数学分析:自然数

创建时间 2020-03-18
更新时间 2020-03-24

皮亚诺公理体系


公理一0 是一个自然数


公理二

n 是 自然数,则 n++ 也是自然数


公理三

对于每个自然数 n,都有 n++ \neq 0


公理四

n, m 是自然数,且 n \neq m,则 n++ \neq m++

等价于,若 n++ = m++,则必有 n = m


公理五 数学归纳原理

P(n) 是关于自然数的一个性质:

  • 首先,如果 P(0) 是真的
  • 其次,假设只要 P(n) 是真的
  • 推导出 P(n++) 也是真的

那么对于每个自然数 nP(n) 都是真的


定义

0++:=11++:=2 等等


自然数加法

m 是自然数;为加上零,我们定义:

0 + m := m

现归纳的假定已定义好 n + m,那么把 m 加于 n++ 则定义为:

(n++) + m := (n + m)++

引理一

n + 0 = n

证明:对 n 进行归纳

  1. 0 + 0 \xlongequal{加法定义} 0
  2. n + 0 = n 成立
  3. (n++) + 0 \xlongequal{加法定义} (n + 0)++ \xlongequal{假设代换} n++

证毕


引理二

n + (m++) = (n + m)++

证明:保持 m 不变,对 n 进行归纳

  1. 0 + (m++) \xlongequal{加法定义} m++ \xlongequal{加法定义} (0+m)++
  2. n + (m++) = (n + m)++ 成立
  3. 则:
\begin{aligned} &(n++) + (m++)\\ \xlongequal{加法定义}& [(n + (m++)] ++\\ \xlongequal{假设代换}& [(n + m)++] ++\\ \xlongequal{加法定义}& [(n++) + m]++\\ \end{aligned}

证毕


加法交换律

对于任何自然数 nm,都有 n + m = m + n

证明:保持 m 不变,对 n 进行归纳

  1. 0 + m \xlongequal{加法定义} m \xlongequal{引理一} m + 0
  2. n + m = m + n
  3. 则:
\begin{aligned} &(n++) + m\\ \xlongequal{加法定义}& (n + m) ++\\ \xlongequal{假设代换}& (m + n) ++\\ \xlongequal{引理二}& m + (n++)\\ \end{aligned}

证毕


加法结合律

对于任何自然数 a,b,c,都有 (a + b) + c = a + (b + c)

证明:保持 b, c 不变,对 a 进行归纳

  1. (0 + b) + c \xlongequal{加法定义} b + c \xlongequal{加法定义} 0 + (b + c)
  2. (a + b) + c = a + (b + c)
  3. 则:
\begin{aligned} &[(a++) + b] + c\\ \xlongequal{加法定义}& [(a + b)++] + c \\ \xlongequal{加法定义}& [(a + b) + c]++ \\ \xlongequal{假设代换}& [a + (b + c)]++\\ \xlongequal{加法定义}& (a++) + (b + c) \end{aligned}

证毕


加法消去律

a,b,c 是自然数,满足 a + b = a + c,那么我们有 b = c

证明:对 a 进行归纳

  1. 0 + b = 0 + c \xrightarrow{加法定义} b = c
  2. 假设 a + b = a + c \Rightarrow b = c
  3. 则:
\begin{aligned} (a++) + b \xlongequal{加法定义}& (a + b) ++ \\ (a++) + c \xlongequal{加法定义}& (a + c) ++ \\ \xrightarrow{公理四}& a + b = a + c \\ \xrightarrow{假设代换}& b = c \\ \end{aligned}

正自然数

一个自然数是 正的,当且仅当它不为 0

正自然数命题

如果 a 是正的而 b 是自然数,则 a+b 是正的

证明:对 b 进行归纳

  1. a + 0 = aa 是正的,所以 a + 0 也是正的
  2. a + b 是正的
  3. 则:
\begin{aligned} a + (b++) &\xlongequal{引理二} (a + b)++ \\ &\xrightarrow{公理三}(a + b) ++ \neq 0 \end{aligned}

于是,a + (b++) 也是正的,证毕


正自然数命题推论

如果 ab 是自然数,满足 a+ b = 0,那么 a=0b = 0

证明:

假设不然,则 a \neq 0b \neq 0

如果 a \neq 0,那么 a 是正的;

从而根据命题一,a + b = 0 是正的,与定义矛盾;

类似地,也可以对 b 推出矛盾;

于是 ab 必定都是零

证毕


引理三

a 是正数,那么恰存在一个自然数 b,使得 b++ =a

证明:对 a 进行归纳

  1. 如果 a = 1,则存在 0++ = 1 满足要求
  2. 设存在一个自然数 b,使得 b++ =a
  3. 则:
\begin{aligned} a++ &\xlongequal{假设代换} (b++)++ \\ &\xrightarrow{公理三}b++ \neq 0 \\ \end{aligned}

则存在正数 b++ 使得 (b++)++ = a++

证毕


自然数排序定义

nm 是自然数, 当且仅当对于某自然数 a,成立n = m+a,我们说 n 大于等于 m,记作 n \geqslant mm \leqslant n;当且仅当 n \geqslant m 并且 n \neq m,我们说 n 严格大于 m,记作 n > mm < n

自然数序的基本性质

  1. 自反性: a \geqslant a
  2. 传递性: 如果 a \geqslant bb \geqslant c,则 a \geqslant c
  3. 反对称性:如果 a \geqslant bb \geqslant a,则 a = b
  4. 加法保序:a \geqslant b 当且仅当 a + c \geqslant b + c
  5. a < b 当且仅当 a++ \leqslant b
  6. a < b 当且仅当对于某正数 db = a + d

自然数序的三歧性

a, b 是自然数,则下面的三个命题中,恰有一个是真的

a > b, a = b, a < b

强归纳法原理

m_0 是一个自然数,而 P(m) 是一个依赖于任意自然数 m 的性质。

设对于每个 m > m_0 都有下述蕴含关系:如果 P(m') 对于一切满足 m_0 \leqslant m'< m 的自然数 m' 都成立,然后可以推导出 P(m) 也成立。

那么,我们可以断定 P(m) 对于一切自然数 m \geqslant m_0 都成立.


归纳法原理,要求第一项成立,然后假设第 n 项成立,推出第 n+1 项成立;

强归纳法原理,要求前 n 项都成立,然后推出第 n + 1 项成立;

自然数乘法

m 是自然数;为把 0 乘到 m 上,我们定义:

0 \times m := m

现归纳的假定已定义好 n \times m,那么把 m 乘到 n++ 则定义为:

(n++) \times m := (n \times m)+ m

n \times m := nm

乘法交换律

对于任何自然数 nm,都有 n \times m = m \times n

证明:方法类似于 加法交换律,


正自然数没有零因子

n,m 是自然数那么 n \times m = 0,当且仅当中 n,m 至少有一个等于零;特别地,若 nm 都是正的,则 nm > 0

乘法分配律

对于任何自然数 a,b,c,都有 a(b + c) = ab+ ac 以及 (b +c )a =b a+ ca

证明:

由于乘法交换律,只需证明 a(b + c) = ab+ ac 即可;保持 a, bc 使用归纳法。

  • a(b + 0) = ab = ab + 0 = ab + a0
  • a(b + c) = ab+ ac
  • 则:
\begin{aligned} &a[b + (c++)] \\ \xlongequal{加法定义}& a[(b+c)++] \\ \xlongequal{乘法定义}& a(b+c)+a \\ \xlongequal{假设代换}& ab+ac+a \\ \xlongequal{加法结合律}& ab+(ac + a) \\ \xlongequal{乘法定义}& ab + a(c++) \end{aligned}

证毕


乘法结合律

对于任何自然数 a,b,c,都有 (a \times b) \times c = a \times (b \times c)

证明:证明方法类似于 加法结合律


乘法保序

a,b 是自然数,满足 a < b,且 c 是正的,则 ac< bc

证明:

由于 a < b,我们知存在某正数 d 使 b = a + d

c 来乘并使用分配律,得 bc=ac+dc

由于 d 是正的而且 c 也是正的,所以 dc 是正的从而 ac < bc.

证毕


乘法消去律

a,b,c 是自然数,满足 ac = bcc \neq 0,那么 a = b

证明:

根据序的三歧性,有三种情形:a < b, a = b, a > b

先设 a < b, 那么根据乘法保序有 ac < bc,与条件矛盾,当 a > b 时也有类似得矛盾;

所以唯一的可能是 a = b,证毕


欧几里得算法

n 是自然数且设 q 是正数,那么存在自然数 $
m,r$,使得 0 \leqslant r < qn= mq+r

证明:固定 q 并对 n 进行归纳

n = 0 时,存在 m=0, r=0 < q 使得 0 = 0\times q + 0

假设 对所有 n 存在自然数 $
m,r$,使得 0 \leqslant r < qn= mq+r

由于 (n++) = (mq + r)++ = mq + (r++)

如果 r++ < q 即对于 n++,存在 m, r++,满足条件

否则 r ++ = q,那么 mq + (r++) = mq + q = (m++)q + 0 即对于 n++,存在 m++, 0,满足条件

证毕


换句话说我们可以用一个正数 q 去除一个自然数 n 而得到商 m 和余数 r

自然数的指数运算

m是自然数,为把 m 升到 0 次幂,我们定义 m^0 := 1,现递归地假定 m^n 已对自然数 n 定义好,那么我们定义 m^{n++} :=mn \times m

参考资料