n = m$

公理五 数学归纳原理

设 $P(n)$ 是关于自然数的一个性质：

• 首先，如果 $P(0)$ 是真的
• 其次，假设只要 $P(n)$ 是真的
• 推导出 $P(n++)$ 也是真的

那么对于每个自然数 $n$，$P(n)$ 都是真的

定义

$0++:=1$，$1++:=2$ 等等

自然数加法

设 $m$ 是自然数；为加上零，我们定义：

现归纳的假定已定义好 $n + m$，那么把 $m$ 加于 $n++$ 则定义为：

引理一

证明：对 $n$ 进行归纳

1. $0 + 0 \xlongequal{加法定义} 0$
2. 设 $n + 0 = n$ 成立
3. 则 $(n++) + 0 \xlongequal{加法定义} (n + 0)++ \xlongequal{假设代换} n++$

证毕

引理二

证明：保持 $m$ 不变，对 $n$ 进行归纳

1. $0 + (m++) \xlongequal{加法定义} m++ \xlongequal{加法定义} (0+m)++$
2. 设 $n + (m++) = (n + m)++$ 成立
3. 则:

证毕

加法交换律

对于任何自然数 $n$ 和 $m$，都有 $n + m = m + n$

证明：保持 $m$ 不变，对 $n$ 进行归纳

1. $0 + m \xlongequal{加法定义} m \xlongequal{引理一} m + 0$
2. 设 $n + m = m + n$
3. 则：

证毕

加法结合律

对于任何自然数 $a,b,c$，都有 $(a + b) + c = a + (b + c)$

证明：保持 $b, c$ 不变，对 $a$ 进行归纳

1. $(0 + b) + c \xlongequal{加法定义} b + c \xlongequal{加法定义} 0 + (b + c)$
2. 设 $(a + b) + c = a + (b + c)$
3. 则：

证毕

加法消去律

设 $a,b,c$ 是自然数，满足 $a + b = a + c$，那么我们有 $b = c$

证明：对 $a$ 进行归纳

1. $0 + b = 0 + c \xrightarrow{加法定义} b = c$
2. 假设 $a + b = a + c \Rightarrow b = c$
3. 则：

正自然数

一个自然数是 正的，当且仅当它不为 $0$

正自然数命题

如果 $a$ 是正的而 $b$ 是自然数，则 $a+b$ 是正的

证明：对 $b$ 进行归纳

1. $a + 0 = a$，$a$ 是正的，所以 $a + 0$ 也是正的
2. 设 $a + b$ 是正的
3. 则:

于是，$a + (b++)$ 也是正的，证毕

正自然数命题推论

如果 $a$ 和 $b$ 是自然数，满足 $a+ b = 0$，那么 $a=0$ 且 $b = 0$

证明：

假设不然，则 $a \neq 0$ 或 $b \neq 0$；

如果 $a \neq 0$，那么 $a$ 是正的；

从而根据命题一，$a + b = 0$ 是正的，与定义矛盾；

类似地，也可以对 $b$ 推出矛盾；

于是 $a$ 和 $b$ 必定都是零

证毕

引理三

设 $a$ 是正数，那么恰存在一个自然数 $b$，使得 $b++ =a$

证明：对 $a$ 进行归纳

1. 如果 $a = 1$，则存在 $0++ = 1$ 满足要求
2. 设存在一个自然数 $b$，使得 $b++ =a$
3. 则：

则存在正数 $b++$ 使得 $(b++)++ = a++$

证毕

自然数排序定义

设 $n$ 和 $m$ 是自然数， 当且仅当对于某自然数 $a$，成立$n = m+a$，我们说 $n$ 大于等于 $m$，记作 $n \geqslant m$ 或 $m \leqslant n$；当且仅当 $n \geqslant m$ 并且 $n \neq m$，我们说 $n$ 严格大于 $m$，记作 $n > m$ 或 $m < n$，

自然数序的基本性质

1. 自反性： $a \geqslant a$
2. 传递性： 如果 $a \geqslant b$ 且 $b \geqslant c$，则 $a \geqslant c$
3. 反对称性：如果 $a \geqslant b$ 且 $b \geqslant a$，则 $a = b$
4. 加法保序：$a \geqslant b$ 当且仅当 $a + c \geqslant b + c$
5. $a < b$ 当且仅当 $a++ \leqslant b$
6. $a < b$ 当且仅当对于某正数 $d$，$b = a + d$

自然数序的三歧性

设 $a, b$ 是自然数，则下面的三个命题中，恰有一个是真的

$a > b, a = b, a < b$

强归纳法原理

设 $m_0$ 是一个自然数，而 $P(m)$ 是一个依赖于任意自然数 $m$ 的性质。

设对于每个 $m > m_0$ 都有下述蕴含关系：如果 $P(m')$ 对于一切满足 $m_0 \leqslant m'< m$ 的自然数 $m'$ 都成立，然后可以推导出 $P(m)$ 也成立。

那么，我们可以断定 $P(m)$ 对于一切自然数 $m \geqslant m_0$ 都成立．

归纳法原理，要求第一项成立，然后假设第 $n$ 项成立，推出第 $n+1$ 项成立；

强归纳法原理，要求前 $n$ 项都成立，然后推出第 $n + 1$ 项成立；

自然数乘法

设 $m$ 是自然数；为把 $0$ 乘到 $m$ 上，我们定义：

现归纳的假定已定义好 $n \times m$，那么把 $m$ 乘到 $n++$ 则定义为：

记 $n \times m := nm$

乘法交换律

对于任何自然数 $n$ 和 $m$，都有 $n \times m = m \times n$

证明：方法类似于 加法交换律，

正自然数没有零因子

设 $n,m$ 是自然数那么 $n \times m = 0$，当且仅当中 $n,m$ 至少有一个等于零；特别地，若 $n$ 和 $m$ 都是正的，则 $nm > 0$

乘法分配律

对于任何自然数 $a,b,c$，都有 $a(b + c) = ab+ ac$ 以及 $(b +c )a =b a+ ca$

证明：

由于乘法交换律，只需证明 $a(b + c) = ab+ ac$ 即可；保持 $a, b$ 对 $c$ 使用归纳法。

• $a(b + 0) = ab = ab + 0 = ab + a0$
• 设 $a(b + c) = ab+ ac$
• 则：

证毕

乘法结合律

对于任何自然数 $a,b,c$，都有 $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$

证明：证明方法类似于 加法结合律

乘法保序

若 $a,b$ 是自然数，满足 $a < b$，且 $c$ 是正的，则 $ac< bc$

证明：

由于 $a < b$，我们知存在某正数 $d$ 使 $b = a + d$

用 $c$ 来乘并使用分配律，得 $bc=ac+dc$

由于 $d$ 是正的而且 $c$ 也是正的，所以 $dc$ 是正的从而 $ac < bc$.

证毕

乘法消去律

设 $a,b,c$ 是自然数，满足 $ac = bc$ 且 $c \neq 0$，那么 $a = b$

证明：

根据序的三歧性，有三种情形：$a < b, a = b, a > b$

先设 $a < b$， 那么根据乘法保序有 $ac < bc$，与条件矛盾，当 $a > b$ 时也有类似得矛盾；

所以唯一的可能是 $a = b$，证毕

欧几里得算法

设 $n$ 是自然数且设 $q$ 是正数，那么存在自然数 $
m,r$，使得 $0 \leqslant r < q$ 且 $n= mq+r$

证明：固定 $q$ 并对 $n$ 进行归纳

当 $n = 0$ 时，存在 $m=0, r=0 < q$ 使得 $0 = 0\times q + 0$

假设 对所有 $n$ 存在自然数 $
m,r$，使得 $0 \leqslant r < q$ 且 $n= mq+r$

由于 $(n++) = (mq + r)++ = mq + (r++)$

如果 $r++ < q$ 即对于 $n++$，存在 $m, r++$，满足条件

否则 $r ++ = q$，那么 $mq + (r++) = mq + q = (m++)q + 0$ 即对于 $n++$，存在 $m++, 0$，满足条件

证毕

换句话说我们可以用一个正数 $q$ 去除一个自然数 $n$ 而得到商 $m$ 和余数 $r$

自然数的指数运算

设 $m$是自然数，为把 $m$ 升到 $0$ 次幂，我们定义 $m^0 := 1$，现递归地假定 $m^n$ 已对自然数 $n$ 定义好，那么我们定义 $m^{n++} :=mn \times m$

参考资料

• 陶哲轩实分析